  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 4 : Dérivabilité  }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Complexe et géométrie}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 10}

\begin{enumerate}
\item \'{E}tant donn\'{e} le point $M$ d'affixe
\[
z=1+e^{2i\theta}%
\]
et $A$ d'affixe $1$, on a
\[
AM=\left|  z_{M}-z_{A}\right|  =\left|  e^{2i\theta}\right|  =1
\]
\newline $M$ appartient donc au cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et rayon 1.

\item  Si $B$ a pour affixe $z_{B}=2$, l'angle $\left(  \overrightarrow
{AB},\overrightarrow{AM}\right)  $ est un argument de
\[
\dfrac{z-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=e^{2i\theta}%
\]
L'argument $2\theta$ est donc une mesure de $\left(  \overrightarrow
{AB},\overrightarrow{AM}\right)  $ .\newline Quand $\theta$ d\'{e}crit
l'intervalle $\left]  0,\pi\right[  $,  $2\theta$ d\'{e}crit $\left]
0,2\pi\right[  $ et l'ensemble $E$ des points $M$ tels que
\[
\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right)  =2\theta
\]
est donc le cercle $\mathcal{C}$ priv\'{e} du d'affixe
\[
1+e^{0}=2
\]
c'est \`{a} dire $B$.
\[
E=\mathcal{C}\,\backslash\,\{B\}
\]

\item  Soit $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$, image de $M$ par la rotation
de centre $O$ et d'angle $-2\theta$. On a~:
\[
z^{\prime}=e^{-2i\theta}z=e^{-2i\theta}\left(  1+e^{2i\theta}\right)
=e^{-2i\theta}+1.
\]
\'{E}tant donn\'{e} que
\[
\overline{z}=\overline{1+e^{2i\theta}}=\overline{1}+\overline{e^{2i\theta}%
}=1+e^{-2i\theta}%
\]
on en d\'{e}duit que%
\[
z^{\prime}=\overline{z}%
\]
et que $M^{\prime}$ appartient aussi \`{a} $\mathcal{C}$ car%
\[
\left|  z^{\prime}-1\right|  =\left|  e^{-2i\theta}\right|  =1
\]

\item
\begin{enumerate}
\item  L'image $\mathcal{C}^{\prime}$ du cercle $\mathcal{C}$ par la rotation
$r$ de centre $O$ et angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ est le cercle de centre
$A^{\prime}$ et rayon 1. $A^{\prime}$ a pour affixe
\[
z_{A}e^{-i\frac{2\pi}{3}}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}%
\]%
%TCIMACRO{\FRAME{ftbpF}{6.0502in}{5.0548in}{0pt}{}{}{fig2.ps}%
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%BeginExpansion
\begin{figure}
[ptb]
\begin{center}
\includegraphics[
height=5.0548in,
width=6.0502in
]%
{fig2.ps}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion


\item  Pour $\theta=\dfrac{\pi}{3}$, on a
\[
\dfrac{z_{M}}{z_{A}}=1+e^{i\frac{2\pi}{3}}=1-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}%
{2}=e^{i\frac{\pi}{3}}%
\]
\newline $M$ est donc le transform\'{e} de $A$ par la rotation de centre $O$
et angle $\dfrac{\pi}{3}$, ceci suffit \`{a} prouver que le triangle $AMO$ est \'{e}quilat\'{e}ral.

\item  Le point $O$ appartient aux deux cercles $\mathcal{C}$ et
$\mathcal{C}^{\prime}$ car $OA^{\prime}=OA=1$, et ces deux cercles se
recoupent en $M^{\prime}$ car l'affixe de $M^{\prime}$ est
\[
\left(  1+e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)  e^{-i\frac{2\pi}{3}}=e^{-i\frac{2\pi}%
{3}}+1
\]
On a donc
\[
A^{\prime}M^{\prime}=\left|  e^{-i\frac{2\pi}{3}}+1-e^{-i\frac{2\pi}{3}%
}\right|  =1
\]
et
\[
OM^{\prime}=\left|  \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|  =\left|
e^{-i\frac{\pi}{3}}\right|  =1
\]

\item  Le point $P$ sym\'{e}trique de $M$ par rapport \`{a} $A$ a une affixe
$z_{P}$ qui v\'{e}rifie
\[
\dfrac{z_{P}+z_{M}}{2}=z_{A}%
\]
\newline D'o\`{u}
\[
z_{P}=2z_{A}-z_{M}=2-e^{i\frac{\pi}{3}}=\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}%
\]
\newline Le milieu de $\left[  A^{\prime}P\right]  $ a pour affixe
\[
\dfrac{e^{-i\frac{2\pi}{3}}+\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{1}%
{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}%
\]
\newline Ce complexe est l'affixe de $M^{\prime}$ \'{e}gale \`{a}
\[
e^{-i\frac{2\pi}{3}}+1=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}%
\]
\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
