  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{monstyle}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Récurrences et Suites}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 6}

\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{23}{27}$ pour tout entier naturel $n$. 
\begin{enumerate}
\item On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé direct du plan, la droite d'équation $y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{23}{27}$ et le point $A$ de coordonnées $(2;0)$. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite $u$.
\item Démontrer que si la suite $u$ est convergente, alors sa limite $\ell=\dfrac{23}{18}$.
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\geq \dfrac{23}{18}$.
\item Etudier la monotonie de la suite $u$ et donner sa limite.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$. Démontrer que :
$$ \sum_{k=2}^{n+1}\dfrac{1}{10^k}=\dfrac{1}{90}\left(1-\dfrac{1}{10^n}\right)$$
c'est-à-dire que $$ \dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^3}+\dots+\dfrac{1}{10^{n+1}}=\dfrac{1}{90}\left(1-\dfrac{1}{10^n}\right)$$ 
\item La suite $v$ est définie par $v_n=1,2777\dots7$ avec $n$ décimales consécutives égales à $7$.\\
Ainsi $v_0=1,2$, $v_1=1,27$ et $v_2=1,277$.\\
En utilisant le $(a)$, démontrer que la limite de la suite $v$ est un nombre rationnel $r$ (i.e le quotient de deux entiers).
\end{enumerate}
\item La suite $u$ définie au $1.$ et la suite $v$ sont-elles adjacentes ? Justifier.
\end{enumerate}



\begin{center}
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\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(5.1,4.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
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\end{center}






\end{document}
