  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : R\'ecurrences et Suites  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Récurrences et suites}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 6}

\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{23}{27}$ pour tout entier naturel $n$. 
\begin{enumerate}
\item Cf. Dernière page.
\item Démontrer que si la suite $u$ est convergente, alors sa limite $\ell=\dfrac{23}{18}$.\\
Supposons que la suite $(u_n)$ soit convergente vers $\ell$, comme la fonction $f:x\longmapsto \dfrac{1}{3}x+\dfrac{23}{27}$ est continue sur $\R$, la suite $(f(u_n)$ converge vers $f(\ell)$ et on a donc :
$$f(\ell)=\ell\Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}\ell+\dfrac{23}{27}=\ell \Longleftrightarrow \ell \left(\dfrac{1}{3}-1\right)=-\dfrac{23}{27}\Longleftrightarrow \ell =\dfrac{23}{27}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{18}$$
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\geq \dfrac{23}{18}$.\\
Notons pour cela $\mathscr P(n)$ : $ u_n\geq \dfrac{23}{18}$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $u_0=2>\dfrac{23}{18}$, par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité } : Supposons que $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$\\
On suppose donc que $u_n\geq \dfrac{23}{18}\Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}u_n\geq \dfrac{23}{54} \Longleftrightarrow u_{n+1}\geq \dfrac{23}{54}+\dfrac{23}{27}=\dfrac{23+46}{54}=\dfrac{69}{54}=\dfrac{23}{18}$\\
La propriété $\mathscr P$ est donc vraie au rang $n+1$, on a donc pour tout $n\in\N$ :
$$ u_n\geq \dfrac{23}{18}$$
\end{itemize}
\item On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ :
$$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{23}{27} -u_n=-\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{23}{27}\geq -\dfrac{2}{3}\times \dfrac{23}{18}+\dfrac{23}{27}=\dfrac{-46+46}{54}=0$$
De plus $$ u_n\geq \dfrac{23}{18}\Longleftrightarrow -\dfrac{2}{3}u_n\leq -\dfrac{46}{54}\Longleftrightarrow -\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{23}{27}\leq -\dfrac{46}{54}+\dfrac{23}{27}=\dfrac{-46+46}{54}=0$$
Par conséquent, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}\leq u_n$, et donc la suite $(u_n)$ est décroissante. Comme, de plus, la suite $(u_n)$ est minorée, elle est donc convergente.\\
Enfin on a démontré qui si elle était convergente sa limite était $ \dfrac{23}{18}$, par conséquent sa limite est $ \dfrac{23}{18}$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. 
Posons $w_n=\dfrac{1}{10^n}$ alors la suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{10}$ et de premier terme $1$.\\
Ainsi la somme des $n$ termes suivants vaut :
$$ \dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^3}+\dots+\dfrac{1}{10^{n+1}}= \dfrac{1}{10^2}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{10^n} }{1-\dfrac{1}{10} }=\dfrac{1}{100}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{10^n} }{\dfrac{90}{100} }=\dfrac{1}{90}\times \left(1-\dfrac{1}{10^n}\right)$$ 
\item La suite $v$ est définie par $v_n=1,2777\dots7$ avec $n$ décimales consécutives égales à $7$.\\
Ainsi $v_0=1,2$, $v_1=1,27$ et $v_2=1,277$.\\
On a $v_0=1,2$, $v_1=1,2+0,07=1,2+7\times \dfrac{1}{100}=1,2+7\times \dfrac{1}{10^2}$, puis 
$$ v_2=1,2+7\times 0,01+7\times 0,01=1,2+7\left(\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^3}\right)$$
Et enfin, pour $n\geq 2$ on a :
$$ v_n=1,2+7\left(\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^3}+\dots+\dfrac{1}{10^{n+1}}\right)$$ et donc d'après la question précédente :
$$ v_n=1,2+7\left(\dfrac{1}{90}\times \left(1-\dfrac{1}{10^n}\right)\right)$$
Comme $ \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{10^n}=0$ on a aussi :
$$ \displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n=1,2+7\times \dfrac{1}{90}=1,2+\dfrac{7}{90}=\dfrac{12}{10}+\dfrac{7}{90}=\dfrac{108+7}{90}=\dfrac{115}{90}=\dfrac{23}{18}$$
\end{enumerate}
\item 
On a vu que la suite $(u_n)$ était décroissante et avait pour limite $ \dfrac{23}{18}$, de plus :
$$ \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n-v_n=\dfrac{23}{18}-\dfrac{23}{18}=0$$
Par conséquent les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont ajdacentes si et seulement si la suite $(v_n)$ est croissante. Déterminons donc le sens de variation de la suite $(v_n)$, On a :
$$ v_{n+1}-v_n=1,2+7\left(\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^3}+\dots+\dfrac{1}{10^{n+2}}\right)-1,2-7\left(\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^3}+\dots+\dfrac{1}{10^{n+1}}\right)=7\times \dfrac{1}{10^{n+2}}>0$$
Par conséquent la suite $(v_n)$ est croissante, ce qui prouve que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
La suite $u$ définie au $1.$ et la suite $v$ sont-elles adjacentes ? Justifier.
\end{enumerate}


\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=4cm , yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.6)(3.5,2.6)
\def\xmin{-1} \def\xmax{3} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.5,-1.6)(3.5,2.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2,0)(2,1.51851)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(2,0)(2,1.51851)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2,1.51851)(0,1.51851)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(2,1.51851)(0,1.51851)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.51851)(1.51851,1.51851)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,1.51851)(1.51851,1.51851)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.51851,1.51851)(1.51851,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.51851,1.51851)(1.51851,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.51851,0)(1.51851,1.35802)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.51851,0)(1.51851,1.35802)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.51851,1.35802)(0,1.35802)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.51851,1.35802)(0,1.35802)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.35802)(1.35802,1.35802)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,1.35802)(1.35802,1.35802)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.35802,1.35802)(1.35802,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.35802,1.35802)(1.35802,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.35802,0)(1.35802,1.30452)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.35802,0)(1.35802,1.30452)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.35802,1.30452)(0,1.30452)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.35802,1.30452)(0,1.30452)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.30452)(1.30452,1.30452)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,1.30452)(1.30452,1.30452)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.30452,1.30452)(1.30452,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.30452,1.30452)(1.30452,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.30452,0)(1.30452,1.28669)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.30452,0)(1.30452,1.28669)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.30452,1.28669)(0,1.28669)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.30452,1.28669)(0,1.28669)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.28669)(1.28669,1.28669)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,1.28669)(1.28669,1.28669)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.28669,1.28669)(1.28669,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1.28669,1.28669)(1.28669,0)
\def\F{1 x mul 3 div 23 27 div add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\uput[0](4.2,-3.5){$y=-\frac{2x}{3}-1$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](2,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,1.51851){\small $u_1$}
\uput[-90](1.51851,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,1.35802){\small $u_2$}
\uput[-90](1.35802,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,1.30452){\small $u_3$}
\uput[-90](1.30452,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,1.28669){\small $u_4$}
\uput[-90](1.28669,0){\small $u_4$}
\end{pspicture*}


\end{center}


\end{document}
