  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : R\'ecurrences et Suites  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Continuité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 7}



\Exoi{\textit{Une caractérisation des fonctions égales à leur réciproque}\hfill (5 points)\\
On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ telle que :
$$ \forall x\in\R,\qquad  f\circ f(x)=x$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O; \vec i, \vec j)$
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $$ g(x)=x-2 \sqrt{x}+1 $$
\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est dérivable pour tout $x\in]0;1]$ et on a pour tout $x\in ][0;1]$ on a :
$$g'(x)=1-\dfrac{2}{2 \sqrt{x} } =1-\dfrac{1}{ \sqrt{x} }$$
Comme $x\in]0;1]$ on a :
\begin{eqnarray*}
& 0<x\leq 1\\
\Longleftrightarrow & 0<\sqrt{x}\leq 1\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{1}{ \sqrt{x} }\geq 1\\
\Longleftrightarrow & -\dfrac{1}{ \sqrt{x} }\leq -1\\
\Longleftrightarrow & 1- \dfrac{1}{ \sqrt{x} } \leq 0\\
\Longleftrightarrow & g'(x) \leq 0
\end{eqnarray*}
Par conséquent la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0;1]$ car $g'$ ne s'annule que pour $x=1$.
\item Pour tout $x\in[0;1]$ on a $$g\circ g(x)=g(x-2 \sqrt{x}+1 )=x-2 \sqrt{x}+1 -2 \sqrt{x-2 \sqrt{x}+1 }+1=x-2 \sqrt{x}+2-2 \sqrt{(\sqrt{x}-1)^2 }$$
Or pour $x\in[0;1]$ on a $ \sqrt{x}-1\leq 0$ donc $ \sqrt{(\sqrt{x}-1)^2 }=-(\sqrt{x}-1 )=1- \sqrt{x}$, on a donc pour tout $x\in[0;1]$ :
$$ g\circ g(x)=x-2 \sqrt{x}+2-2(1-\sqrt{x})=x- 2 \sqrt{x}+2-2+ 2 \sqrt{x}=x $$
\item cf. ci dessous
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Si $M(x;y)\in\mathscr C_f$ alors $M$ a pour coordonnées $(x;f(x))$, comme $f\circ f(x)=x$ on a le point $M'(f(x);f\circ f(x)=x)\in\mathscr C_f$.
\item $\mathscr C_f$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $y=x$ d'après la question précédente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(2.1,2.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{2} \def\ymin{-1} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(2.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-1)(2,2)
\psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 x 1 2 div exp mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{\textit{Continuité}\hfill (5 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$\left\{ \begin{array}{l} f(x)=x^2(2-x)\qquad \text{si}\qquad x\in[0;2[ \\ f(2+x)=f(x)\qquad \forall x\in\R  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Sur $[0;2[$ la fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue. De plus pour $x=2$ on a :
$$ \limd{2} f(x)=f(0)=0$$
et 
$$ \limg{2} f(x)=f(2)=0$$
Par conséquent on a :
$$ \Lim{2} f(x)=f(2)=0$$
ce qui prouve que la fonction $f$ est continue en $2$.\\
Au final $f$ est continue sur $[0;2]$
\item Pour tout $x\in [0;2]$ on  a
$f'(x)=2x(2-x)-x^2=x(4-2x-x)=x(4-3x)$
$$f'(x)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou} \qquad 4-3x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}$$
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$0$,$ \dfrac{4}{3}$,$ 2$}% 
\tkzTabLine{ z, + , z , - , }% 
\tkzTabVar{-/ $ 0$ , +/ $ \dfrac{32}{27}$, -/$0 $ } 
\end{tikzpicture} 
\\
cf ci-dessous pour la courbe.
\item On peut en déduire la représentation graphique de $f$ sur l'intervalle $[2n;2n+2]$ où $n\in\Z$ par translation de vecteur $ 2n\vec{i}$ de la représentation graphique de $f$ sur $[0;2]$ 
\end{enumerate}
\item Si $x\in[2n;2n+2]$ alors $x-2n \in [0;2]$ et :
$$ f(x-2n)=(x-2n)^2(2-x+2n)=(x-2n)^2(2n+2-x)$$
Montrons que $f(x)=f(x-2n)$ pour tout $x\in\R$\\
Par récurrence notons $\mathscr P(n)$ : $f(x)=f(x-2n)$
\begin{itemize}
\item pour $n=0$ la propriété $\mathscr P$ est trivialement vraie.
\item Supposons que $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$\\
On a donc $f(x-2n)=f(x)$ pour tout $x\in\R$, or on a $f(x+2)=f(x)$ pour tout $x\in\R$, donc on a $f(x-2)=f(x)$ en appliquant la formule précédente pour $x-2$ donc :
$$ f(x-2n-2)=f(x-2n)=f(x)\Longleftrightarrow f(x-2(n+1))=f(x)$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$, ainsi pour tout $x\in[2n;2n+2]$ avec $n\in\N$ on a $$ f(x)=(x-2n)^2(2-x+2n)$$
\end{itemize}
Si $n\leq 0$ alors posons $m=-n\in\N$ et montrons, par récurrence la propriété $\mathscr P'(n)$ :
$$ f(x+2m)=f(x)$$
\begin{itemize}
\item pour $m=0$ la propriété $\mathscr P'$ est trivialement vraie.
\item Supposons que $\mathscr P'$ soit vraie au rang $m$ et montrons que $\mathscr P'$ est vraie au rang $m+1$\\
$$ f(x+2m+2)=f(x+2m)=f(x)$$
La propriété $\mathscr P'$ est donc vraie au rang $m+1$\\
Par conséquent on a, pour tout $x\in\R$ et pour tout $n\leq 0$ :
$$ f(x-2n)=f(x+2m)=f(x)$$
\end{itemize}
 Pour résumé si $x\in[2n;2n+2]$, alors $$ f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x)$$
\item En raisonnant comme en $1.a$, puisque $f$ est une fonction polynôme $f$ est continue sur tout intervalle de la forme $[2n;2n+2[$, de plus pour $x=2n$
$$ \limd{2n} f(x)=0$$
et 
$$ \limg{2n} f(x)=0$$
Par conséquent on a :
$$ \Lim{2n} f(x)=0=f(2n)$$
Ainsi $f$ est continue sur $\R$
\end{enumerate}}


\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(2.1,2.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{2} \def\ymin{-1} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(2.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-1)(2,2)
\psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
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\end{center}

\end{document}
