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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Logarithme décimal}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{DM 12 : Le logarithme décimal-applications}

\vspace{3mm}

La fonction logarithme décimal (notée $\log$) est définie pour $x>0$ par :
$$ \log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $\log(10^n)$ pour $n$ entier relatif.
\item Etudier les variations de la fonction $\log$, les limites aux bornes de son ensemble de définition en déduire ses éventuelles asymptotes.
\item 
Déterminer l'équation de la tangente $\Delta$ au point d'abscisse $1$ de la fonction logarithme décimal. 
\item Tracer la représentation graphique  $\mathscr C_{\log}$ de la fonction logarithme décimal et $\Delta$.
\item Soit $N$ un entier ($N\geq 1$). Montrer que le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $N$ est $1+E(\log N)$ (où $E(x)$ est la partie entière du réel $x$).\footnote{On pourra s'aider des constats suivants :
\begin{itemize}
\item tout entier $N$ est compris entre deux puissances de $10$ successives i.e il existe $p\in\N$ tel que $$ 10^p\leq N<10^{p+1}$$
\item dans ce cas $p+1$ est le nombre de chiffres de $N$.
\end{itemize}
}
\item \textbf{Application} 
\begin{enumerate}
\item avec combien de chiffres s'écrit $2002^{2003}$ ?
\item Le plus grand nombre premier connu en $1999$ était $N=2^{6972593}-1$ (découvert par Hajratwala, Woltman et Kurowski). Avec combien de chiffres s'écrit-il ?
\item La magnitude d'un séisme d'intensité $I$ est mesurée sur l'échelle de Richter par :
$$ M=\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$$
où $I_0$ est une intensité de référence.
\begin{enumerate}
\item Placer sur l'échelle de Richter les séismes suivants :
\begin{enumerate}
\item îles Macquarie ($1989$), $I=1,995\times 10^8 I_0$ ; 
\item Californie ($1992$), $I=3,16\times 10^7I_0$ ;
\item Indonésie, îles flores ($1993$), $I=6,3\times 10^6 I_0$
\end{enumerate}
\item L'énergie $E$ (en joules) libérée au foyer du séisme est liée à la magnitude par la relation :
$$ \log E=a+bM$$
$a$ et $b$ étant des constantes.\\
Calculer $a$ et $b$ sachant qu'un séisme de magnitude $8$ met en jeu environ $30000$ fois plus d'énergie qu'un séisme de magnitude $5$, lui-même libérant une énergie de $0,2\times 10^{20}$ joules.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{seisme.eps}
\end{center}
\end{document}
