\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Exercice supplémentaire}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire



\textbf{Enoncé} : Après avoir étudié les variations de la fonction $f$ définie par : 
$$ f(x)=2x^3-7x^2+3x-8$$
dénombrer le nombre de solution des équations :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=0$
\item $f(x)=100 000$
\end{enumerate}
\end{multicols}
Enfin on donnera à $10^{-1}$ près la ou les solutions de l'équation $f(x)=0$.

\textbf{Correction} : 
On a, pour tout $x\in\R$ :
$$ f'(x)=6x^2-14x+3$$
Etudions le signe de la dérivée :
$$ \Delta = (-14)^2-4\times 6\times 3=124$$
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{14-\sqrt{124}}{12}\simeq 0,2\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{14+\sqrt{124}}{12}\simeq 2,1$$
On en déduit le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variation de la fonction $f$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/ $  \simeq -7.7$ , -/$ \simeq-14$, +/ $+\infty $ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}

On a $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}  2x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}  f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} 2x^3=-\infty$.\\
De plus $f\left(\dfrac{14-\sqrt{124}}{12}\right)\simeq -7,7$ et $f\left(\dfrac{14+\sqrt{124}}{12}\right)\simeq -14$.

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $]-\infty;x_2]$ on a $f(x)<0$, par conséquent l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.\\
En revanche pour $x\in[x_2;+\infty[$ la fonction $f$ est continue puisqu'il s'agit d'une fonction polynôme et prends des valeurs de $-14$ à $+\infty$, par conséquent (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution sur cet intervalle. La calculatrice nous permet de déterminer cette solution à $10^{-1}$ près :
$$ x\simeq 3,4$$
\item Pour les mêmes raisons que pour le $a)$ l'équation $f(x)=10000$ admet exactement une solution qui se trouve aussi dans l'intervalle $[x_2;+\infty[$.
\end{enumerate}

\end{document}
