  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Intégration}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 14 : Intégration et suite}

\Exoi{\hfill (\textit{Facultatif})\\
On considère la suite numérique $\left(J_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par
\[ J_{n}  = \int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t.\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.
\item   
On définit la suite $\left(I_{n}\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
\[ I_{n} =  \int_{1}^n (t + 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que, pour tout $t \geqslant  1$, on a $\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1$.
		\item  En déduire que $J_{n}  \leqslant I_{n}$.
		\item  Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que la suite $\left(J_{n}\right)$ est majorée par un nombre réel (indépendant de $n$).
		\item  Que peut-on en conclure pour la suite $\left(J_{n}\right)$ ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$.\\
\textbf{Partie A}
\\
La courbe $(\mathscr{C})$, donnée en annexe, est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, de fonction dérivée $f'$ continue sur $[0~;~+\infty[$.
 \\
La courbe $(\mathscr{C})$ passe par les points O et A$\left(1 ~ ;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ et, sur [0~;~1], elle est au dessus du segment [OA]. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que  $\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2\text{e}}$ 
\item Montrer que 	$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant  \dfrac{1}{4\text{e}}$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\\
On sait désormais que la fonction $f$ considérée dans la partie A est définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[f(x) = \dfrac{x \text{e}^{-x}}{x^2 + 1}.  \]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $g(x) = x^3 + x^2 + x - 1$.
 \\
Etablir que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~ f'(x)$ et $g(x)$ sont de signes contraires.
		\item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour  tout entier naturel $n$ par : 
\[u_{n} = \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$  de $[0~;~+\infty[,~ 0 \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1}  \leqslant \dfrac{1}{2}$.
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$. 
	\item En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie

\vspace{1cm}

\psset{xunit=3cm,yunit=15cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(3,0.35)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.05)(3,0.35) \uput[ur](1,0.184){A}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.184)\psdots(1,0.184)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.5,0.1){$\mathscr{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{3}{x x dup mul 1 add 2.71828 x exp mul div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
