  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 4 : Dérivabilité  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Logarithme}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 12}

\vspace{3mm}

La fonction logarithme décimal (notée $\log$) est définie pour $x>0$ par :
$$ \log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$$
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\Z$ on a :
$$ \log 10^n=\dfrac{\ln 10^n}{\ln 10}=\dfrac{n\ln 10}{\ln 10}=n$$
\item Notons $f(x)=\log x$ pour $x>0$ et étudions le signe de $f'(x)$ :
$$ f'(x)=\dfrac{1}{x\ln 10}$$
Etant donné que $\ln 10>0$ puisque $10>1$ et que $x>0$, la fonction logarithme décimal admet une dérivée strictement positive sur $\R^{+*}$ et donc elle est une fonction strictement croissante sur $\R^{+*}$.\\
De plus :
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{\ln x}{\ln 10}=\Lim{+\infty} \ln x=+\infty$$
puis :
$$ \Lim{0^+} \dfrac{\ln x}{\ln 10}=\Lim{0^+} \ln x=-\infty$$
Ainsi $f$ admet une asymptote verticale en $0$. On résume ceci dans un tableau de variation :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{3}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node[left] at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node[right] at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{0*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
\item 
L'équation de la tangente $\Delta$ au point d'abscisse $1$ de la fonction logarithme décimal est de la forme :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)\qquad \text{avec }a=1$$
Ainsi $$ y=f'(1)(x-1)+f(1)$$
Or, $f(1)=\log 1=\log 10^0=0$ d'après la question $1$ et $f'(1)=\dfrac{1}{\ln 10}$, ce qui donne :
$$ y=\dfrac{1}{\ln 10}(x-1)=\dfrac{1}{\ln 10}x-\dfrac{1}{\ln 10}$$
\item \quad \\
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.02,-3.42)(7.48,3.87)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.02,-3.42)(7.48,3.87)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{6.979267254125177E-6}{7.4832304011705855}{ln(x)/ln(10)}
\rput[tl](5.99,1.35){\qqqqcc{$\mathscr C_{log}$}}
\psplot[linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-2.0194927365053634}{7.4832304011705855}{1/ln(10)*(x-1)}
\rput[tl](3.05,1.6){$\ccqqqq{\Delta}$}
\rput[tl](0.52,-3.05){\begin{small}
Représentation graphique du Logarithme décimal
\end{small}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Soit $N$ un entier ($N\geq 1$). Montrer que le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $N$ est $1+E(\log N)$ (où $E(x)$ est la partie entière du réel $x$).\\
On a :
\begin{itemize}
\item tout entier $N$ est compris entre deux puissances de $10$ successives i.e il existe $p\in\N$ tel que $$ 10^p\leq N<10^{p+1}$$
\item dans ce cas $p+1$ est le nombre de chiffres de $N$.
\end{itemize}
Par conséquent si $n$ s'écrit avec $p+1$ chiffres, alors : $$ 10^p\leq N<10^{p+1}\Longleftrightarrow \log 10^p\leq \log N< \log 10^{p+1}\Longleftrightarrow p\log 10\leq \log N< (p+1)\log 10\Longleftrightarrow p\leq \log N< p+1$$
Ainsi $E(\log N)=p$, et donc $N$ s'écrit avec $E(\log n)+1$ chiffres.
\item \textbf{Application} 
\begin{enumerate}
\item $2002^{2003}$ s'écrit avec $E(\log 2002^{2003})+1$ chiffres. Or,
$$ \log 2002^{2003}=2003\log 2002\simeq 6612$$
Ainsi $E(\log 2002^{2003})=6612$ et donc $2002^{2003}$ s'écrit avec $6613$ chiffres.
\item %Le plus grand nombre premier connu en $1999$ était $N=2^{6972593}-1$ (découvert par Hajratwala, Woltman et Kurowski). Avec combien de chiffres s'écrit-il ?\\
On procède de la manière que pour la question précédente, $2^{6972593}-1$ s'écrit avec $E(\log(2^{6972593}-1))+1=E(\log 2^{6972593})-1+1=E(\log 2^{6972593})$ chiffres.\\
Or, $\log 2^{6972593}=6972593 \log 2\simeq 2098959$ et ainsi $E(2^{6972593})=2098959$, on peut conclure que pour écrire cet immense nombre premier il faut utiliser $2098959$ chiffres, et puis beaucoup de patiente et de temps...
\item La magnitude d'un séisme d'intensité $I$ est mesurée sur l'échelle de Richter par :
$$ M=\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$$
où $I_0$ est une intensité de référence.
\begin{enumerate}
\item Placer sur l'échelle de Richter les séismes suivants :
\begin{enumerate}
\item îles Macquarie ($1989$), $I=1,995\times 10^8 I_0$ ; 
$$M_1=\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)=\log\left(\dfrac{1,995\times 10^8 I_0}{I_0}\right) =\log (1,995\times 10^8)=\log (1,995)+ \log 10^8=8+ \log 1,995\simeq 8,3$$
\item Californie ($1992$), $I=3,16\times 10^7I_0$ ;
$$ M_2=7+ \log 3,16\simeq 7,5$$
\item Indonésie, îles flores ($1993$), $I=6,3\times 10^6 I_0$ ;
$$ M_3=6+ \log 6,3\simeq 6,8$$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.76,-0.81)(9.11,11.44)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=false,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.76,-0.81)(9.11,11.44)
\rput[tl](0.25,11){Echelle de Richter}
\psline{->}(3.71,8.49)(0.59,8.49)
\rput[tl](3.98,8.68){Séisme des îles Macquarie}
\psline{->}(3.71,7.67)(0.59,7.67)
\rput[tl](3.98,7.93){Séisme en Californie}
\psline{->}(3.71,7)(0.59,7)
\rput[tl](3.96,7.13){Séisme en Indonésie}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,8.3)
\rput[bl](0.11,8.39){$M_1$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,7.5)
\rput[bl](0.11,7.59){$M_2$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,6.8)
\rput[bl](0.11,6.89){$M_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\item L'énergie $E$ (en joules) libérée au foyer du séisme est liée à la magnitude par la relation :
$$ \log E=a+bM$$
$a$ et $b$ étant des constantes.\\
Calculer $a$ et $b$ sachant qu'un séisme de magnitude $8$ met en jeu environ $30000$ fois plus d'énergie qu'un séisme de magnitude $5$, lui-même libérant une énergie de $0,2\times 10^{20}$ joules.\\
On cherche donc à résoudre le système suivant :
$$\left\{ \begin{array}{l} \log(0,2\times 10^20)=\log 0,2+20=a+5b \\ \log 6+23=a+8b  \end{array} \right.$$
On retranche les deux équations membre à membre et on trouve :
$$ 3b=\log 6-\log 0,2+3=\log \dfrac{6}{0,2}+3=\log 30+3=\log 3+4\Longrightarrow b=\dfrac{\log 3+4}{3}\simeq 1,5$$
On utilise la première équation pour trouver $a$ :
$$ a=\log 0,2+20-\dfrac{5\log 3+20}{3}=\dfrac{3\log 0,2+60-5\log 3-20}{3}=\dfrac{3\log 0,2-5\log 3+40}{3}=\dfrac{-3\log 5-5\log 3+40}{3}\simeq 11,84$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}
