  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
Préparation au BACCALAUREAT GENERAL 
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{3 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{6}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur le copie tout trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Complexes et exponentielles}


\Cr{Devoir Surveillé 5}




\Exoi{\textbf{R.O.C} \hfill (2 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. \\
On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$.
\\
On rappelle que $\left(\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.
\\Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. 
}

\Exoi{\hfill (11 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ d'unité graphique 2~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item Démontrer que la droite $\mathscr{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}$. 
		\item Etudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{D}_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$, on a : 
		\[f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2\]
		\item Etudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Que peut-on dire de la tangente $\mathscr{D}_{2}$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ? 
		\item En utilisant les variations de la fonction $f$, étudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{D}_{2}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la tangente $\mathscr{D}_{3}$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4} x + 1$. 
		\item Etudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la tangente $\mathscr{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$. 
\\
On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f''$ définie pour tout $x$ de $\R$ par : 
\[ 
	f"(x) =  \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3  \right)^3}.\]
	\end{enumerate}
\item On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathscr{C}$. 
Tracer la courbe  $\mathscr{C}$, les tangentes $\mathscr{D}_{2}, ~\mathscr{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathscr{C}$. On rappelle que l'unité graphique choisie est 2~cm. 
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (9 points)\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec u, \vec v)$.
 \\
Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$. \\
\textbf{Partie A : Etude d'un cas particulier}
On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. 
 \\
On note C le point d'affixe $c$ image du point A par la rotation $r$ et D le point d'affixe $d$ image du point B par la rotation $r$.
 \\
La figure est donnée en annexe  (figure 1). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme algébrique. 
	\item  En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que $c = -2$. On admet que $d = -2 - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que la droite (AC) a pour équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2)$.
	\item Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Etude du cas général}
\\
Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~2\pi[$. On considère la rotation de centre O et d'angle $\theta$.
 \\
On note A$'$ le point d'affixe $a'$, image du point A par la rotation $r$, et B$'$ le point d'affixe $b'$, image du point B par la rotation $r$. 
\\
La figure est donnée en annexe  (figure 2). 
\\
L'objectif est de démontrer que la droite (AA$'$) coupe le segment [BB$'$] en son milieu.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$. 
\item Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA$'$] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB$'$].
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$. 
	\item Démontrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$.  
	\item En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ). 
	\item Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA$'$).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (8 points)\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O\vec u, \vec v)$. On prendra pour unité graphique 2~cm.
\\
 Soit A, B et C les points d'affixes respectives: 
\[a = 3 - \text{i},\quad  b = 1- 3\text{i}~~ \text{et}~~ c = -1- \text{i}.\] 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? 
		\item Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon.
	\end{enumerate}	
\item  Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, image de A dans la rotation $r$ de centre $M$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$. 
		\item En déduire une expression de $n$ en fonction de $m$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $Q$ le milieu du segment [A$N$] et $q$ son affixe.  
Montrer que : $q = \dfrac{(1 - \text{i})m}{2}	+ 2 + \text{i}$.  
\item Dans cette question, $M$ est un point du cercle $\Gamma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'un réel $\theta$ tel que : $m = \sqrt{10} \text{e}^{\text{i}\theta}$. 
		\item Calculer $|q - 2 - \text{i}|$. Quel est le lieu $\Gamma'$ de $Q$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\vspace{1cm}

\textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie}

\bigskip
\textbf{Exercice 1}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](-0.1,0.5){$\vect{v}$}
\pspolygon[linewidth=2pt](0,0)(1,1.732)(-0.732,2.732)(0,0)(-2,0)(-2,-2)
\uput[dr](0,0){O} \uput[r](1,1.732){A} \uput[u](-0.732,2.732){B} \uput[u](-2,0){C} \uput[d](-2,-2){D}
\rput(0,-2.75){Partie A : figure 1} 
\end{pspicture}

\vspace{1cm}


\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](-0.1,0.5){$\vect{v}$}
\pspolygon[linewidth=2pt](0,0)(1,1.732)(-0.732,2.732)(0,0)(-1.95,0.39)(-2.23,-1.7)
\uput[dr](0,0){O} \uput[r](1,1.732){A} \uput[u](-0.732,2.732){B} \uput[l](-1.95,0.39){A$'$} \uput[d](-2.23,-1.7){B$'$}
\psarc(0,0){2}{60}{168} \psarc(0,0){2.828}{105}{218}
\rput(0,-2.75){Partie B : figure 2} 
\end{pspicture}
\end{center}














\end{document}