  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{monstyle}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Récurrences et Suites}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 5}

\Exoi{2010\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
\[ f(x) = 6 -  \dfrac{5}{x + 1}.\]
Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et v\'erifiant pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\]
\begin{enumerate}
\item  Etude de propriétés de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = x$.
		 \\
On note $\alpha$ la solution. 
		\item Montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
		 \\
De même, montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[\alpha, + \infty[$ alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$
\\
Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique représenté ci-dessous, sont représentées les courbes d'équations $y = x$ et $y=f(x)$.
Placer le point $A_{0}$ de coordonnées $\left(u_{0}~;~0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_{0}$ les points $A_{1}$,~$A_{2}$,~$A_{3}$  et $A_{4}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \\
Quelles conjectures peut-on mettre quant au sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		\item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant \alpha$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate} 
\item Etude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$\\
\emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incompleète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'eévaluation.}\\
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ ?
\end{enumerate} }
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{6 5 x 1 add div sub}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{x}
\end{pspicture} 
\end{center}









\end{document}
