  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Nombres complexes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 3}

\Exoi{\hfill(3,5 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n +4 \end{array} \right.$$
et la suite $(v_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ v_n=u_n-6$$
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?\\
\begin{eqnarray*}
\dfrac{v_{n+1}}{v_n} =&\dfrac{u_{n+1}-6}{u_n-6} \\
=& \dfrac{\dfrac{1}{3}u_n+4-6 }{u_n-6}\\
=& \dfrac{\dfrac{1}{3}u_n-2 }{u_n-6}\\
=& \dfrac{1}{3}\dfrac{u_n-6}{u_n-6}\\
=&\dfrac{1}{3}\\
\end{eqnarray*}
Par conséquent $$ v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n$$
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{3}$.
\item On a $ v_0=u_0-6=-5 $, par conséquent $v_n=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$. Tous les termes de cette suite sont négatifs et de plus :
$$ \dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{1}{3}<1\Longleftrightarrow v_{n+1}>v_n$$
$(v_n)$ est une suite strictement croissante.
\item En déduire le sens de variation de $(u_n)$.\\
Pour tout $n\in\N$ on a $u_{n+1}-u_n=v_{n+1}-6-v_n+6=v_{n+1}-v_n>0$, ce qui prouve que $u_{n+1}>u_n$, pour tout $n\in\N$ et donc que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Démontrer, de deux manières différentes, que pour tout entier naturel $n$ :
$$ u_n=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+6$$
\textit{Première méthode} :\\
Comme $v_n=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ et comme $v_n=u_n-6$ on a :
$$ u_n=v_n+6=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+6$$
\textit{Deuxième méthode} : \\
On raisonne par récurrence et on note $\mathscr P(n)$ la propriété $ u_n=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+6$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : pour $n=0$ on a $ -5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^0+6=-5+6=1=u_0$, par conséquent $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\\D'après l'hypothèse de récurrence on a $ u_n=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+6$. \\
Or, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4=\dfrac{1}{3}\left[-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+6\right] +4=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}+2+4=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}+6$\\
Par conséquent $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\item \textit{Conclusion} : On vient de démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $ u_n=-5\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+6$.
\end{itemize}
\item Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.\\
On a $$\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$$
Par conséquent : $$ \lim\limits_{n\to+\infty}  u_n=6$$
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (1,5 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2} }$$
Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geq 1$ on a $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ }

\Dem{Notons $\mathscr P(n)$, pour $n\geq 1$, la propriété $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : pour $n=1$ on a $u_1=\sqrt{\dfrac{1}{2} }$ et on a bien :
$$ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_1\leq 1$$
Donc $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\\D'après l'hypothèse de récurrence on a $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$.\\
De plus $$ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2} }<\sqrt{\dfrac{1+1}{2} }=1$$
 Mais encore :
$$ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2} }\geq \sqrt{\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{2} } }{2} }=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+ 1}{2\sqrt{2} } }\geq \sqrt{\dfrac{\sqrt{2} }{2 \sqrt{2} } }=\sqrt{\dfrac{1}{2} }=\dfrac{1}{\sqrt{2} }$$
La propriété $\mathscr P$ est donc vraie au rang $n+1$.
\item \textit{Conclusion} : On a donc démontré par récurrence que : $$ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$$
\end{itemize}}

\end{document}
