  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Nombres complexes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 2}

\Exoi{\hfill(5 points)\\
Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec u,\vec v)$ ($2$ cm pour une unité graphique).\\
On appelle $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.\\
On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.\\
On appelle $f$ l'application du plan privé du point $O$ dans $P$ qui, à tout point $M$ différent de $O$, d'affixe $z$, associe le point $M'=f(M)$ d'affixe $z'$ définie par :
$$ z'=z+i-\dfrac{1}{z}$$
\begin{enumerate}
\item On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=i$ et $b=e^{i \frac{\pi}{6} }$ et leurs images $A'$ et $B'$ par $f$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $a'$ et $b'$.
\item Placer les points $A$, $A'$, $B$ et $B'$.
\item Démontrer que $$ \dfrac{-b}{b'-b}=\dfrac{ \sqrt{3} }{3}i$$
\item En déduire la nature du triangle $OBB'$
\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de déterminer l'ensemble $(E)$ des points du plan $P$ privé de $O$ qui ont pour image $O$ par $f$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ :
$$ z^2+iz-1=\left(z+\dfrac{ \sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\left(z- \dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$$
\item En déduire les affixes des points de l'ensemble $(E)$.
\item Démontrer que les points de $(E)$ appartiennent à $\Gamma$
\end{enumerate}
\item Soit $\theta$ un réel.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $z=e^{i\theta}$, alors $z'=(2\sin \theta+1)i$
\item En déduire que si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ alors $M'$ appartient au segment $[A'C]$ où $C$ a pour affixe $-i$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} }





\end{document}
