  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Continuité-Dérivabilité}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 3}




\Exoi{\textbf{R.O.C} \hfill (2 points)\\
On note $E$ la fonction de $\R$ dans $\R$ qui au réel $t$ associe sa partie entière $E(t)$ qui vérifie la relation :
$$ E(t)\leq t< E(t)+1$$
 Montrer que la fonction $E$ est discontinue pour tout $n\in\N$.
}



%\Exoi{\hfill (5 points)\\
%Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par  :
%$$ f(x)=\dfrac{x}{ \sqrt{3} }+\dfrac{ \sqrt{3} }{2x}$$
%et soit $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j)$
%\begin{enumerate}
%\item Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
%\item Préciser les équations des asymptotes de $\mathscr C_f$ ; pour déterminer l'une de ces asymptotes, on étudiera :
%$$ \Lim{+\infty}\left(f(x)-\dfrac{x}{\sqrt{3} }\right)$$
%\item Tracer $\mathscr C_f$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Soit $m$ un nombre réel et soit $\Delta$ la droite d'équation $y=m$. Discuter suivant les valeurs de $m$, le nombre de points d'intersection de $\Delta$ et de $\mathscr C_f$.
%\item Pour tout $m> \sqrt{2}$, on appelle $A$ et $B$ les points d'intersection de $\Delta$ et de $\mathscr C_f$.\\
%Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Montrer que, quand $m$ décrit l'intervalle $]\sqrt{2};+\infty[$, $I$ décrit une partie, que l'on précisera, de la droite $\Delta$ d'équation $x=\dfrac{\sqrt{3} }{2}y$. 
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Etude d'une fonction rationnelle}\hfill(9 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$ f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$$
et on note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal. (unité $1$ cm).
\begin{enumerate}
\item \textbf{Etude d'une fonction auxiliaire}\\
On pose $g(x)=x^3+3x+8$.
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $g$, et montrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $0,1$ 
\item Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation de $f$.
\item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que :
$$ f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+1}$$
\item En déduire que $\mathscr C_f$ admet une asymptote  oblique $\Delta$, et étudier la position de $\mathscr C_f$ par rapport à $\Delta$.\\
Vérifier en particulier que $\mathscr C_f$ rencontre $\Delta$ en unique point $A$.
\end{enumerate}
\item Déterminer les abscisses des points $B$ et $B'$ de $\mathscr C_f$ admettant une tangente parallèle à $\Delta$.
\item \begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$.
\item Tracer $\Delta$ et $\mathscr C$ en plaçant les points $A$, $B$ et $B'$, ainsi que les trois points $I$, $J$ et $K$ d'abscisses respectives $1$, $2$ et $-1$ avec leurs tangentes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Continuité}\hfill(3 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$\left\{ \begin{array}{l} f(x)= \dfrac{\sin x}{x}\qquad \text{ pour }x\neq 0\\f(0)=1  \end{array} \right. $$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la fonction $f$ est continue pour tout $x\neq 0$
\item En remarquant que $ f(x)=\dfrac{\sin x-\sin 0}{x-0}$, démontrer que :
$$ \Lim{0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$
\item En déduire que la fonction $f$ est continue en $0$ et donc que $f$ est continue sur $\R$
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Etude d'une suite définie par récurrence}\hfill (7 points)\\
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par  :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0= \dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$$
Etudier le sens de variation de $f$.
\item Utiliser le graphique en dernière page pour construire les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ de l'axe $(O; \vec i)$ d'abscisses respectives $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geq \sqrt{2}$.
\item Montrer que pour tout $x\geq \sqrt{2}$, $f(x)\leq x$.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$.
\item Prouver qu'elle converge.
\end{enumerate}
\item Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Montrer que $\ell$ est solution de l'équation $$ x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$$
En déduire sa valeur.
\end{enumerate}
}

\begin{center}
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\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(8.1,10.1)
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\end{center}
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