  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
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\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Nombres complexes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 2}

\Exoi{\hfill(5 points)}
Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec u,\vec v)$ ($2$ cm pour une unité graphique).\\
On appelle $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.\\
On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.\\
On appelle $f$ l'application du plan privé du point $O$ dans $P$ qui, à tout point $M$ différent de $O$, d'affixe $z$, associe le point $M'=f(M)$ d'affixe $z'$ définie par :
$$ z'=z+i-\dfrac{1}{z}$$
\begin{enumerate}
\item On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=i$ et $b=e^{i \frac{\pi}{6} }$ et leurs images $A'$ et $B'$ par $f$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$.
\begin{enumerate}
\item On a $$a'=i+i-\dfrac{1}{i}=2i-\dfrac{1}{i}=2i+i=3i$$ Et  $$b'=e^{i \frac{\pi}{6} }+i-\dfrac{1}{e^{i \frac{\pi}{6} }}=e^{i \frac{\pi}{6} }+i-e^{-i \frac{\pi}{6} }=\dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{i}{2}+i-\dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i=2i$$.
\item Placer les points $A$, $A'$, $B$ et $B'$.
\item $$ \dfrac{-b}{b'-b}=\dfrac{-e^{i \frac{\pi}{6} }}{2i-e^{i \frac{\pi}{6} }}=\dfrac{-\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2}i }{2i- \frac{\sqrt{3} }{2}-\frac{1}{2}i }=\dfrac{ -\dfrac{\sqrt{3} }{2}-\dfrac{1}{2}i }{- \dfrac{\sqrt{3} }{2}+ \dfrac{3}{2}i }=\dfrac{ \left( -\dfrac{\sqrt{3} }{2}-\dfrac{1}{2}i\right)\left(- \dfrac{\sqrt{3} }{2}- \dfrac{3}{2}i\right) }{\dfrac{3}{4}+ \dfrac{9}{4} }$$
i.e : $$ \dfrac{-b}{b'-b}=\dfrac{ \left( -\dfrac{\sqrt{3} }{2}-\dfrac{1}{2}i\right)\left(- \dfrac{\sqrt{3} }{2}- \dfrac{3}{2}i\right) }{3 }=\dfrac{\dfrac{3}{4}+ \dfrac{3 \sqrt{3} }{4}i + \dfrac{\sqrt{3} }{4}i- \dfrac{3}{4} }{3}=\dfrac{\sqrt{3} }{3}i$$
\item D'après la question précédente on a :
$$ \mid \dfrac{z_O-z_B}{z_{B'}-z_B}\mid=\dfrac{\sqrt{3} }{3}\Longleftrightarrow \mid z_O-z_B\mid=\dfrac{\sqrt{3} }{3}\mid z_{B'}-z_B\mid \Longleftrightarrow \mid z_{\overrightarrow{BO} }\mid = \dfrac{\sqrt{3} }{3}\mid z_{\overrightarrow{BB'} }\mid \Longleftrightarrow BO=\dfrac{\sqrt{3} }{3}BB'$$
Or, $BO=\mid b \mid =1\Longrightarrow BB'=\dfrac{3}{ \sqrt{3} }=\sqrt{3}$. De plus $OB'=2$. \\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore (comme $1+3=2^2$) on conclut que le triangle $OBB'$ est rectangle en $B$.
\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de déterminer l'ensemble $(E)$ des points du plan $P$ privé de $O$ qui ont pour image $O$ par $f$.
\begin{enumerate}
\item Démontrons que, pour tout nombre complexe $z$ :
$$ z^2+iz-1=\left(z+\dfrac{ \sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\left(z- \dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$$

$$\left(z+\dfrac{ \sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\left(z- \dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i\right)= z^2-\dfrac{\sqrt{3} }{2}z +\dfrac{1}{2}iz+\dfrac{ \sqrt{3} }{2}z-\dfrac{3}{4}+\dfrac{ \sqrt{3} }{4}i+\dfrac{1}{2}iz-\dfrac{\sqrt{3} }{4}i-\dfrac{1}{4}=z^2+iz-1$$
\item Les affixes des points de l'ensemble $(E)$ vérifient $z'=0$ i.e:
$$ 0=z+i-\dfrac{1}{z}\Longleftrightarrow z^2+iz-1=0\Longleftrightarrow \left(z+\dfrac{ \sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\left(z- \dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=0 \Longleftrightarrow z_1=-\dfrac{ \sqrt{3} }{2}-\dfrac{1}{2}i\quad \text{ou}\quad z_2=\dfrac{ \sqrt{3} }{2}-\dfrac{1}{2}i$$
\item  $(E)$ est un ensemble qui contient deux points d'affixe $z_1$ et $z_2$ où :
$$ z_1=-\dfrac{ \sqrt{3} }{2}-\dfrac{1}{2}i=\cos \dfrac{7\pi}{6}+i\sin \dfrac{7\pi}{6}=e^{i \frac{7\pi}{6}} $$ 
$$  z_2=\dfrac{ \sqrt{3} }{2}-\dfrac{1}{2}i=\cos \dfrac{-\pi}{6}+i\sin \dfrac{-\pi}{6}=e^{-i \frac{\pi}{6}}$$
Et donc $\mid z_1\mid =\mid z_2\mid =1$, ce qui prouve que les points de l'ensemble $(E)$ appartiennent à $\Gamma$
\end{enumerate}
\item Soit $\theta$ un réel.
\begin{enumerate}
\item Si $z=e^{i\theta}$, alors $z'=e^{i\theta}+i-\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{i\theta}+i-e^{-i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta+i-\cos \theta+i\sin \theta=(2\sin \theta+1)i$ 
\item Si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ alors il existe $\theta\in\R$ tel que $ z=e^{i\theta}$, et donc en vertu de la question précédente on a :$$z'=(2\sin \theta+1)i$$
Dans ce cas $z'$ est un imaginaire pur et donc se trouve sur l'axe imaginaire, de plus comme $$-1\leq 2\sin \theta+1\leq 3 $$
$M'$ se trouve sur le segment $[A'C]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 


\begin{center}
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\end{center}



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