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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 9}
\rhead{Probabilité discrète}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du DM 16}
\vspace*{10mm}\\

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Il s'agit d'une expérience à deux issues avec une probabilité de succès $p=\dfrac 16$ et une probabilité d'échec $q=\dfrac 56$ que l'on répète de manière indépendante 3 fois. X représente le nombre de succés et suit donc une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\frac 16$.
		\item L'espérance d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $np$. Donc\\
 $E(X)=3\dfrac16 = \dfrac 12$
		\item $P(X = 2)= \displaystyle\binom{3}{2}p^2q^1=3\times \dfrac 5{6^3}=\dfrac 5{72}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item ~

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{1/2}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{5/72}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{1/2}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{2/9}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{} 
	  }
}
\end{center}

%\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-0.89,-1.95)(6.05,3.7)
%\psline(0,1)(2,2)
%\psline(0,1)(2,0)
%\psline(2.54,2.34)(4.47,3.19)
%\psline(2.51,-0.28)(4.51,-1.23)
%\psline(2.51,-0.28)(4.49,0.43)
%\psline(4.47,1.63)(2.54,2.34)
%\rput[tl](2.2,2.52){$D$}
%\rput[tl](2.16,0.23){$\overline D$}
%\rput[tl](4.63,3.65){$A$}
%\rput[tl](4.63,2.01){$\overline A$}
%\rput[tl](4.65,0.81){$A$}
%\rput[tl](4.69,-0.88){$\overline A$}
%\rput[tl](0.65,1.92){1/2}
%\rput[tl](0.69,0.34){1/2}
%\rput[tl](3.,3.27){5/72}
%\rput[tl](3.2,0.55){2/9}
%\end{pspicture*}

        L'événement \og choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux six ~\fg correspond à $D \cap A$\\
        $p(D \cap A)=p(D)\times p_D(A)=\dfrac 12 \times \dfrac 5{72} = \dfrac{5}{144}$.

        L'événement \og choisir le dé truqué et obtenir exactement deux six ~\fg correspond à $\overline{D} \cap A$.

        $p(\overline D \cap A)=p(\overline D)\times p_{\overline D}(A)$.

On utilise un raisonnement analogue au 1.c.,

$p_{\overline D}(A) = \displaystyle\binom{3}{2}p'^2q'^1$ où $p'=\dfrac 13$. Donc $p_{\overline D}(A)=\dfrac 2{9}$ et $p(\overline D \cap A)=\dfrac12\times \dfrac2{9}=\dfrac19$.

		\item On en déduit que $p(A) = p(D \cap A) + p(\overline D \cap A)= \dfrac{5}{144} + \dfrac{16}{144} = \dfrac{21}{144}=\dfrac7{48}$.
		\item  Il s'agit de calculer $p(\overline D \text{ sachant } A)=\dfrac{p(\overline D \cap A)}{p(A)}=\dfrac19 \times \dfrac{48}7=\dfrac{16}{21}$.
			\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $p_D(B_n)=1-p_D(\text{\og n'obtenir aucun 6 ~\fg})=1-q^n=1-\left(\dfrac56\right)^n$. De même $p_{\overline D}(B_n)=1-\left(\dfrac23\right)^n$. On applique alors la formule des probabilités totales:\\
$p_n=p(B_n)=p(D)\times p_D(B_n)+p(\overline D)\times p_{\overline D}(B_n)=1-\dfrac 12\left(\dfrac56\right)^n-\dfrac 12\left(\dfrac23\right)^n$.
		 \item	$\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac56\right)^n =0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac23\right)^n =0$ car $\dfrac56$ et $\dfrac 23$ appartiennent à $]-1;1[$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}p_n=1$. Ce résultat est prévisible car, quel que soit le dé, à condition de jouer suffisamment longtemps, on a une quasi certitude d'obtenir au moins une fois un 6. (ici, $p_{22} > 0,99$ et $p_{100}\approx 1$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
