  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

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\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Intégration}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du DM 13 : Différentes manières de calculer une intégrale}


\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=x^2-3x+3-\dfrac{1}{x}$$
\begin{enumerate}
\item Une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$ est par exemple :
$$ F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{2}x^2+3x-\ln x$$
\item Par conséquent 
$$ \int_1^4 f(x) dx=[F(x)]_1^4=F(4)-F(1)=\dfrac{64}{3}-24+12-\ln 4-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-3=\dfrac{128-2+9}{6}-\ln 4-15=\dfrac{135}{6}-\ln 4-15=\dfrac{15}{2}-2\ln 2$$
\item On a, pour tout $x\in]0;+\infty[$ on a : $$ f(x)=x^2-3x+3-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^3-3x^2+3x-1}{x}=\dfrac{(x-1)^3}{x}$$
\item A l'aide d'une intégration par parties, on trouve
$$ \int_1^4 3(x-1)^2\ln x dx=[(x-1)^3\ln x]_1^4-\int_1^4 \dfrac{(x-1)^3}{x}dx=27 \ln 4-\int_1^4 f(x) dx=54 \ln 2-\dfrac{15}{2}+2\ln 2=56\ln 2-\dfrac{15}{2}$$
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la suite $(I_n)$ définie pour $n\in\N$ par :
$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n dt$$
\begin{enumerate}
\item $I_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^0 dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dt=\dfrac{\pi}{2}$ et $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^1 dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt=[\sin t]_0^{\frac{\pi}{2}}=1-0=1$
\item Pour tout $n\geq 0$, on a par IPP : $(u(t)=(\cos t)^{n+1}$ et $v'(t)=\cos t)$. :
\begin{eqnarray*}
& I_{n+2}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^{n+1} \cos t dt=\left[(\cos t)^{n+1}\sin t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n (\sin t)^2 dt\\
& I_{n+2}=0+(n+1))\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n (1-(\cos t)^2) dt\\
&  I_{n+2}=(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^{n}-(\cos t)^{n+2} dt  \\
& I_{n+2}=(n+1)[\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n dt - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^{n+2} dt]  \\
& I_{n+2}=(n+1)[I_n-I_{n+2} ]\\
& I_{n+2}=(n+1)I_n-(n+1)I_{n+2} \\
& I_{n+2}+(n+1)I_{n+2}=(n+1)I_n \\
& I_{n+2}(n+2)=(n+1)I_n  \\
& I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n\\
\end{eqnarray*}
\item Ainsi $I_2=\dfrac{1}{2}I_0=\dfrac{\pi}{4}$, $I_3=\dfrac{2}{3}I_1=\dfrac{2}{3}$ et $I_4=\dfrac{3}{4}I_2=\dfrac{3\pi}{16}$.
\end{enumerate}}
\pagebreak
\newcommand{\pstEllipse}[5][]{% 
\psset{#1} 
\parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}} 
\Exoi{\begin{multicols}{2}Soit $A(0;e)$ et $B(1;1)$. 
\\
On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe des ordonnées 
de l'arc de courbe $\wideparen{\text{AB}}$ comme représenté ci-dessous. On note V son volume. 
\\
On admet que V $= \pi \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (1 - \ln t)^2\: 
\text{d}t$. 
\\
Calculer V à l'aide de deux intégrations par parties successives. 
\begin{center} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(-2,-0.2)(3,3) 
\psaxes{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,3) 
\psplot{0}{1}{2.71828 1 x sub exp} 
\psplot{-1}{0}{2.71828 1 x add exp} 
%\psset{origin={0,1}} 
\rput(0,1){\pstEllipse[linewidth=0.02]{1}{0.2}{-180}{0}} 
\rput(0,1){\pstEllipse[linestyle=dotted]{1}{0.2}{0}{180}} 
\end{pspicture}\end{center}
\end{multicols}
$$ V=\pi \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (1 - \ln t)^2\: 
\text{d}t=\pi\left[t (1-\ln t)^2\right]_1^e-\int_1^e t\times \dfrac{2(1-\ln t)}{-t} dt=\pi(0-1+\int_1^e 2-2\ln t dt)=\pi(-1+2(e-1)-2\int_1^e \ln t dt)$$
De plus, encore par IPP, $$ \int_1^e \ln t dt=[t\ln t]_1^e-\int_1^e t\times \dfrac{1}{t}dt=e-\int_1^e 1 dt=e-(e-1)=1$$
Par conséquent :
$$ V=\pi(-1+2e-2-2)=\pi (-5+2e)\qquad \text{u.v}$$}

\Exoi{On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=e^x$ et $g(x)=x^2$, $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ leur représentation graphique dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item \quad \\
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=8cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.3)(1.3,3.1)
\def\xmin{-0.2} \def\xmax{1.2} \def\ymin{-0.2} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.3,-0.3)(1.3,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}
\def\G{x EXP}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\G}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\item L'aire du domaine délimité par $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ est donné par :
$$ \int_0^1 e^x-x^2 dx=\left[e^x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=e-\dfrac{1}{3}-1=e-\dfrac{4}{3} \quad \text{u.a}$$
En effet on a pour tout $x\in[0;1]$ $e^x\geq x^2$. Etant donné que les fonctions exponentielles et carré sont croissantes sur $[0;1]$ on a, pour $x\in[0;1]$:
$$ e^x\geq e^0=1\qquad \text{et}\qquad x^2\leq 1^2=1$$
Ce qui au final donne bien :
$$ \forall x\in[0;1] \quad e^x\geq x^2$$ 
\end{enumerate}}
\end{document}
