  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 10}
\rhead{Produit scalaire}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du DM 17}


%\noindent \textbf{Commun \`a tous les candidats}\\
%L'espace est rapport\'e au rep\`ere orthonorm\'e $\left(O;\vect{i},\vect{j},\vect{k}\right)$. On consid\`ere les points $A(3,0,6)$ et $I(0,0,6)$, et l'on appelle $(D)$ la droite passant par $A$ et $I$.\\
%On appelle $(P)$ le plan d'\'equation $2y+z-6=0$ et $(Q)$ le plan d'\'equation $y-2z+12=0$.
\begin{enumerate}
\item Les plans $(P)$ et $(Q)$ ont pour vecteurs normaux respectifs $\vect{n}(0;2;1)$ et $\vect{n'}(0~;~1~;~-2)$. On a $\vect{n}\cdot\vect{n'}=0$, donc $\vect{n}\perp\vect{n'}$ et par suite, les plans $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
%D\'emontrer que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
\item L'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est une droite (plans perpendiculaires). \\
$A\in(P)$ car $2\times 0+6-6=0$ et $A\in(Q)$ car $0-12+12=0$, donc $A\in(P)\cap(Q)$;\\
on montre de la même fa\c con que $I\in(P)\cap(Q)$.\\
Les points $A$ et $I$ \'etant distincts, la droite d'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est donc la droite $(AI)$, c'est-\`a-dire la droite $(D)$.
%D\'emontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$  est la droite $(D)$.
\item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de l'espace. $M$ appartient \`a l'axe $\left(O;\vect{j}\right)$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\ z&=&0\end{array}\right.$.\\
$M$ appartient \`a l'axe $\left(O;\vect{j}\right)$ et au plan $(P)$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{ccl}x&=&0\\z&=&0\\2y+z-6&=&0\end{array}\right.$ c'est-\`a-dire si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\y&=&3\\z&=&0\end{array}\right.$. Le plan $(P)$ coupe donc l'axe $\left(O;\vect{j}\right)$ au point $B(0~;~3~;~0)$.\\
Un raisonnement analogue montre que le plan $(Q)$ coupe l'axe $\left(O;\vect{j}\right)$ en un  point $C(0~;~-12~;~0)$.\\
%D\'emontrer que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(O;\vect{j}\right)$ et d\'eterminer les coordonn\'ees des points $B$ et $C$, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(O;\vect{j}\right)$.
\item On a $\vect{AC}(-3~;~-12~;~-6)$ donc le plan $(T)$ a une \'equation cart\'esienne de la forme:
$-3x-12y-6z+d=0$. Et $B(0~;~3~;0)\in(T)$, donc $0-12\times 3-0+d=0$, d'où $d=36$. Le plan $(T)$ a donc pour \'equation cart\'esienne $-3x-12y-6z+36=0$, ou encore, en simplifiant par $-3$: $x+4y+2z-12=0$.
%D\'emontrer qu'une \'equation du plan $(T)$ passant par $B$ et de vecteur normal $\vect{AC}$ est
%$$x+4y+2z-12=0.$$
\item La droite $(OA)$ passe par $O(0~;~0~;~0)$ et  a pour vecteur directeur $\vect{OA}(3~;~0~;~6)$. Une repr\'esentation param\'etrique de $(OA)$ est donc: $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&3t\\y&=&0\qquad(t\in\mathbb{R})\\z&=&6t\end{array}\right.$.\\
Un point $M$ appartient \`a la droite $(OA)$ et au plan $(T)$ si et seulement si il existe un r\'eel $t$ tel que $M(3t~;~0~;~6t)$ et $(3t)+4\times 0+2\times (6t)-12=0$, ce qui donne une unique valeur: $t=\dfrac45$. La droite $(OA)$ et le plan $(T)$ sont donc s\'ecants en un point $H$ qui a pour coordonn\'ees $\left(3\times\dfrac45~;~0~;~6\times\dfrac45\right)$, c'est-\`a-dire $H\left(\dfrac{12}{5}~;~0~;~\dfrac{24}{5}\right)$.
%Donner une repr\'esentation param\'etrique de la droite $(OA)$.\\
%D\'emontrer que la droite $(OA)$ et le plan $(T)$ sont s\'ecants en un point $H$ dont on d\'eterminera les coordonn\'ees.
\item Les points $B$ et $H$ appartiennent au plan $(T)$ qui a pour vecteur normal $\vect{OA}$, donc $(BH)\perp(AC)$: le point $H$ appartient \`a la hauteur issue de $B$ du triangle $ABC$.\\
$\vect{AH}\left(-\dfrac35;0;-\dfrac65\right)$ et $\vect{BC}(0~;~-15~;~0)$, donc $\vect{AH}\cdot\vect{BC}=0$ et $(AH)\perp(BC)$: le point $H$ 	appartient donc \`a la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$.\\
Le point $H$ est donc l'orthocentre du triangle $ABC$.
 
%Que repr\'esente le point $H$ pour le triangle $ABC$~? Justifier.
\end{enumerate}
%\begin{center}
%\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
%\begin{pspicture}(-13,-2)(9,9)
%	\pstGeonode[PosAngle=135](-12,-2){C}
%	\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0.5){B}
%	\pstGeonode[PosAngle=45](0,6){I}
%	\pstGeonode[PosAngle=-130](0,0){O}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-8.475,-2.974){E}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.53,5.029){F}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.529,-0.471){H}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-13.567,-2.261){N}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,1.5){R}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,10){Q}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,3.53){T}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-5.353,-0.892){D}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.749,0.958){G}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,2.678){J}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-12,9.3){S}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,-2.475){P}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](1,0.166666){Y}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0.835,-0.228){X}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,1){Z}
%	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2.558,4.402){K}
%	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](B)(H)(F)(I)
%	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](C)(E)(F)(I)
%	\pstGeonode[PosAngle=45](2.492,5.315){A}
%	\psline(N)(C)
%	\psline[linestyle= dotted](C)(D)
%	\psline(D)(B)
%	\psline[linestyle= dotted](B)(G)
%	\psline(G)(R)
%	\psline(O)(J)
%	\psline[linestyle= dotted](J)(I)
%	\psline(I)(Q)
%	\psline(S)(T)
%	\psline(O)(P)
%	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(X)
%	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Y)
%	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Z)
%	\psline(C)(A)
%	\psline[linestyle=dotted](A)(K)
%	\psline(K)(B)
%	\uput[-45](E){$(Q)$}
%	\uput[-45](H){$(P)$}
%	\uput[45](T){$(D)$}
%	\uput[45](P){\tiny$x$}
%	\uput[-45](R){\tiny$y$}
%	\uput[-45](Q){\tiny$z$}
%	\uput[180](X){$\tiny\vect{i}$}
%	\uput[135](Y){$\tiny\vect{j}$}
%	\uput[-135](Z){$\tiny\vect{z}$}
%	\psset{HomCoef=0.8}
%	\pstHomO[PosAngle=-45]{O}{A}{H}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}
