  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 4 : Dérivabilité  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Dérivabilité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 8}

\Exop{}On souhaite étudier et représenter graphiquement la fonction tangente :
$$ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  $\cos x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}[\pi]$.
\item D'après la question précédente la fonction tangente est définie pour tout $x\neq \dfrac{\pi}{2}[\pi]$
\item On a pour tout $x\neq \dfrac{\pi}{2}[\pi]$ $$\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$$
La fonction tangente est donc impaire, ainsi sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\item On a pour tout $x\neq \dfrac{\pi}{2}[\pi]$
$$ \tan(x+\pi)=\dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\dfrac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x$$
 ce qui prouve que la fonction tangente est périodique de période $\pi$.\\
\Rq{Par conséquent, on va se contenter d'étudier la fonction tangente sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[ $, puis à l'aide de la parité on complétera le tracé par la symétrie de centre $O$, et à l'aide de la périodicité par une série de translation \og horizontale \fg.}
\end{enumerate}
\item Etudions les limites de la fonction tangente en $0^+$ et en $ \dfrac{\pi}{2}^-$. \\
On a d'une part $\Lim{0^+} \sin x=0$ et d'autre part $ \Lim{0^+}\cos x=1$, ainsi la limite de la fonction tangente en $0^+$ est $0$.\\
De plus on a $\Lim{\frac{\pi}{2}^-} \sin x=1$ et  $ \Lim{\frac{\pi}{2}^-}\cos x=0^+$, or :
$$ \Lim{0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$$
donc $$ \Lim{\frac{\pi}{2}^-}\tan x=\Lim{\frac{\pi}{2}^-}\dfrac{\sin x}{\cos x}= \Lim{0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$$
Ainsi la courbe $\mathscr C$ de la fonction tangente admet une asymptote verticale d'équation $x=\dfrac{\pi}{2}$
\item Etudions les variations de la fonction tangente sur $I=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[ $.\\
$$ \tan'x=\dfrac{\cos^x\times \cos ^x-\sin x\times (-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+ \sin^2 x}{\cos ^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$$
puisque $ \cos^2 x+ \sin^2 x=1$ pour tout $x\in\R$.\\
Mais on a aussi $\dfrac{\cos^2 x+ \sin^2 x}{\cos ^2 x}=1+\dfrac{\sin^2 x }{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$
 Ainsi : $$ \tan' x= \dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\geq 1>0$$
 Par conséquent la fonction tangente est strictement croissante sur $I$.
\item \begin{enumerate}
\item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C$ au point d'abscisse $0$ :
$$ y=f'(0)(x-0)+f(0)\qquad \text{avec }\tan x=f(x)$$
Donc $f(0)=\tan 0=0$ et $f'(0)=1+\tan^2 0=1$, d'où l'équation de $T$ :
$$ y=x$$
\item Démontrons que pour tout $x\in I$, on a : 
$$ \tan x\geq x$$
Considérons la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x)=\tan x-x$.\\
On a alors pour tout $x\in I$ :
$$ g'(x)=1+\tan^2 x-1=\tan^2 x\geq 0$$
Ainsi la fonction $g$ est croissante sur $I$, donc pour tout $x\in I$ :
$$ g(x)\geq g(0)\Longleftrightarrow \tan x-x\geq 0\Longleftrightarrow \tan x\geq x$$
\item Comme $\tan x-x\geq 0$ la courbe $\mathscr C$ est au dessus de $T$.
\end{enumerate}
\item En bleu les droites $\Delta$ (i.e les asymptotes verticales de $\mathscr C$ et la courbe $\mathscr C$, et en rouge $T$ . (On se placera entre les bornes $-2\pi$ et $2\pi$)
\end{enumerate}


\begin{center}
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\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.38,-6.1)(6.38,6.1)
\def\xmin{-6.28} \def\xmax{6.28} \def\ymin{-6} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-6.38,-6.1)(6.38,6.1)
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\uput[dl](0,0){\small O}
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\def\F{x TAN}
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\end{pspicture*}



\end{center}
\end{document}
