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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Intégration}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 13 : Différentes manières de calculer une intégrale}


\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=x^2-3x+3-\dfrac{1}{x}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
\item En déduire :
$$ \int_1^4 f(x) dx$$
\item Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ on a : $$ f(x)=\dfrac{(x-1)^3}{x}$$
\item Déterminer, à l'aide d'une intégration par parties, 
$$ \int_1^4 3(x-1)^2\ln x dx$$
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la suite $(I_n)$ définie pour $n\in\N$ par :
$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n dt$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$ et $I_1$.
\item Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\forall n\in\N$ on a :
$$ I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n$$
\item En déduire $I_2$, $I_3$ et $I_4$.
\end{enumerate}}

\newcommand{\pstEllipse}[5][]{% 
\psset{#1} 
\parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}} 
\Exoi{\begin{multicols}{2}Soit $A(0;e)$ et $B(1;1)$. 
\\
On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe des ordonnées 
de l'arc de courbe $\wideparen{\text{AB}}$ comme représenté ci-dessous. On note V son volume. 
\\
On admet que V $= \pi \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (1 - \ln t)^2\: 
\text{d}t$. 
\\
Calculer V à l'aide de deux intégrations par parties successives. 
\begin{center} \psset{unit=1.8cm} \begin{pspicture}(-2,-0.2)(3,3) 
\psaxes{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,3) 
\psplot{0}{1}{2.71828 1 x sub exp} 
\psplot{-1}{0}{2.71828 1 x add exp} 
%\psset{origin={0,1}} 
\rput(0,1){\pstEllipse[linewidth=0.02]{1}{0.2}{-180}{0}} 
\rput(0,1){\pstEllipse[linestyle=dotted]{1}{0.2}{0}{180}} 
\end{pspicture}\end{center}
\end{multicols}}

\Exoi{On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=e^x$ et $g(x)=x^2$, $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ leur représentation graphique dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item Tracer $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ sur $[0;1]$.
\item Déterminer l'aire du domaine délimité par $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
\end{enumerate}}
\end{document}
