  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : R\'ecurrences et Suites  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Récurrences et suites}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 4}

\Exoi{2010\hfill (5 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\N$ :
$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+n-2$$
\begin{enumerate}
\item  $u_1=\dfrac{1}{3}+0-2=-\dfrac{5}{3}$ et $u_2=-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{5}{3}+1-2=-\dfrac{5}{9}-1=-\dfrac{14}{9}$ et enfin $u_3=-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{14}{9}+2-2=-\dfrac{14}{27}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
		On montre par récurrence la propriété $\forall n\geq 4$:
		$$ \mathscr P(n) : u_n\geq 0$$
		\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=4$ on a $ u_4=-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{14}{27}+3-2=\dfrac{67}{81}>0$
\\
Par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} On suppose que pour un certain $n\geq 4$ la propriété $\mathscr P(n)$ est vraie et on cherche à montrer que $\mathscr P(n+1)$ est vraie.
On a d'après l'hypothèse de récurrence :
$$u_n\geq 0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}u_n\geq 0$$
Or $n\geq 4\Longleftrightarrow n-2\geq 2$, par conséquent :
$$ \dfrac{1}{3}u_n+n-2\geq 2\geq 0\Longleftrightarrow u_{n+1}\geq 0$$
La propriété $\mathscr P$ est ainsi vraie au rang $n+1$, ce qui montre que pour tout $n\geq 4$ on a $u_n\geq 4$ 
\end{itemize}
		\item On a pour tout $n\geq 4$ :
		$$ u_n\geq 0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}u_n\geq 0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}u_n+n-2\geq n-2\Longleftrightarrow u_{n+1}\geq n-2$$
		Or, $n\geq 4\Longleftrightarrow n+1 \geq 5$, par conséquent pour tout $n\geq 5$ on a:
		$$ u_{n}\geq n-1-2=n-3$$
		\item pour tout $n\geq 5$ on a:
		$$ u_{n}\geq n-1-2=n-3$$
		Or, $\lim\limits_{n\to +\infty}n-3=+\infty \Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $(v_n)$ par, pour tout $n\in\N$ :
$$ v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}$$
	\begin{enumerate}
		\item
	\begin{eqnarray*}
 v_{n+1}=&-2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}{2}\\
 =&-\dfrac{2}{3}u_n-2n+4+3n+3-\dfrac{21}{2}\\
 =& -\dfrac{2}{3}u_n+n+7-\dfrac{21}{2}\\
 =& -\dfrac{2}{3}u_n+n-\dfrac{7}{2}\\
 =& -2\times \dfrac{1}{3}u_n+3n\times \dfrac{1}{3}-\dfrac{21}{2}\times \dfrac{1}{3}\\
 =& \dfrac{1}{3}\left(-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}\right)\\
 =& \dfrac{1}{3}v_n
\end{eqnarray*}	
		 donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{3} $ et de premier terme $v_0=-\dfrac{25}{2}$ .
		\item
\begin{eqnarray*}
& v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}\\
\Longleftrightarrow & 2u_n=-v_n+3n-\dfrac{21}{2}\\
\Longleftrightarrow & u_n=-\dfrac{1}{2}v_n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}\\
\end{eqnarray*}		
Or, d'après la question précédente, on a :
$$ v_n=v_0\times q^n=-\dfrac{25}{2}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$$
d'où : 
$$ u_n=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{25}{2}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right)+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}$$
et donc pour tout $n\in\N$, $$ u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}$$
		\item 
\begin{eqnarray*}
& S_n=\sum_{k=0}^n u_k\\
=&u_0+u_1+\dots+u_{n-1}+u_n\\
=&\dfrac{25}{4}\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^0+\left(\dfrac{1}{3}\right)^1+\dots+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right)+\dfrac{3}{2}\left(0+1+\dots+n-1+n\right)-\dfrac{21}{4}(1+1+\dots+1)\\
=& \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} }{1-\dfrac{1}{3} }\right)+\dfrac{3n}{4}\left(1+n\right)-(n+1)\dfrac{21}{4}\\
=&\dfrac{75}{8}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)+(n+1)\dfrac{3n-21}{4}
\end{eqnarray*}		
	\end{enumerate} 
		\end{enumerate} }

\end{document}
