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\newcommand{\Annee}{2011-2012}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{1}
\debutAiDav

\Cr{TP informatique 1-Suite de syracuse}

\vspace*{3mm}

\begin{large}\textbf{
Enoncé}
\end{large}

A tout  entier naturel $n \geq 1$, on applique 
l’algorithme suivant : \\
Si $n = 1$ le processus s’arrête, sinon : 
\begin{itemize}
\item si $n$ est pair on le transforme en $\dfrac{n}{2}$,
\item si $n$ est impair on le transforme en $3n+1$.
\end{itemize}

On note à nouveau $n$ le résultat obtenu et on 
ré-applique l’algorithme à ce $n$. 
\\
Lorsque, pour l'entier $n$, l’algorithme aboutit à $1$, 
on appelle \og suite de Syracuse associée à $n$ \fg la 
suite (finie) des entiers rencontrés pour passer de
$n$ à $1$. \\

On note $\mathscr L(n)$ le nombre d’entiers de cette suite 
finie. $\mathscr L(n)$  est la longueur de la suite de Syracuse 
associée à $n$. 

\Expl{pour $n = 5$ on obtient successivement les 
nombres $5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 $ et donc $\mathscr L(5) = 6$. }


\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item A l’aide d’un programme écrit sur algobox ou sur la calculatrice, appliquer cet algorithme aux entiers compris entre $1$ et $10$. 
\item Préciser les valeurs de $\mathscr L (26) $ et $\mathscr L (27)$. 
\end{enumerate}
\item Etude de quelques résultats particuliers relatifs aux longueurs des suites $\mathscr L (n)$ pour $n$ 
entier naturel.\\
\flushright{\fbox{\lefthand Appeler l'examinateur pour vérifications de l'algorithme.}}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la longueur des suites de Syracuse associées aux nombres de la forme $2^p$ pour $p$ entier naturel non nul ?
\item Que remarque-t-on quant aux suites de Syracuse associées aux nombres de la forme 
$8k + 4$ et $8k + 5$ pour $k 
\in N^*$.
\quad 
\hfill
\fbox{\lefthand Appeler l'examinateur pour vérifications des conjectures.}
\item Démontrer ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[3.] Démontrer que si le reste de la division euclidienne de $n$ par $4$ est $0$, $1$ ou $2$ alors l’algo- 
rithme amène nécessairement, au bout d’un certain nombre d’étapes, à un entier strictement inférieur à $n$.
\footnote{La conjecture de Syracuse affirme que pour tout entier non nul le processus aboutit à $1$. La 
longueur de la suite quant à elle n'est pas, à l'heure actuelle prévisible, en toute généralité.}
\end{enumerate}


\hspace*{3cm}

\hfill\rule{12cm}{1pt}
 
\vspace*{3mm}
\begin{large}



\textbf{Production demandée} :
\end{large}
\begin{itemize}
\item Construction de l'algorithme de Syracuse.
\item Enoncé des conjectures du $2)$, puis
preuve de 2b) et de 3). 
\end{itemize}

%\begin{center}
% Transformations élémentaires % D’après Girou 
\newcommand{\DemiTour}[1]{\rotatebox[origin=c]{180}{#1}} 
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\vspace*{3cm}
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%\centerline{\losangland\reflectbox{\losangland}} 


%\end{center}
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