  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : R\'ecurrences et Suites  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
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\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Récurrences et suites}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 5}

\Exoi{2010\hfill (5 points)\\}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
\[ f(x) = 6 -  \dfrac{5}{x + 1}.\]
Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et v\'erifiant pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\]
\begin{enumerate}
\item  Etude de propriétés de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item On a :
		$$ f'(x)=\dfrac{5}{(x+1)^2}>0\qquad \forall x\in\R^+$$
		Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R^+$
		\item Pour tout $x\in\R^+$ on a :
		\begin{eqnarray*}
& f(x)=x\\
\Longleftrightarrow & 6- \dfrac{5}{x+1}=x\\
\Longleftrightarrow & -\dfrac{5}{x+1}=x-6\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{5}{x+1}=6-x\\
\Longleftrightarrow & 5=(6-x)(x+1)\\
\Longleftrightarrow & 5=6x+6-x^2-x\\
\Longleftrightarrow x^2-5x-1=0\\
\Longleftrightarrow & x_1=\dfrac{5+\sqrt{29} }{2}>0\qquad \text{ou}\qquad \dfrac{5-\sqrt{29} }{2}<0\\
\end{eqnarray*}
donc $\alpha=\dfrac{5+\sqrt{29} }{2}$.
		\item Si $x\in[0;\alpha]$ alors $0\leq x \leq \alpha$.\\
		Comme la fonction $f$ est croissante sur $\R^+$ alors 
		$ 0\leq x \leq \alpha\Longrightarrow f(0)\leq f(x)\leq f(\alpha)$\\
		Or, $f(0)=6-5=1$ et on a vu que pour $x=\alpha$ $f(\alpha)=\alpha$ \\
		donc : $ 1\leq f(x)\leq f(\alpha) \Longrightarrow f(x)\in[0;\alpha] $
		 \\
		 De même
\begin{eqnarray*}
& x\in[\alpha;+\infty[\\
\Longrightarrow & \alpha\leq x\\
\Longrightarrow & f(\alpha)\leq f(x)\qquad \text{puisque $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$}\\
\Longrightarrow & \alpha \leq f(x)\\
\Longrightarrow  & f(x)\in[\alpha;+\infty[
\end{eqnarray*}
	\end{enumerate}
\item Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$
\\
Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Cf graphique en fin de corrigé
 \\
La suite $\left(u_{n}\right)$ semble  croissante croissante et semble converger vers $\alpha$.
		\item Notons $\mathscr P(n)$ $ 0 \leqslant u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant \alpha$.
		\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $u_0=0$ et $u_1=1$ donc $0\leq 0\leq 1\leq \alpha\simeq 5,19$ i.e
$$ 0\leq u_0\leq u_1\leq \alpha$$ 
La propriété $\mathscr P$ est donc vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} On suppose que la propriété est vraie pour un certain rang $n$ et on cherche à montrer que $ 0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq \alpha$ i.e que la propriété est vraie au rang $n+1$\\
On sait que $$0 \leqslant u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant \alpha$$
Or, la fonction $f$ est croissante sur $\R^+$ donc :
$$ f(0) \leqslant f(u_{n}) \leqslant  f(u_{n+1}) \leqslant f(\alpha)\Longleftrightarrow (0\leq) 1\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq \alpha $$
$\mathscr P$ est donc vraie au rang $n+1$, la propriété $\mathscr P$ est donc héréditaire, ce qui prouve que pour tout entier $n\in\N$ on a :
$$ 0 \leqslant u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant \alpha$$
\end{itemize} 
		\item D'après la question précédente $\left(u_{n}\right)$ est croissante et majorée par $\alpha$, par conséquent elle est convergente.
		\\
		Soit $\ell$ sa limite on a :
		$$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell $$
		De plus (car $f$ est une fonction continue) on a :
		$$ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(u_n)=f(\ell)$$
		Comme $u_{n+1}=f(u_n)$, par passage à la limite on obtient :
		$$ \ell =f(\ell)\Longleftrightarrow \ell =\alpha$$
		Par conséquent : $$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\alpha$$
	\end{enumerate} 
\item Etude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$\\
\emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incompleète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'eévaluation.}\\
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ ?
\\
On a vu que lorsque $u_0=0$, alors $(u_n)$ est croissante et converge vers $\alpha$. \\
\begin{itemize}
\item Pour $u_0\in]0;\alpha[$\\
A voir le graphique, on conjecture que  $(u_n)$ sera croissante et convergente vers $\alpha$. \\
Prouvons par récurrence que 
$$ 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \alpha$$
La démonstration de l'hérédité est équivalente à celle de la question $2$. Observons l'initialisation :
\\On veut montrer que $ u_0<u_1$ \\
$u_1-u_0=6-\dfrac{5}{u_0+1}-u_0=\dfrac{6u_0+6-5-u_0^2-u_0}{u_0+1}=\dfrac{-u_0^2+5u_0+1}{u_0+1}$
Comme $u_0>0$ on a $u_0+1>0$, étudions le signe du numérateur :
$\Delta=25+4=29$ on a donc deux solutions $\alpha$ et $\alpha'=\dfrac{5-\sqrt{29} }{2}$ et de plus $-x^2+5x+1>0$ pour $x\in[\alpha';\alpha]$.\\
Par conséquent comme $u_0\in]0;\alpha[$, on a : $u_1-u_0>0\Longleftrightarrow u_1>u_0 $
De plus comme $u_0<\alpha$ alors $f(u_0)=u_1< \alpha$ et donc la propriété $\mathscr P$ est initialisée.\\
Etant donné que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée, elle est convergente, sa limite est encore $\alpha$ en raisonnant de la même manière  que dans la question $2.(c)$.
\item Si $u_0=\alpha$ alors $u_n=\alpha$ (faire une récurrence pour s'en convaincre)
\item Enfin si $u_0>\alpha$.\\
A voir le graphique, il semblerait que $(u_n)$ soit décroissante et converge vers $\alpha$. \\
Notons $\mathscr P(n)$ : $\alpha<u_{n+1}\leq u_n$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} Comme $u_0>\alpha$ et que $f$ est une fonction croissante sur $\R^+$ on a :
$$ f(\alpha)<f(u_0)=u_1\Longleftrightarrow \alpha<u_1$$
Comme dans le cas précédent on étudie la différence $u_1-u_0=\dfrac{-u_0^2+5u_0+1}{u_0+1}<0$ pour $u_0>\alpha$, par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité } Supposons que la propriété $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$. On a donc :
$$ \alpha<u_{n+1}\leq u_n$$
Comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R^+$ alors :
$$ f(\alpha)<f(u_{n+1}\leq f(u_n)\Longleftrightarrow \alpha<u_{n+2}<u_{n+1}$$
donc la propriété est vraie au rang $n+1$, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée donc convergente vers un réel $\ell$. De plus :
$$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell $$
		De plus (car $f$ est une fonction continue) on a :
		$$ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(u_n)=f(\ell)$$
		Comme $u_{n+1}=f(u_n)$, par passage à la limite on obtient :
		$$ \ell =f(\ell)\Longleftrightarrow \ell =\alpha$$
		Par conséquent : $$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\alpha$$
\end{itemize}
\end{itemize} 
\end{enumerate} 
\begin{center}
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