 \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Recueil d'annales }
\author{D. Zancanaro - Lycée Jean Durand }
\date{2011-2012}


\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Les vecteurs du plan}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.5cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{stylecom}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Recueil}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{d'annales}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique }; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS3}};
	%\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Obligatoire}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	%\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Spécialité}};
%	\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}
%\begin{center}
%\begin{itemize}
%\item \textit{\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
%\item \textit{\textbf{L'usage de la calculatrice est autorisé.}}
%\item \textit{\textbf{Les documents sont interdits.}}
%\item \textbf{\textit{Durée}} : $2$ heures.
%\end{itemize}
%\end{center}
\Exoi{\hfill (bac Bordeaux-1971)
\begin{enumerate}
\item Déterminer le reste de la division de $2^n$ par $3$, $n$ étant un entier naturel.
\item Déterminer le reste de la division de $(275 423)^n$ par $3$.
\item Déterminer $n$ pour que le nombre : 
$$N=(275 423)^n + (372 121)^n $$
soit divisible par $3$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (bac clermont-ferrand 1971)\\
Dans le plan complexe, soit $m$ le point d’affixe $z$ et $m'$ le point d’affixe $z'$ , tels que :
$$ z + z ' = 4$$ 
Montrer que $m'$ est l’image de $m$ par la symétrie, $\mathscr S$ , de centre $I$ et d’affixe $2$. 
\\
Soit $\mathscr R$ la rotation de centre $O$, d’affixe $0$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Montrer que $\mathscr R'=\mathscr R\circ \mathscr S$ est une rotation, dont on précisera le centre en en donnant 
l’affixe et l’angle. }


\Exoi{\hfill (bac bordeaux 1972)\\
Résoudre : 
\begin{enumerate}
\item Dans $\Z/13\Z$, l'équation :
$$ x^2-x+6=0$$
\item Dans $\left(\Z/6\Z\right)\times\left(\Z/6\Z\right)$ le sytème :
$$\left\{ \begin{array}{l} \overset{.}{2}x-\overset{.}{4}y=\overset{.}{2}
 \\ x-\overset{.}{5}y=\overset{.}{2}  \end{array} \right.$$
\end{enumerate}}
\pagebreak
\section{Partie I : Analyse}

\Exoi{\hfill (Antilles-Guyanne sept.2011)\\
On considère la fonction $f$ définie $]0~;~+ \infty[$ par : 
\[f(x) = x \ln x - 1.\] 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ cette solution. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à la précision $10^{-2}$. 
\item Déterminer le signe de $f(x)$ lorsque $x$ appartient à $]0~;~+ \infty[$. 
\item Montrer que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$. 
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Calcul d'une intégrale}
\\
On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante : 
\[I = \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x.\] 
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'intégrale $I$ est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale 
\[J = \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x.\]
  \item Montrer l'égalité : $I = \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} + 16\ln 2 - 8$.
\\
En déduire une valeur approchée de $I$ à $10^{-1}$ près. 
\end{enumerate}
}

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(6.5,5.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(6.5,5.75)
\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,5.75){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](4,4.5){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4.4}{x ln x mul 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (Pondichéry Avril 2012)\\
On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 
\\
\[I_{n} = \int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad  J_{n} = 	\int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] 
\begin{enumerate}
\item Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par 
\[f_{n}(x) =  \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\]
pour différentes valeurs de $n$ : 
%\begin{center}
\psset{unit=9cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.,-0.0)(1.1,1.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2)
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div}
\uput[u](0.9,0.53){$f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){$f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){$f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){$f_{3}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche. 
		\item  Démontrer cette conjecture.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : 
\[0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\leqslant \text{e}^{- nx}.\]
		\item Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier $n \geqslant 1$ : 
\[I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).\]
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (La Réunion Juin 2011)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = 1 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^{2x} + 1}.\] 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O;\vec{i}, \vec{j})$.
 \\
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathcal{C}$. Elle coupe l'axe des abscisses aux points A et B.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(4.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.pt,labels=none]{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,xticksize=0 1cm]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dr](1.317,0){A}\uput[dl](-1.317,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.5}{4.5}{1 2.71828 x exp 4 mul 1 2.71828 2 x mul exp add div sub}
\uput[d](-4,0.9){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\textbf{Partie A}
\\
L'objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction $f$ que l'on peut conjecturer à partir du graphique.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ semble croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x,\, f'(x) = \dfrac{4\text{e}^{x}\left(\text{e}^{2x} - 1\right)}{\left(\text{e}^{2x} + 1 \right)^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item La droite d'équation $x = 0$ semble être un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$. 
\\
Démontrer que cette conjecture est vraie. 
\item On désigne par $a$ l'abscisse du point A et on pose $c = \text{e}^a$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le réel $c$ est une solution de l'équation $x^2 - 4x + 1 = 0$. 
\\
En déduire la valeur exacte de $a$. 
		\item Donner le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\\
L'objet de cette partie est d'étudier quelques propriétés de la fonction $F$ définie sur $\R$ par : 
\[F(x) = \int_{0}^x  f(t)\:\text{d}t.\] 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de la fonction $F$ sur $\R$. 
\item Interpréter géométriquement le réel $F(a)$. En déduire que $- a \leqslant  F(a) \leqslant  0$. 
\item On cherche la limite éventuelle de $F$ en $- \infty$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel positif $t,\, f(t) \geqslant  1 - 4\text{e}^{- t}$. 
		\item En déduire que pour tout réel positif $x,\, F(x) \geqslant  x - 4$ et déterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question. toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\\
Déterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
\end{enumerate}}

\pagebreak

\Exoi{\hfill (Centres étrangers Juin 2011)\\
On considère une droite $\mathcal{D}$ munie d'un repère $\left(O~;~\vec i \right)$.
\\
 Soit $\left(A_{n}\right)$ la suite de points de la droite $\mathcal{D}$ ainsi définie :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A_{0}$ est le point O ; 
\item[$\bullet~~$] $A_{1}$ est le point d'abscisse $1$ ; 
\item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n$, le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur un  dessin la droite  $\mathcal{D}$, les points $A_{0},\, A_{1},\, A_{2},\,A_{3},\, A_{4},\, A_{5}$ et $A_{6}$.
		\\
On prendra 10~cm comme unité graphique. 
		\item Pour tout entier naturel $n$,  on note $a_{n}$ l'abscisse du point $A_{n}$. 
		\\
Calculer $a_{2},\, a_{3},\, a_{4}\,a_{5}$ et $a_{6}$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, justifier l'égalité : $a_{n+2} = \dfrac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer par récurrence,  que pour tout entier $n,\,a_{n+1} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + 1$. 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$v_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$$
Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$, puis celle de la suite $\left(a_{n}\right)$.  
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\textbf{CENTRES ETRANGERS JUIN 2011}\\
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0)(-3,-3)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-3,-3)(4,4)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.606}{4}{x 2.71828 x 1  sub exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=olive]{-0.81}{4}{x dup mul  2.71828 x 1  sub exp div}
\uput[dl](0,0){O} \uput[l](-0.5,-2){$\mathcal{C}$} \uput[l](-0.53,2){$\mathcal{C}'$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (centres étrangers Juin 2011)\\
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
\[f(x) = x\text{e}^{1 - x}\quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{1 - x}.\]
Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$ sont respectivement notées $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. leur tracé est donné en annexe.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude des fonctions \boldmath $f$ \unboldmath et} \boldmath $g$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $- \infty$.
		\item Justifier le fait que fonctions $f$ et $g$ ont pour limite $0$ en $+ \infty$.
		\item Étudier le sens de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$ et dresser leurs tableaux de variations respectifs.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Calcul d'intégrales}
\\
Pour tout entier naturel $n$, on définit l'intégrale $I_{n}$ par :
\[I_{0} = \int_{0}^1 \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x \quad \text{et , si }\, n \geqslant 1,\, I_{n} = \int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $I_{0}$.
		\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
		\[I_{n+1} = - 1 + (n + 1)I_{n}.\]	
		\item En déduire la valeur exacte de $I_{1}$, puis celle de $I_{2}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Calcul d'une aire plane}
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
\\		
En exprimant $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité :
\[\mathcal{A} = 3 - \text{e}.\]
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de l'égalité de deux aires}
\\
Soit $a$ un réel strictement supérieur à 1.
\\
On désigne par $S(a)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = a$.
\\
On admet que $S(a)$ s'exprime par :
\[S(a) = 3 - \text{e}^{1 - a}\left(a^2 + a + 1\right).\]
L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de $a$ pour laquelle les aires $\mathcal{A}$ et $S(a)$ sont égales.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $S(a) = \mathcal{A}$ est équivalente à l'équation : 
$\text{e}^a = a^2 + a + 1$.
		\item \emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		\\
Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel $a$, solution du problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (Nouvelle Calédonie Juin 2011)\\
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}
\\
On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle $y'= a y$ où $a \in \R$ sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x) = K\text{e}^{ax}$ où $K \in  \R$.
\\
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) $y'= ay + b$  où $a \in \R^{*}$ et $b \in \R$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)= -\dfrac{b}{a}$ est une solution de (E). 
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Démontrer l'équivalence suivante : $f$ est solution de (E) $\iff f - u$ est solution de l'équation différentielle $y'= a y$. 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\\
Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en secondes et $v(t)$ en mètres par seconde.
 \\
On suppose de plus que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 \\
Un modèle simple permet de considérer que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle :
\[10v'(t) + v(t) = 30.\]  
Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que $v(0)= 0$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $v(t) = 30\left(1 - \text{e}^{- \dfrac{t}{10}}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v'(t)$ est inférieure à 0,1 m.s$^{-2}$. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. 
\item  La distance $d$ parcourue par ce cycliste entre les instants $t_{1}$, et $t_{2}$ est donnée par $d = \displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\:\text{d}t$. 
 \\
Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes. 
\end{enumerate} }

\Exoi{\hfill (Nouvelle Calédonie Juin 2011)\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par :	$$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 1\\
u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
\end{array}\right.$$
\textbf{Partie A}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$. 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
\\
En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Déterminer sa limite. 
\end{enumerate} 
}


\pagebreak

\Exoi{\hfill (Liban Mai 2012)\\
\textbf{Partie A
}\\
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
$\qquad
g(x)=2x^3-1+2\ln x
$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$. Donner une valeur approchée de $\alpha$, arrondie au centième.
\item En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\\
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par :
$\qquad 
f(x)=2x-\frac{\ln x}{x^2}
$\\
On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal $(O\,;\vec{i}\,;\,\vec{j}\,)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Démontrer que la courbe $\mathcal C$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$.
\\
Etudier la position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta$.
\item Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$.
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal C$ dans le repère $(O\,;\vec{i}\,;\,\vec{j}\,)$. On prendra comme unités: 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C}\\
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par:
$\qquad
I_n=2\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x.
$
\item \begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ à  l'aide d'une intégration par parties.
\item En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Calculer la limite de l'aire $I_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
\partieBac{Restitution organisée des connaissances}
On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = + \infty$. Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
\\
\partieBac{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\intervalleA$ par $f(x) = x -
\frac{\ln(x)}{x}$. 
\\
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j})$.
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleA$ par $g(x) =  x^2
  -1 + \ln(x)$.
\\
  Montrer que la fonction $g$ est positive sur $\intervalleA$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleA$, $f'(x) =
    \frac{g(x)}{x^2}$.
  \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\intervalleA$.
  \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est une
    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
  \item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à
    la droite $\mathcal{D}$.
  \end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note
  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de
  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à
    $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est
    donnée par $M_kN_k = \frac{\ln(k)}{k}$.
  \item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$
    supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit
    inférieur ou égale à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\intervalleB$ telle
que :
\[
f(0) = 0 \text{ et } f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $\intervalleB$}.
\]
\emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.}
\\
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\intervalleB$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleC$ par $g(x) =
  f\left(\tan(x)\right)$.
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleC$, puis que,
    pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g'(x) =1$.
  \item Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g(x) = x$, en
    déduire que $f(1) = \frac{\pi}{4}$.
  \end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleB$, $0 \leq f(x) \leq \frac{\pi}{4}$. 
\end{enumerate}
\partieBac{}
Soit $\left (\I_n\right)$ la suite définie par $$\I_0 = \int_{0}^{1}
f(x) \dd x$$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $$\I_n =
\int_{0}^{1} x^nf(x) \dd x. $$
\begin{enumerate}
\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $$\I_0 =
  \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2).$$
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $$\I_n \geq 0.$$
  \item Montrer que, pour tout  entier naturel non nul $n$, $$\I_n \leq
    \frac{\pi}{4(n+1)}.$$
  \item En déduire la limite de la suite $(\I_n)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2012)\\
\partieBac{}
On considère l’algorithme suivant : les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.
\begin{center}
		\Algo{12cm}{
\Entree{ 
 $U$  est un nombre réel\\
 $k$ et $n$ sont des entiers naturels}\\
%\Function{Extremum}
  %  {{...}{}}
    %{}
{
  Saisir  le nombre entier naturel non nul $n$ \\
  Affecter à $U$ la valeur $0$\\
  \For{$k=0$ \textbf{à} $n-1$}{
Affecter à $U$ la valeur $ 3U-2k+3$
}\\
Afficher $U$
}}
\end{center}
Quel est l'affichage en sortie lorsque $N=3$ ?\\
\partieBac{}
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$ \left\{\begin{array}{l}
u_0=0\\
u_{n+1}=3u_n-2n+3
\end{array}
\right.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\geq n$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Soit la suite $(v_n$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n+n+1$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=3^n+n-1$.
\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $u_n\geq 10^p$ ?
\item On s'interesse maintenant au plus petit entier $n_0$. \\
Justifier que $n_0\leq 3p$.
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour $p=3$.
\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur donnée de $p$ en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on ait $u_n\geq 10^p$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2012)\\
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On considère les points $B(100 ; 100)$ et $C\left((50; 
\dfrac{50}{\sqrt{e}}\right)$ 
et la droite $\mathscr D$ d’équation $y = x$.\\
On note $f$ la fonction définie sur $\R$ dont la courbe représentative, notée $\mathscr C_f$ , est donnée ci-dessous.
\newrgbcolor{ccwwqq}{0.8 0.4 0}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5mm,yunit=0.5mm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-130,-30)(130,170)
%\psgrid[subgriddiv=20,gridlabels=20,gridcolor=ccwwqq](0,0)(-130,-30)(130,170)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{-}(0,0)(-125,-25)(125,165)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-120.0}{120.0}{x*2.72^(0.01*x-1)}
\rput[tl](-74.25,50.78){$\qqqqzz{\mathscr C_f : y=f(x)}$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](100,100)
\rput[bl](101.63,98.35){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](50,30.37)
\rput[bl](51.38,26.81){$C$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On suppose de plus qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\forall x\in \R$, $f(x)=xe^{ax+b}$ ;
\item[$\bullet$] les points $B$ et $C$ appartiennent à $\mathscr C_f$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que le couple $(a, b)$ est solution du système : 
$$
\left\{ \begin{array}{l} 100a+b=0\\
50a+b=-\dfrac{1}{2}  \end{array} \right.
$$
\item En déduire que pour tout réel $x$ on a :
$$ f(x)=xe^{0,01x-1}$$
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{100}{e}\times 0,01xe^{0,01x}$.
\item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$.
\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$. On donnera le tableau de variations complet.
\item Étudier la position relative de la courbe $\mathscr C$ et de la droite $\mathscr D$.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale $ \int_0^{100} f(t) \dd t$
\item On désigne par $\mathscr A$ l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par les droites d’équations $x = 0$ et 
$x= 100$, la droite $\mathscr D$ et la courbe $\mathscr C$. Calculer $\mathscr A$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\section{Partie II : Géométrie}

\Exoi{\hfill (Antilles-Guyannes Sept.2011)\\
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
 \\
On considère les trois points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées respectives : 
$$A(-1~;~2~;~1) \qquad  B(1~;~- 6~;~-1)\qquad \text{et}\qquad  C (2~;~2~;~2)$$ 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan. 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(1; 1; - 3\right)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans $(ABC)$ et $P$ sont sécants. 
		\item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et $(ABC)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon $3$ et on nomme $I$ le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $I$ appartient à la droite $D$. 
		\item Montrer que le point $I$ appartient à la sphère $S$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 \\
Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}




\Exoi{\hfill (Pondichéry-Avril 2012)\\
Dans le repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ de l'espace, on considère : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 
\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
\item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	-3 - 2t \\
y&=& 	2t\\ 
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \R.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.
\\
\textbf{Proposition 1}
 \\
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
 \\
\textbf{Proposition 2}
 \\
La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$.
 \\
\textbf{Proposition 3 }
\\
L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	1 - t' \\
y&=	& - 1 -	2t'\\ 
z&=	&t'
\end{array}\right. \quad t' \in \R.\] 
\textbf{Proposition 4}
 \\
Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. 
}

\Exoi{\hfill (Antilles-Guyannes Sept.2011)\\
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique $4$~cm. 
\\
\textbf{Partie A :}
\\
On note $P$ le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $Q$ le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et $K$ le point d'affixe $- 1$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points $P$ et $Q$ appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre $O$ et de rayon $1$. 
		\item Faire une figure et construire les points $P$ et $Q$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure. 
		\item Montrer que $P$ et $Q$ sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle 
		$\Gamma$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :}
\\
On considère trois nombres complexes non nuls $a$, $b$ et $c$. On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $a$, $ b$ et $c$.
 \\
On suppose que l'origine $O$ du repère $(O;\vec{u},\vec{v})$ est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle $ABC$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $|a| = |b| = |c|$. En déduire que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$. 
		\item Montrer que $a + b + c = 0$.
		\item Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$. 
		\item En utilisant la partie $A$, en déduire que $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$.  
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on admet que $\dfrac{b}{a} = p$ et $\dfrac{c}{a} = q$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.  
		\item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}$. 
		\item Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle $ABC$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (Antilles Guyanne Juin 2011)\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$. On prendra 2~cm pour unité graphique. On appelle $J$ le point d'affixe $i$.
\begin{enumerate}
\item On considère les points $A$, $B$, $C$, $H$ d'affixes respectives $a=-3-\text{i}$, $b=-2+4\text{i}$, $c=3-\text{i}$ et $h= - 2$.
\\
Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
\item Montrer que $J$ est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle $ABC$. Préciser le rayon du cercle $\mathcal{C}$.
\item Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe $\dfrac{b-c}{h-a}$. En déduire ques les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
Dans la suite de l'exercice, on admet que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle $ABC$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item On note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Déterminer l'affixe $g$ du point $G$. Placer $G$ sur la figure.
		\item Montrer que le centre de gravité $G$, le centre du cercle cironcscrit $J$ et l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$ sont alignés. Le vérifier sur la figure.
\item On note $A'$ le milieu de $[BC]$ et $K$ celui de $[AH]$. Le point $A'$ a pour affixe 
$$a'=\dfrac12+\dfrac32\text{i}$$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $K$.
		\item Démontrer que le quadrilatère $KHA'J$ est un  parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (Pondichéry Avril 2012)\\
\textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances}
\\
Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$.
\\
Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$.
\\
\textbf{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière }
\\
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$.
 \\
Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: 
\[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] 
\begin{enumerate}
\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe. 
		\item Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. 		\item Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$. 
\item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.  
\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. 
\\
Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$  ? 
\item On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$. 
\end{enumerate}}

\begin{center} 
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\pscircle(0,0){2}
\uput[d](1,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,1){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](-175,-1){$\mathcal{C}$}
\psdots(-1,-0.3)\uput[r](-1,-0.3){D}
\end{pspicture}
\end{center}


\Exoi{\hfill (Asie Juin 2011)\\%}
\emph{On considère un cube \text{ABCDEFGH}, d'arête de longueur 1. On note \text{I} le point d'intersection de la droite \text{(EC)} et du plan \text{(AFH)}.} 
\begin{enumerate}
\item On se place dans le repère $\left(\text{D}~;~\overrightarrow{\text{DA}},\, \overrightarrow{\text{DC}},\, \overrightarrow{\text{DH}}\right)$.
 \\
Les sommets du cube ont pour coordonnées : 
$\text{A}(1~;~0~;~0)\, \text{B}(1~;~1~;~0)\, \text{C}(0~;~1~;~0)\, \text{D}(0~;0~;~0)\, \text{E}(1~;0~;~1)\, \text{F}(1~;~1~;~1)\, \text{C}(0~;~1~;~1)\, \text{H}(0~;0~;~1)$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH). 
		\item En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH). 
		\item Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. 
		\item Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I pour $AFH$ ?
	\end{enumerate} 
\item 
\emph{Définitions :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ; 
\item[$\bullet~~$] il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ;
\item[$\bullet~~$] il est dit de type 3 s'il est à la fois de type 1 et de type 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH. 
\end{enumerate}
\psset{unit=0.45cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(15,15)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.1pt](0,1.6)(8.6,10.5)(5.5,14.6)%AFH
\pspolygon(0,1.6)(8.6,0.2)(8.6,10.5)(0,11.9)%ABFE
\psline(8.6,0.2)(14,2.8)(14,13.1)(8.6,10.5)%BCGF
\psline(14,13.1)(5.5,14.6)(0,11.9)%GHE
\psline(0,1.6)(8.6,10.5)(5.5,14.6)%AFH
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(5.4,4.2)(14,2.8)(0,11.9)%ADCE
\psline[linestyle=dashed](5.4,4.2)(5.5,14.6)%DH
\uput[dl](0,1.6){A} \uput[d](8.6,0.2){B} \uput[dr](14,2.8){C} 
\uput[d](5.4,4.2){D} \uput[ul](0,11.9){E} \uput[dr](8.6,10.5){F}
 \uput[ur](14,13.1){G} \uput[u](5.5,14.6){H} \uput[ur](4.8,8.85){I}
 \psdots(0,1.6)(8.6,0.2)(14,2.8)(5.4,4.2)(0,11.9)(8.6,10.5)(14,13.1)(5.5,14.6)(4.8,8.85) 
\end{pspicture}
\end{center}
}

\Exoi{\hfill (Nouvelle Calédonie Juin 2011)\\
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$.
 \\
On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  
		\item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		\item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. 
\item Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et
$x - 2y + 6z = 0$.
\\
Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations
paramétriques est : $$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2\\
y&=& -1 +  3t\\
z&=&t
\end{array}\right.,~t \in  \R$$
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 
\item  Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.
		\item Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
		\item Démontrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill(Liban Mai 2012)\\
\textit{On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Un triangle}
\begin{enumerate}
\item On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2$, $b=3+\text{i}\sqrt{3}$ et $c=2\text{i}\sqrt{3}$.
\\
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
\item En déduire que l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est $1+\text{i}\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Une transformation du plan}
\\
On note $(z_n)$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_O=0$, et telle que:
\[
z_{n+1}=\frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}z_n+2,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.
\]
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points $A_2$, $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives:
\[
3+\text{i}\sqrt{3},\quad 2+2\text{i}\sqrt{3}\quad\text{et}\quad 2\text{i}\sqrt{3}
\]
On remarquera que: $A_1=2$, $A_2=B$ et $A_4=C$.
\item Comparer les longueurs des segments $[A_1A_2]$, $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$.
\item \'Etablir que pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
z_{n+1}-\omega = \frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega),
\]
où $\omega$ désigne le nombre complexe défini à  la question \textbf{1. b)}.
\item En déduire que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a: $A_{n+6}=A_n$. Déterminer l'affixe du point $A_{2012}$.
\end{enumerate}
\item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
Déterminer, pour tout entier naturel $n$, la longueur du segment $[A_nA_{n+1})$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (Liban Mai 2012)\\
\textit{Les quatre questions sont indépendantes.}
\\
\textit{Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d'indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.}
\begin{enumerate}
\item Dans l'espace rapporté à  un repère orthonormal $(O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k})$, on considère les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ de représenations paramétriques respectives:
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x &= & 4+t\\
y &= & 6+2t\\
z &= & 4-t
\end{array}\right.,\quad t\in\R,\quad \text{et}\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl}
x &= & 8+5t'\\
y &= & 2-2t'\\
z &= & 6+t'
\end{array}\right.,\quad t'\in\R.
\]
\textbf{Affirmation: les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires.}
\item Dans l'espace rapporté à  un repère orthonormal $(O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k})$, on considère les points $A(12;7;-13)$ et $B(3;1;2)$ ainsi que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x+2y-5z=1$.
\\
\textbf{Affirmation: le point $B$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.}
\item On considère les suites $u$ et $v$ définies, pour tout entier naturel $n$, par:
\[
u_n=\frac{n+1}{n+2}\quad\text{et}\quad v_n=2+\frac{1}{n+2}
\]
\textbf{Affirmation: ces deux suites sont adjacentes.}
\item On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0=1$ et la relation de récurrence:
\[
u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2,\ \text{pour tout entiernaturel}\ n.
\]
\textbf{Affirmation: cette suite est majorée par 3.}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$.
 \\
On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $\text{M'}$ d'affixe $z'$
telle que : $z' = z^2$.
\\
On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan
  tels que $f(M) = M$.
\item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}-\Ci\sqrt{2}$.
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
  \item En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
  \end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$
  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
\item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
  $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
  triangle $\Omega MM'$ est rectangle issocèle direct en $\Omega$.
  \begin{enumerate}
  \item À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle
    $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et
    seulement si $z^2 - \Ci z -1 + \Ci = 0$ et $z \not= 1$.
  \item Montrer que $z^2 - \Ci z -1 + \Ci = (z-1)(z+1-\Ci)$.
  \item En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.
  \end{enumerate}
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et e $1$.
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer $\left ( \vect{OM\vphantom{'}},\vect{OM'}\right)$ en fonction
    d'un argument de $z$.
  \item En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de
    $O$ et de $\Omega$ tels que $O$, $M$ et $M'$ soient alignés.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2012)\\
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv, on considère les points $A$, $B$ et $C$ 
d’affixes respectives $a = –2 + 2i$, $b = –3 – 6i$ et $c = 1$. \\
La figure de l’exercice est donnée ci-dessous. Elle peut servir à émettre des conjectures ou à vérifier des 
résultats. 
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-12,-7)(8,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-12,-7)(8,6)
\psline[linewidth=1.2pt](-2,2)(-3,-6)
\psline[linewidth=1.2pt](-3,-6)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt](1,0)(-2,2)
\psline[linewidth=1.2pt](-6.5,-1.5)(0.5,2.5)
\psline[linewidth=1.2pt](0.5,2.5)(2,-5)
\psline[linewidth=1.2pt](2,-5)(-6.5,-1.5)
\psline[linewidth=0.4pt](-6.5,-1.5)(1,0)
\psline[linewidth=0.4pt](-2,2)(2,-5)
\psline[linewidth=0.4pt](-3,-6)(0.5,2.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](-11,-5)(-2,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](1,0)(0,5)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](-3,-6)(7,-4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](-11,-5)(-3,-6)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](1,0)(7,-4)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-2,2)
\rput[bl](-1.88,2.11){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-3,-6)
\rput[bl](-2.98,-6.29){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1,0)
\rput[bl](1.12,0.09){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-6.5,-1.5)
\rput[bl](-6.58,-1.4){$S$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2,-5)
\rput[bl](2.13,-4.91){$P$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.5,2.5)
\rput[bl](0.62,2.59){$Q$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7,-4)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-11,-5)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
\item\begin{enumerate}
\item Donner l’écriture complexe de la rotation $r$ de centre $B$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$.
\item En déduire l’affixe du point $A'$ image de $A$ par $r$.
\item Vérifier que l’affixe $s$ du point $S$ milieu de $[AA']$ est : $\qquad  s=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{2}i$
\item Démontrer que le point $S$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item On construit de la même manière $C'$ l’image de $C$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$, 
$Q$ le milieu de $[CC’]$, $B'$ l’image de $B$ par la rotation de centre $C$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $P$ le milieu de $[BB']$.
\\
On admet que les affixes respectives de $Q$ et de $P$ sont $q=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}i$ et $p=2-5i$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que : $\qquad   \dfrac{s-q}{p-a}=-i.$
\item En déduire que les droites $(AP)$ et $(QS) $ sont perpendiculaires et que les segments $[AP]$ et $[QS]$ sont de 
même longueur.
\end{enumerate}
\item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en 
compte dans l’évaluation. }\\
Démontrer que les droites $(AP)$, $(BQ)$ et $(CS)$ sont concourantes.
\end{enumerate}
}
 \pagebreak
 
\section{Partie III : Probabilité}
\Exoi{\hfill (Antilles-Guyannes Sept.2011)\\
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
\\
Un site internet propose des jeux en ligne.
 \\
\textbf{Partie A :}
\\
Pour un premier jeu : 
\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à $\dfrac{2}{5}$. 
\item[$\bullet~~$] si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à $\dfrac{4}{5}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $G_{n}$ l'évènement \og l'internaute gagne la $n$-ième partie \fg{} et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$.
 \\
L'internaute gagne toujours la première partie et donc $p_{1} = 1$. 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{$1 - p_{n}$}}
	  {
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
}
\end{center}
\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$.  
\item Pour tout $n$ entier naturel non nul, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1}$ à préciser. 
		\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1}  + \dfrac{1}{4}$. 
		\item Déterminer la limite de $p_{n}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :}
\\
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10~parties. 
\\
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
 \\
La probabilité de gagner chaque partie est égale à $\dfrac{1}{4}$. 
\\
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier. 
		\item Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près. 
		\item Déterminer l'espérance de $X$.
	\end{enumerate} 
\item Le joueur doit payer 30~\euro{} pour jouer les 10~parties. 
Chaque partie gagnée lui rapporte 8~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. 
		\item Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro ? Le résultat sera arrondi à $10^{-5}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (Nouvelle Calédonie Mars 2011)\\
On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
\\
L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire.
 \\
L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires.
 \\
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$.
 \\
On considère les évènements suivants :
 \\
$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 
\\
$B$ : \og obtenir une boule noire \fg.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$. 
		\item Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé. 
	\end{enumerate}
\item On convient qu'une partie est gagnée lorsque la ·boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item On donne le tableau suivant: 
\begin{center}\begin{footnotesize}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
$P(X < k)$ &{0,0091}&{0,0637}  &{0,2110} &{0,4467} &{0,6943} &{0,8725} &{0,9616} &{0,9922}& {0,9990}&{0,9999}\\ \hline
\end{tabular}
\end{footnotesize}\end{center}
Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg.
 \\
À partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (La réunion Juin 2011)\\
\emph{Les trois questions peuvent être traitées de façon indépendante}
\\
Un candidat participe à un jeu télévisé qui comporte deux épreuves. La première consiste à répondre à une question tirée au hasard parmi celles que l'assistante a prélevées dans une urne.
\\
Dans la seconde, il doit répondre à une série de 10 questions sur un thème qu'il choisit.
\begin{enumerate}
\item L'urne contient dix bulletins indiscernables au toucher comportant chacun une question.
 \\
Toutes les questions sont différentes, quatre portent sur l'histoire, quatre portent sur la littérature et deux sur le sport.
 \\
En début d'émission, l'assistante tire au hasard et simultanément 4 bulletins de l'urne.
\\
On note A l'évènement \og les quatre questions portent sur l'histoire \fg{} et B l'évènement \og l'une au moins des quatre questions porte sur le sport \fg.
 \\
Déterminer la probabilité des évènements A et B. 
\item L'animateur annonce les thèmes sur lesquels portent les questions des quatre bulletins choisis par l'assistante. Il y a une question d'histoire, deux de littérature et une sur le sport. 
\\
Le candidat tire au hasard l'un de ces quatre bulletins.
 \\
On admet que la probabilité que sa réponse soit correcte est $0,7$ s'il s'agit d'une question d'histoire, $0,6$ s'il s'agit d'une question de littérature et $0,5$ pour une question sur le sport. 
\\
On considère les évènements suivants :
\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[ ] H : \og la question posée au candidat porte sur l'histoire \fg 
\item[ ] L : \og la question posée au candidat porte sur la littérature \fg
\item[ ] S : \og la question posée au candidat porte sur le sport \fg 
\item[ ] C : \og le candidat répond correctement à la question posée \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à cette première épreuve. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement C. 
		\item Sachant que le candidat a répondu correctement, quelle est la probabilité que la question posée ait porté sur le sport ?
	\end{enumerate} 
\item Le candidat a réussi cette première épreuve et choisit l'histoire comme thème pour la seconde épreuve. Les dix questions qu'on lui pose sont indépendantes et on suppose toujours que la probabilité qu'il réponde correctement à chaque question est égale à $0,7$. 
\\
On désigne par $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de bonnes réponses données par le candidat.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $k$ un entier compris entre 0 et 10.
		\\ 
Quelle est l'expression de la probabilité de l'évènement $\{X = k\}$ en fonction de $k$ ? On justifiera la réponse. 
		\item  Déterminer la probabilité que le candidat donne au moins neuf bonnes réponses. On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (Métropole Juin 2011)\\
\emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}
\\
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.
\\
Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus.
\\
\textbf{PARTIE A}
\\On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
\\
On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.
\\
$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$.
\\		
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est {0,0492}.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par un calcul la phrase :
		\\
\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg.
		\item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B}
\\
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
\\
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
\begin{enumerate}
\item Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
\end{enumerate}}
\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2011)\\
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. 
\\
On admet que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,1$ ; 
\item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,8$ ; 
\item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] G$_{n}$ l'évènement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $p_{n}$ la probabilité de l'évènement G$_{n}$·
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}	 
On a donc $p_{1} = 0,1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_{2} = 0,62$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 
\item Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. 
\item Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$. 
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
$p_{n} = \dfrac{3}{4}  - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on : $\dfrac{3}{4} - p_{n} < 10^{-7}$ ? 
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (Pondichéry Avril 2012)\\
\textbf{Partie A}
\\
Un groupe de $50$ coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
 \\
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.
\begin{enumerate}
\item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 
\item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] 
\item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\Algo{18cm}{
\Entree{ 
 $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$  sont des nombres entiers}\\
%\Function{Extremum}
  %  {{...}{}}
    %{}
{
 $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\
  \While{$(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou  $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$ }
    { $a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\
   $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\
   $e := \text{rand}(1,~50)$ }\\
  Afficher $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$.
}}
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: 
\\
$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} ; L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ 
\\
$L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} ; L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? 
		\item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
	\end{enumerate} 
\item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. 
		\item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
		\\ 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item il a été contrôlé 5 fois exactement; 
\item il n'a pas été contrôlé; 
\item il a été contrôlé au moins une fois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\textbf{Partie B}
\\
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\ 
On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.}
\\
Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$.
 \\
On appelle $D$ l'évènement: \og le coureur est dopé \fg.
 \\
Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : \\
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; 
\item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(D)$. 
\item Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (Nouvelle Calédonie Juin 2011)\\
Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.
\\
Un concurrent tire au hasard un jeton :
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, 
\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70\,\% des cas, il choisit le roller dans 20\,\% des cas il décide de faire le parcours à pied dans 10\,\% des cas.
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
 \\
\emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.} 
\item Calculer la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet à vélo. 
\item Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ? 
\item On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
 \\
L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$. 
 \\
Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og non cycliste \fg. 
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (Métropole Juin 2000)\\
\textsl{Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.}\\
Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le 
club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux 
élèves qui sont membres des deux clubs à la fois.
 \\
On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de l'évènement A et 
$p_B(A)$ la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé. 
\begin{enumerate} 
\item On interroge un élève de la classe pris au 
hasard.
 \\
On appelle P l'évènement : \og L'élève fait partie du club photo \fg, et T l'événement : \og L'élève fait partie du club théâtre \fg.
 \\
Montrer que les évènements P et T sont indépendants.
\item Lors d'une séance du club photo, les 10 
membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre 
la photo d'un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort. 
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle T$_1$ l'évènement : \og Le premier élève appartient au club théâtre \fg. Calculer $p (\text{T}_1)$. 
		\item On appelle T$_2$ l'évènement \og L'élève pris en photo appartient au club 
théâtre \fg. Calculer $p_{T_1}(T_2)$, puis $p_{T_2}\left(T_1b\right)$. En déduire $p\left(T_2~ \cap~ \text{T}_1\right)$ et 
$p\left(\text{T}_2~ \cap~ \overline{\text{T}_1}\right)$.\\ 
(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)
		\item Montrer que la probabilité que l'élève pris en photo appartienne au club 
théâtre est 0,2. 
	\end{enumerate} 
\item Toutes les semaines, on recommence de façon 
indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et 
du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de 
suite.
 \\
Calculer la probabilité qu'au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n'ait été photographié. 
\end{enumerate}
 }
\pagebreak
\Exoi{\hfill (Liban Mai 2012)\\
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.
\\
L'une $U_1$ contient 4 jetons numérotés de 1 Ã  4.
\\
L'urne $U_2$ contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
\\
Un jeu consiste à  tirer un jeton de l'urne $U_1$, à  noter son numéro, puis à  tirer simultanément de l'urne $U_2$ le nombre de boules indiqué par le jeton.
\\
On considère les événements suivants:
%\begin{multicols}{2}
\begin{description}
\item[$J_1$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 1\fg
\item[$J_2$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 2\fg
\item[$J_3$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 3\fg
\item[$J_4$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 4\fg
\item[$B$] \og toutes les boules tirées de l'urne $U_2$ sont blanches\fg
\end{description}
%\end{multicols}
\textit{On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question} \textbf{4.b)} \textit{où une valeur arrondie à  $10^{-2}$ suffit.}
\begin{enumerate}
\item Calculer $P_{J_1}(B)$, probabilité de l'événement $B$ sachant que l'événement $J_1$ est réalisé.
\\
Calculer de même la probabilité $P_{J_2}(B)$.
\\
On admet dans la suite les résultats suivants:
$\qquad \qquad
P_{J_3}(B)=\frac{1}{30}\quad\text{et}\quad P_{J_4}(B)=\frac{1}{210}
$
\item Montrer que $P(B)$, probabilité de l'événement $B$, vaut $\dfrac{1}{7}$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
\item On dit à  un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3?
\item On joue 10 fois de suite à  ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note $N$ la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $N$?
\item Calculer la probabilité de l'événement $(N=3)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des
hommes adhère à la section tennis. On sait également que $30$ \% des
membres de cette association adhèrent à la section tennis.\\
\partieBac{}
On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
%\begin{itemize}
 $F$ l'événement \og le membre choisit est une femme\fg, et
 $T$ : \og le membre choisit adhère à la section tennis\fg.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'événemen $F$ est égale à $\frac{2}{5}$.
\item On choisit un membre adhérent à la section tennis.
  Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
\end{enumerate}
\partieBac{}
Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent
une lotterie.
\begin{enumerate}
\item Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard
  de manière indépendante pour tenir la loterie.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines
    consécutives, il y a ait exactement deux fois un membre qui adhère
    à la section tennis parmi les membres choisis.
  \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la
    probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au
    moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres
    choisis.
    Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left ( \frac{7}{10}\right)^n$.
  \item Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geq 0,99$.
  \end{enumerate}
\item  Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons
  ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros
  chacun, les autres ne rapportent rien.\\
  Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis
  tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il
  reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont
  ensuite remis dans l'urne.\\
  On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique
  (déduction faite des $5$ \euro) du joueur.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
  \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$
    et interpréter le résultat obtenu.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2012)\\
On désigne par $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[0 ; 80]$.\\
Une urne contient $100$ petits cubes en bois dont $60$ sont bleus et les autres rouges.\\
Parmi les cubes bleus, $40\%$ ont leurs faces marquées d’un cercle, $20\%$ ont leurs faces marquées d’un 
losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.\\
Parmi les cubes rouges, $20\%$ ont leurs faces marquées d’un cercle, $x\%$ ont leurs faces marquées d’un 
losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. \\
\partieBac{expérience 1}
On tire au hasard un cube de l’urne.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à $0,12 + 0,004x$.
\item Déterminer $x$ pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un 
cube marqué d’une étoile.  
\item Déterminer $x$ pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » 
soient indépendants. 
\item On suppose dans cette question que $x = 50$.\\
Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.
\end{enumerate}
\partieBac{expérience 2}
On tire au hasard simultanément $3$ cubes de l’urne.\\
\textit{Les résultats seront arrondis au millième.}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?
\item Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?
\item Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ?
\end{enumerate}
}
\end{document}