  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 4 : Dérivabilité  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Complexe et géométrie}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 11}

\begin{enumerate}
\item Par définition de l'expression complexe de la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$  : $z'=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} z$.\\
Donc, en particulier  :\quad $z_{\text{B}} =\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} z_{\text{A}}=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\pi}= -1$

De même : $z_{\text{C}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} z_{\text{B}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\times \text{e}^{\text{i}\pi}= \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{3}}=\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}=\overline{z_{\text{A}}}$

Donc  A et C sont symétriques autour de l'axe des réels.
  \item \begin{enumerate}
          \item $\left|z_{\text{A}}\right| =\left|z_{\text{B}}\right| =\left|z_{\text{C}}\right| = 1$, donc  : OA = OB = OC = 1.  Les trois points A, B et C sont à la distance $1$ du point O : ils appartiennent au cercle de centre O  $(\mathscr{C})$  circonscrit au triangle ABC.
          
Construction : on dessine le cercle $\left(\mathscr{C}\right)$ et le cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1 ; ces deux cercles sont sécants en A et C, le point A étant celui qui a une ordonnée positive. B est le point d'intersection de $(\mathscr{C})$ avec le demi-axe contenant les points d'affixes   négatives.

          \item On a $z_{A}+ z_{B} + z_{C} = 0$, autrement dit O est l'isobarycentre des points A, B et C, donc le centre de gravité du triangle (ABC). Ce triangle est isocèle en B. De plus $\dfrac{z_{C}- z_{A}}{z_{B}- z_{A}} = \dfrac{e^{i\frac{5\pi}{3}}-e^{i\frac{\pi}{3}}}{-1-e^{i\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{e^{i\frac{\pi}{3}}\times\left(e^{i\frac{4\pi}{3}}- 1 \right) }{e^{i\frac{4\pi}{3}}-1}=e^{i\frac{\pi}{3}}.$
          
Le  module de ce complexe est égal à 1, donc AB = AC et en conclusion le triangle (ABC) est équilatéral.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Cf. figure.
          \item Le  triangle PQR homothétique de ABC est semblable à ce triangle, donc lui aussi équilatéral.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item L'écriture complexe de $h$ est : 
\[z' = -2z.\]
          \item $z_{\text{A}}+ z_{\text{B}} + z_{\text{C}} = 0$  est l'affixe du vecteur $\vect{\text{OA}}+\vect{\text{OB}}+\vect{\text{OC}}$.
          
O est le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral ABC, il en est aussi le centre de gravité (isobarycentre des points A, B et C), alors $\vect{\text{OA}}+\vect{\text{OB}}+\vect{\text{OC}}=\vec{0}$.

Par conséquent : $z_{\text{A}}+ z_{\text{B}} + z_{\text{C}} = 0 \iff z_{\text{A}} = - z_{\text{B}} - z_{\text{C}} \iff z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}\left(- 2z_{\text{B}} - 2z_{\text{C}}\right) = \dfrac{1}{2}\left(z_{\text{Q}} + z_{\text{R}} \right)$.

Cette égalité signifie que   A est le  milieu du segment [QR].
          \item Par définition de l'homothétie P, O et A sont alignés. La droite (PA) médiane du triangle équilatéral (PQR) est aussi hauteur  ; donc (OA) est perpendiculaire à la droite (QR).
          
Conclusion : cette droite (QR) est la tangente en A au cercle $\mathscr{C}$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.25,-2.25)(2.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-2.25)(2.75,2.25)
\uput[u](0.5,0.866){A} \uput[dl](-1,0){B} \uput[u](-0.71,0.71){$\mathscr{C}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,-0.866){C}\uput[dr](2,0){Q}\uput[u](-1,1.732){ R}\uput[d](-1,-1.732){P}
\pscircle[linecolor=blue](0,0){1}
\pscircle[linestyle=dotted,dotsep=3pt,linecolor=blue](1,0){1} 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-1,1.732)(2,0)(-1,-1.732)(-1,1.732)
\psline[linestyle=solid,linecolor=blue](-1,0)(0.5,0.866)(0.5,-0.866)(-1,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-1,1.732)(0.5,-0.866)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-1,-1.732)(0.5,0.866)
\end{pspicture}
\end{center}




\end{document}
