  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Fonction exponentielle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 9}

\begin{center} \textbf{\gray Partie I} \end{center}    
    On donne un entier naturel $n$ strictement positif, et on consid\`ere l'\'equation 
diff\'erentielle :
\[(\text{E}_{n})\qquad 	y'+y = \cfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate} \item On fait l'hypoth\`ese que deux fonctions $g$ et $h$, d\'efinies et 
d\'erivables sur $\R$, v\'erifient, pour tout $x$ r\'eel :
	\[g(x) = h(x)\text{e}^{-x}.\]	
\begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si, pour 
tout $x$ r\'eel,
\[h'(x) = \cfrac{x^n}{n!}.\]
\item En d\'eduire la fonction $h$ associ\'ee  une solution $g$ de (E$_{n}$), sachant que
 $h(0)= 0$. 
Quelle est alors la fonction $g$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $\varphi$ une fonction d\'erivable sur $\R$.
\begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si 
$\varphi - g$ est solution de l'\'equation :
\[(\text{F})\qquad 	y' + y = 0.\]
\item R\'esoudre (F). 
\item D\'eterminer la solution g\'en\'erale $\varphi$ de l'\'equation (E$_{n}$). 
\item D\'eterminer la solution $f$ de l'\'equation (E$_{n}$) v\'erifiant $f(0) = 
0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center} \textbf{\gray Partie II} \end{center}    
 On pose, pour tout $x$ r\'eel,
\[f_{0}(x) = \text{e}^{-x},~f_{1}(x) = x\text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate} \item V\'erifier que $f_{1}$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle : $y' + y = f_{0}$.
\item Pour tout entier strictement positif $n$, on d\'efinit la fonction
 $f_{n}$ comme la solution de l'\'equation diff\'erentielle $y'+y = 
 f_{n-1}$ v\'erifiant $f_{n}(0) = 0$. 
En utilisant la \textbf{\gray Partie I}, montrer par r\'ecurrence que, pour tout $x$ r\'eel
et tout entier $n \geqslant  1$ :
\[f_{n}(x) = \cfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}.\]
\end{enumerate}





\end{document}
