  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 5 : Fonctions exponentielles }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
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\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Logarithme népérien}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 6}




\Exoi{\textbf{R.O.C} \hfill (4 points)\\
\textbf{Restitution organis\'ee de connaissances}\\
On suppose connue la propri\'et\'e :\\
 \og  Pour tout couple $(x~;~ y)$ de nombres r\'eels strictement positifs, on a \\$\ln (xy) = \ln (x)+ \ln (y)$. \fg
\begin{enumerate}
\item En d\'eduire que, pour tout nombre r\'eel $m$ strictement positif, on a \\$\ln \left(\sqrt{m}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(m)$.
\item  Utiliser le r\'esultat de la question 1, en posant $m=ab$, pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscisse $\sqrt{ab}$. Expliquer la construction et la r\'ealiser sur la figure de l'annexe 1 (on laissera les traits de construction apparents).
\end{enumerate}
}





\Exoi{\hfill (16 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par 
\[f(x) =  \ln x - \dfrac{1}{\ln x}.\]
On nomme ($\mathscr{C}$) la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ la courbe d'équation $y = \ln x$ dans un repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $f$ et préciser les limites en $1$ et en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - \ln x]$.
		\\
Interpréter graphiquement cette limite.
		\item  Préciser les positions relatives de ($\mathscr{C}$) et de $\Gamma$.
 	\end{enumerate}
\item	On se propose de chercher les tangentes à la courbe ($\mathscr{C}$) passant par le point O.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $a$ un réel appartenant à l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.
	\\	
Démontrer que la tangente $\mathscr{T}_{a}$ à ($\mathscr{C}$) au point d'abscisse $a$ passe par l'origine du repère si et seulement si $f(a) -af'(a) = 0$.
\\
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 
		\[g(x) = f(x) - xf'(x).\]
		\item  Montrer que sur $]1~;~+\infty[$, les équations $g(x) = 0$ et 
		\\
		$(\ln x)^3 - (\ln x)^2- \ln x - 1 =  0$ ont les mêmes solutions.
		\item  Après avoir étudié les variations de la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(t) = t^3-t^2 -t - 1$ montrer que la fonction $u$ s'annule une fois et une seule sur $\R$.
		\item  En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe ($\mathscr{C}$) passant par le point O.
		\\
		 La courbe ($\mathscr{C}$) et la courbe $\Gamma$ sont données en annexe 2.
		\\ 
		 Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
	\end{enumerate}
\item	On considère un réel $m$ et l'équation $f(x) = mx$ d'inconnue $x$.
\\
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1~;~ 10].
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\begin{center}\textbf{ANNEXE 1}\\

(\emph{\`A rendre avec la copie)} \end{center}

\noindent\textbf{Exercice 1}
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,0)(0,1)
\pcline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\pcline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1) 
\psplot{0.5}{9}{x ln}
\psline[linestyle=dotted](2.4,0)(2.4,0.8755)(0,0.8755)
\psline[linestyle=dotted](6.6,0)(6.6,1.887)(0,1.887)
\uput[u](8.5,0){$x$}\uput[r](0,4.5){$y = \ln x$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](2.4,0.8755){A} \uput[d](2.4,0){$a$}
\uput[ul](6.6,1.887){B} \uput[d](6.6,0){$b$}
\uput[l](0,0.8755){Q} \uput[l](0,1.887){R}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ANNEXE 2}\\

(\emph{\`A rendre avec la copie)} \end{center}
\textbf{Exercice 2 - Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur}
 
\vspace{1cm}
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(12,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-3)(12,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(0,-3)(12,3)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0.05}{11.5}{x ln}
\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=2000]{1.355}{11.5}{x ln 1 x ln div sub}
\psline(0,-4)(1.5,-4)  \rput(6,-4){Courbe $\Gamma$ représentative de la fonction ln}
\psline[linestyle=dashed](0,-4.5)(1.5,-4.5)  \rput(6,-4.5){Courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}