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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 10}
\rhead{Produit scalaire}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 17 : Probabilité discrète et produit scalaire}




\Exoi{\textit{Produit Scalaire}\hfill (5 points)\\
L'espace est rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points $A(3~;~0~;~6)$ et $I(0~;~0~;~6)$, et l'on appelle $(D)$ la droite passant par $A$ et $I$. On appelle $(P)$ le plan d'équation $2y + z - 6 = 0$ et $(Q)$ le plan d'équation $y - 2z + 12 = 0$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
\item Démontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$  est la droite $(D)$.
\item Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ et déterminer les coordonnées des points $B$ et $C$, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
\item Démontrer qu'une équation du plan $(T)$ passant par $B$ et de vecteur normal $\vect{AC}$ est $ \qquad  x+4y+2z-12=0.$
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(OA)$.\\
Démontrer que la droite $(\text{O}A)$ et le plan $(T)$ sont sécants en un point $H$ dont on déterminera les coordonnées.
\item Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$~? Justifier.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-13,-2)(9,9)
	\pstGeonode[PosAngle=135](-12,-2){C}
	\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0.5){B}
	\pstGeonode[PosAngle=45](0,6){I}
	\pstGeonode[PosAngle=-130](0,0){O}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-8.475,-2.974){E}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.53,5.029){F}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.529,-0.471){H}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-13.567,-2.261){N}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,1.5){R}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,10){Q}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,3.53){T}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-5.353,-0.892){D}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.749,0.958){G}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,2.678){J}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-12,9.3){S}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,-2.475){P}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](1,0.166666){Y}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0.835,-0.228){X}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,1){Z}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2.558,4.402){K}
	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](B)(H)(F)(I)
	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](C)(E)(F)(I)
	\pstGeonode[PosAngle=45](2.492,5.315){A}
	\psline(N)(C)
	\psline[linestyle= dotted](C)(D)
	\psline(D)(B)
	\psline[linestyle= dotted](B)(G)
	\psline(G)(R)
	\psline(O)(J)
	\psline[linestyle= dotted](J)(I)
	\psline(I)(Q)
	\psline(S)(T)
	\psline(O)(P)
	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(X)
	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Y)
	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Z)
	\psline(C)(A)
	\psline[linestyle=dotted](A)(K)
	\psline(K)(B)
	\uput[-45](E){$(Q)$}
	\uput[-45](H){$(P)$}
	\uput[45](T){$(D)$}
	\uput[45](P){\tiny$x$}
	\uput[-45](R){\tiny$y$}
	\uput[-45](Q){\tiny$z$}
	\uput[180](X){$\tiny\vect{i}$}
	\uput[135](Y){$\tiny\vect{j}$}
	\uput[-135](Z){$\tiny\vect{z}$}
\end{pspicture}
\end{center}}


\Exoi{\textit{Probabilité discrète}\hfill (5 points)\\
Alice d\'ebute au jeu de fl\'echettes. Elle effectue des lancers successifs d'une 
fl\'echette. Lorsqu'elle atteint la cible \`a un lancer, la probabilit\'e 
qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est \'egale \`a $\cfrac{1}{3}$ . Lorsqu'elle 
a manqu\'e la cible \`a un lancer, la probabilit\'e qu'elle manque la cible au 
lancer suivant est \'egale \`a $\cfrac{4}{5}$ . On suppose qu'au premier lancer elle 
a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer. Pour tout $n\in\N^*$, on consid\`ere les \'ev\`enements 
suivants :\\ 
$A_n$~: \og Alice atteint la cible au $n\textsuperscript{e}$ coup \fg{}.\quad \text{et}\quad $B_n$~: \og Alice rate la cible au $n\textsuperscript{e}$ coup \fg{}.\\ 
On pose $P_n = p(A_n)$.
\footnote{Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} on pourra \'eventuellement utiliser un arbre 
pond\'er\'e.}  
\begin{enumerate}\item D\'eterminer $p_1$ et montrer que $p_2 = \cfrac{4}{15}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, $\qquad \qquad \qquad  p_n = \cfrac{2}{15}p_{n - 1} + \cfrac{1}{5}.$
\item Pour $n \geqslant 1$ on pose $u_n = p_n - \cfrac{3}{13}$.\\ 
Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite g\'eom\'etrique, dont on pr\'ecisera le 
premier terme $u_1$ et la raison $q$.\\ 
\item \'Ecrire $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.\\ 
\item D\'eterminer $\displaystyle\lim_{n \to +~\infty} p_n.$ 
\end{enumerate} 
}
\end{document}
