  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Récurrences et suites}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 2}
\begin{center}
\textit{\textbf{On traitera les questions hors barème que dans le cas où l'ensemble du sujet est déjà traité.}}
\end{center}
%\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C, Polynésie-juin 2005}}\hfill (3 points)\\
%\textsl{Pr\'erequis : d\'efinition d'une suite tendant vers} $+ \infty$. 
%\og \textsl{Une suite tend vers} $+ \infty$ \textsl{si, pour tout r\'eel $A$, tous les termes de la suite sont,  \`a partir d'un certain rang, sup\'erieurs  \`a $A$} \fg{}. \\
%D\'emontrer le th\'eorme suivant : \textsl{ une suite croissante non major\'ee tend vers}  $+\infty$.
%}

\Exoi{\textit{\textbf{R.O.C, France-juin 2005}}\hfill (3 points)\\
On considère deux suites  adjacentes $(u_n)$ et $(v_n)$ avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante.\\
On suppose connus les r\'esultats suivants : 
\begin{dinglist}{227}
\item deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est d\'ecroissante et $u_{n} - v_{n}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$ ;
\item si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes telles que $\left(u_{n}\right)$ est croissante et $\left(v_{n}\right)$ est d\'ecroissante, alors pour tout $n$ appartenant  \`a $\N$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$ ;
\item toute suite croissante et major\'ee est convergente ; toute suite d\'ecroissante et minor\'ee est convergente.
\end{dinglist}
On veut montrer la proposition suivante :
\begin{center} \og Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la m\^eme limite \fg{}.\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in\N$, on a : $\qquad \qquad \qquad  u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0$
\item En déduire que $(u_n)$ converge. On note $\ell$ sa limite.
\item De même, déduire de $1.$ que $(v_n)$ converge. On note $\ell'$ sa limite.
\item Montrer que $\ell=\ell'$.
\end{enumerate}
}

%\Exoi{\textit{Polynésie-2010}\hfill (3 points)\\
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.}
%\begin{enumerate}
%\item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
%\[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} +  \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\]
%\textbf{Proposition 1} : Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$. 
%\item  On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définies sur $\N$ telles que :
%\[\text{pour tout entier naturel}~n,~ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}.\]
%\textbf{Proposition 2} : Si les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est convergente.
%\item  
%\textbf{Proposition 3} : 
%\end{enumerate} }

\Exoi{\textit{\textbf{Antilles 2010}}\hfill (7 points)\\
On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 
\[u_{0} = - 1,~ u_{1} = \dfrac{1}{2}~ \text{et, pour tout entier naturel} ~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : $\qquad \qquad v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$. 
		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
		\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : 
\[w_{n}   = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_{0}$. 
		\item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$ et le résultat de la question $2. (b)$,  exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. 
		\item En déduire que $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$.
		\item Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$
\[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots	+ u_{n}$. 
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ : 
\[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]
\end{enumerate}
}



\Exoi{\textit{\textbf{Métropole Septembre 2010}}\hfill (5 points (+2))\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par  $$ u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$$
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, $\forall n\in\N$ $ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
 \\
On donne en annexe une partie de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la courbe donnée en annexe et à rendre avec la copie, placer $u_{0}$ sur l'axe des abscisses puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, $\forall n\in\N$, on a $u_{n} - 1 > 0$. En déduire que $(u_n)$ est minorée.
		\item Le but de cette question est de valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
		\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
\item En déduire, par un raisonnement par récurrence, que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. \footnote{On montrera la propriété $\mathscr P(n) : u_{n+1}<u_n$}
\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On note $\ell$ sa limite.
\item Montrer que $\ell=\dfrac{4\ell-1}{\ell+2}$, puis déterminer $\ell$.
\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
\item\textbf{ (Hors Barème)} Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 \\
Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. \footnote{On pourra montrer que $\forall n\in\N$, $v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{3}$}
		\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



%\Exoi{(Amérique du sud, novembre 2009)\hfill (points)\\
%Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec u, \vec v)$, on considère
%les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de $A$ associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]
%\begin{enumerate}
%\item
	%\begin{enumerate}
		%\item Déterminer l'affixe du point $P'$ image par $f$ du point $P$ d'affixe $(1 + i)$.
		%\item Montrer que les droites $(AP)$ et $(BP')$ sont parallèles.
		%\item Etablir que les droites $(AP)$ et $(PP')$ sont perpendiculaires.
	%\end{enumerate}
%\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (i.e l'ensemble des points tels que $M'= M$).
%On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.
%\item 
	%\begin{enumerate}
	%	\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.
	%	\item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
	%	\item Montrer que les droites $(AM)$ et $(BM')$ sont parallèles.
	%\end{enumerate}
%\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
%Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite $(AB)$. Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
%\item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point $Q$ d'affixe $3 - 2\text{i}$.
%\end{enumerate}}

\Exoi{(\textbf{Liban 2009})\hfill (5 points (+2))\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  $(O;\vec u, \vec v)$ (unité graphique : 2~cm).
\\
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d' affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{B}  = \overline{z_{A} }~\text{et}~ z_{C} =   - 3.\] 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Ecrire les nombres complexes $z_{A}$ et $z_{B}$ sous forme exponentielle. 
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$. 
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral. 
\end{enumerate}
\item 
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}iz^2$.
 \\
On note $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$ les points respectivement associés par $f$ aux points $O$, $A$, $B$ et $C$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la forme exponentielle des affixes des points $A'$, $B'$ et $C'$. \footnote{On remarquera que $i=e^{i \frac{\pi}{2}}$}
		\item Placer les points $A'$, $B'$ et $C'$ . 
		\item Démontrer l'alignement des points $O$, $A$ et $B'$ ainsi que celui des points $O$, $B$ et $A'$.
	\end{enumerate}  
\item Soit $G$ l'isobarycentre des points $O$, $A$, $B$ et $C$. On note $G'$ le point associé à $G$ par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les affixes des points $G$ et $G'$. 
		\item \textbf{(Hors Barème)} Le point $G'$ est-il l'isobarycentre des points $O'$ $A'$, $B'$ et $C'$ ? 
	\end{enumerate}
\item \textbf{(Hors Barème)} Démontrer que si $M$ appartient à la droite $(AB)$ alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\pagebreak
\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 2 (Exercice 3)\\}
(à rendre avec la copie) 

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}