  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 4 : Dérivabilité  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Fonction exponentielle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 9}

\begin{center} \textbf{Partie I} \end{center}
    
%On donne un entier naturel $n$ strictement positif, et on considre l'quation diffrentielle :

%\[(\text{E}_{n})\qquad 	y'+y = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate} 
\item %On fait l'hypothse que deux fonctions $g$ et $h$, dfinies et 
%drivables sur $\R$, vrifient, pour tout $x$ rel :

%	\[g(x) = h(x)\text{e}^{-x}.\]
	
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $g$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si, pour tout $x$ rel,
$g(x) = h(x)\text{e}^{-x} \Rightarrow g'(x) = h'(x)\text{e}^{-x} - h(x)\text{e}^{-x}$.

$g$ est solution de E$_{n}$ si et seulement si :

$g' + g = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x} \iff h'(x)\text{e}^{-x} - h(x)\text{e}^{-x} + h(x)\text{e}^{-x} = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x} \iff h'(x)\text{e}^{-x}  = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}$ et comme $\text{e}^{-x} \neq 0$, quel que soit $x \in \R$, on a finalement $h'(x) = \dfrac{x^n}{n!}.$
%\[h'(x) = \dfrac{x^n}{n!}.\]

		\item %En dduire la fonction $h$ associe  une solution $g$ de (E$_{n}$), sachant que $h(0)= 0$.
On a $(\dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)n!})'=\dfrac{x^n}{n!}$ et $\dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)n!} = \dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)!}$, donc $h(x) = \dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)!} + K$ et comme $h(0) = 0$, il en résulte $K = 0$.

Donc $h(x) = \dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)!}$
%Quelle est alors la fonction $g$ ?
Comme $g(x) = h(x)\text{e}^{-x}$, on a finalement quel que soit $x$ réel :
\[g(x) = \dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)!}\text{e}^{-x}.  \]
	\end{enumerate}

\item %Soit $\varphi$ une fonction drivable sur $\R$.

	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $\varphi$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si $\varphi - g$ est solution de l'quation :
$\varphi$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si $\varphi + \varphi' = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}$.

$g$ est solution de (E$_{n}$) donc $g' + g = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}$, d'o\`u par différence $$\varphi + \varphi' - (g' + g) = 0 \iff (\varphi - g)' + (\varphi - g) = 0$$

Donc $\varphi$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si $\varphi - g$ est solution de l'équation : 
\[(\text{F})\qquad 	y' + y = 0.\]

		\item %Rsoudre (F).
		On sait que les solutions sont les fonctions $x \longmapsto C\text{e}^{-x}$, avec $C \in \R$. 

		\item %Dterminer la solution gnrale $\varphi$ de l'quation (E$_{n}$). 
Les fonctions $\varphi - g$ sont donc les fonctions $C\text{e}^{-x}$, donc $\varphi(x) = g(x) + C\text{e}^{-x}$ soit finalement :
\[\varphi(x) = \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\text{e}^{-x} + C\text{e}^{-x},~C \in \R.\]
		\item %Dterminer la solution $f$ de l'quation (E$_{n}$) vrifiant $f(0) = 0$.
La solution vérifiant $\varphi(0) = 0$ est telle que $0 + C = 0 /iff C = 0$.

Finalement :
\[f(x) = \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\text{e}^{-x} \quad \text{sur}~\R.\]
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{ Partie II} \end{center}
    
%Le but de cette partie est de montrer que

%\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} = 
%\text{e} \quad  (\text{on rappelle que par convention} \quad 0! = 1).\]

\begin{enumerate} 
\item %On pose, pour tout $x$ rel,

%\[f_{0}(x) = \text{e}^{-x},~f_{1}(x) = x\text{e}^{-x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Vrifier que $f_{1}$ est solution de l'quation diffrentielle : $y' + y = f_{0}$.
$f_{1}$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur $\R,~ f'_{1}(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x}$.

Donc $f'_{1}(x) + f_{1}(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} + x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}$, c'est-à-dire que $f_{1}$ est solution de l'équation différentielle $y' + y = f_{0}$.
		\item %Pour tout entier strictement positif $n$, on dfinit la fonction $f_{n}$ comme la solution de l'quation diffrentielle $y' + y = 
% f_{n-1}$ vrifiant $f_{n}(0) = 0$.
 
%En utilisant la \textbf{Partie I}, montrer par rcurrence que, pour tout $x$ rel et tout entier $n \geqslant  1$ :

%\[f_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}.\]
\textbf{Initialisation :} pour $n = 1,~f_{1}(x) = \dfrac{x^{1}}{1!}\text{e}^{-x}$ est solution de l'quation diffrentielle $y' + y = 
 f_{1-1}$ et $f_{1}(0) = 0$, d'après la question précédente.
 
\textbf{Hérédité :} on suppose qu'il existe $n \in \N$ tel que $f_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}.$

Par définition $f_{n+1}$ vrifie $f'_{n+1}(x) + f_{n+1}(x) = \dfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}$ et $f_{n+1}(0) = 0.$

D'après la partie 1, la fonction solution de l'équation différentielle ci-dessous est :

\[f_{n+1}(x) = \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\text{e}^{-x}  \]

L'égalité est vraie au rang $n + 1$.L'hérédité est démontrée.

On a donc démontrer que pour tout naturel $n \geqslant 1$, 
\[f_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}.\]
	\end{enumerate}




\end{enumerate}



\end{document}
