

  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\pagestyle{stylecom}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Polynésie}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{Juin 2012}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique }; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS3}};
	%\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Juin 2012}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Annale}};
%	\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}
\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2012)\\
On désigne par $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[0 ; 80]$.\\
Une urne contient $100$ petits cubes en bois dont $60$ sont bleus et les autres rouges.\\
Parmi les cubes bleus, $40\%$ ont leurs faces marquées d’un cercle, $20\%$ ont leurs faces marquées d’un 
losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.\\
Parmi les cubes rouges, $20\%$ ont leurs faces marquées d’un cercle, $x\%$ ont leurs faces marquées d’un 
losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. \\
\partieBac{expérience 1}
On tire au hasard un cube de l’urne.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à $0,12 + 0,004x$.
\item Déterminer $x$ pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un 
cube marqué d’une étoile.  
\item Déterminer $x$ pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » 
soient indépendants. 
\item On suppose dans cette question que $x = 50$.\\
Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.
\end{enumerate}
\partieBac{expérience 2}
On tire au hasard simultanément $3$ cubes de l’urne.\\
\textit{Les résultats seront arrondis au millième.}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?
\item Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?
\item Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ?
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2012)\\
\partieBac{}
On considère l’algorithme suivant : les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.
\begin{center}
		\Algo{12cm}{
\Entree{ 
 $U$  est un nombre réel\\
 $k$ et $n$ sont des entiers naturels}\\
%\Function{Extremum}
  %  {{...}{}}
    %{}
{
  Saisir  le nombre entier naturel non nul $n$ \\
  Affecter à $U$ la valeur $0$\\
  \For{$k=0$ \textbf{à} $n-1$}{
Affecter à $U$ la valeur $ 3U-2k+3$
}\\
Afficher $U$
}}
\end{center}
Quel est l'affichage en sortie lorsque $N=3$ ?\\
\partieBac{}
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$ \left\{\begin{array}{l}
u_0=0\\
u_{n+1}=3u_n-2n+3
\end{array}
\right.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\geq n$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Soit la suite $(v_n$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n+n+1$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=3^n+n-1$.
\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $u_n\geq 10^p$ ?
\item On s'interesse maintenant au plus petit entier $n_0$. \\
Justifier que $n_0\leq 3p$.
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour $p=3$.
\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur donnée de $p$ en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on ait $u_n\geq 10^p$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2012)\\
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On considère les points $B(100 ; 100)$ et $C\left((50; 
\dfrac{50}{\sqrt{e}}\right)$ 
et la droite $\mathscr D$ d’équation $y = x$.\\
On note $f$ la fonction définie sur $\R$ dont la courbe représentative, notée $\mathscr C_f$ , est donnée ci-dessous.
\newrgbcolor{ccwwqq}{0.8 0.4 0}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5mm,yunit=0.5mm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-130,-30)(130,170)
%\psgrid[subgriddiv=20,gridlabels=20,gridcolor=ccwwqq](0,0)(-130,-30)(130,170)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{-}(0,0)(-125,-25)(125,165)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-120.0}{120.0}{x*2.72^(0.01*x-1)}
\rput[tl](-74.25,50.78){$\qqqqzz{\mathscr C_f : y=f(x)}$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](100,100)
\rput[bl](101.63,98.35){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](50,30.37)
\rput[bl](51.38,26.81){$C$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On suppose de plus qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\forall x\in \R$, $f(x)=xe^{ax+b}$ ;
\item[$\bullet$] les points $B$ et $C$ appartiennent à $\mathscr C_f$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que le couple $(a, b)$ est solution du système : 
$$
\left\{ \begin{array}{l} 100a+b=0\\
50a+b=-\dfrac{1}{2}  \end{array} \right.
$$
\item En déduire que pour tout réel $x$ on a :
$$ f(x)=xe^{0,01x-1}$$
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{100}{e}\times 0,01xe^{0,01x}$.
\item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$.
\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$. On donnera le tableau de variations complet.
\item Étudier la position relative de la courbe $\mathscr C$ et de la droite $\mathscr D$.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale $ \int_0^{100} f(t) \dd t$
\item On désigne par $\mathscr A$ l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par les droites d’équations $x = 0$ et 
$x= 100$, la droite $\mathscr D$ et la courbe $\mathscr C$. Calculer $\mathscr A$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2012)\\
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv, on considère les points $A$, $B$ et $C$ 
d’affixes respectives $a = –2 + 2i$, $b = –3 – 6i$ et $c = 1$. \\
La figure de l’exercice est donnée ci-dessous. Elle peut servir à émettre des conjectures ou à vérifier des 
résultats. 
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-12,-7)(8,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-12,-7)(8,6)
\psline[linewidth=1.2pt](-2,2)(-3,-6)
\psline[linewidth=1.2pt](-3,-6)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt](1,0)(-2,2)
\psline[linewidth=1.2pt](-6.5,-1.5)(0.5,2.5)
\psline[linewidth=1.2pt](0.5,2.5)(2,-5)
\psline[linewidth=1.2pt](2,-5)(-6.5,-1.5)
\psline[linewidth=0.4pt](-6.5,-1.5)(1,0)
\psline[linewidth=0.4pt](-2,2)(2,-5)
\psline[linewidth=0.4pt](-3,-6)(0.5,2.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](-11,-5)(-2,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](1,0)(0,5)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](-3,-6)(7,-4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](-11,-5)(-3,-6)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzqqqq](1,0)(7,-4)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-2,2)
\rput[bl](-1.88,2.11){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-3,-6)
\rput[bl](-2.98,-6.29){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1,0)
\rput[bl](1.12,0.09){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-6.5,-1.5)
\rput[bl](-6.58,-1.4){$S$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2,-5)
\rput[bl](2.13,-4.91){$P$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.5,2.5)
\rput[bl](0.62,2.59){$Q$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7,-4)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-11,-5)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
\item\begin{enumerate}
\item Donner l’écriture complexe de la rotation $r$ de centre $B$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$.
\item En déduire l’affixe du point $A'$ image de $A$ par $r$.
\item Vérifier que l’affixe $s$ du point $S$ milieu de $[AA']$ est : $\qquad  s=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{2}i$
\item Démontrer que le point $S$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item On construit de la même manière $C'$ l’image de $C$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$, 
$Q$ le milieu de $[CC’]$, $B'$ l’image de $B$ par la rotation de centre $C$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $P$ le milieu de $[BB']$.
\\
On admet que les affixes respectives de $Q$ et de $P$ sont $q=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}i$ et $p=2-5i$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que : $\qquad   \dfrac{s-q}{p-a}=-i.$
\item En déduire que les droites $(AP)$ et $(QS) $ sont perpendiculaires et que les segments $[AP]$ et $[QS]$ sont de 
même longueur.
\end{enumerate}
\item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en 
compte dans l’évaluation. }\\
Démontrer que les droites $(AP)$, $(BQ)$ et $(CS)$ sont concourantes.
\end{enumerate}
}


\end{document}