\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Complexes/1}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutexo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\Exoi{On considère deux nombres complexes $z=3+2i$ et $z'=2-i$.\\
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants :
\begin{enumerate}
\item $z+z'$
\item $z\times z'$
\item $z-z'$
\item $z+2z'$
\item $2z-3z'$
\item $z^2$
\end{enumerate}}

\Exoi{Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $z_1=(2+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)$
\item $z_2=(2+5i)^2$
\item $z_3=\left(\dfrac{1}{2}-4i\right)^2$
\item $z_4=(5-2i)(5+2i)$
\item $z_5=(1+i)(5-8i)(1-i)$
\item $z_6=\dfrac{1}{\sqrt{3}-i }$
\item $z_7=-\dfrac{1}{i}$
\item $z_8=\dfrac{8i-1}{2-3i}$
\item $z_9=\dfrac{1}{2+i}-\dfrac{1}{2-i}$
\item $z_{10}=(1+2i)(1-2i)$
\item $z_{11}=(9-10i)(9+10i)$
\item $z_{12}=(1+i\sqrt{2})^2-(1-i\sqrt{2})^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ un repère orthonormal direct du plan et $a$ et $b$ deux réels. \\
Déterminer l'ensemble des points $M(a;b)$ du plan tels que le nombre complexe $z=2a+b+i(b-1)$ soit :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item un réel
\item un imaginaire pur
\item nul
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $5z+2i=(1+i)z-3$
\item $\dfrac{z-i}{z+1}=4i$
\item $i(3-i)z-2=(2i+1)z+(2i+z)i$
\item $-\dfrac{z}{iz+1}+\dfrac{3z}{z-i}=3+i$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{La plan complexe est muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $2-i$ ; $2i$ et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$
\item Déterminer les affixes des points $A'$ et $B'$ symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$
\item Lire l'affixe du symétrique $C'$ de $C$ par rapport à l'axe réel, puis déterminer l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{CC'}$
\end{enumerate} }

\Exoi{Dans le plan complexe, on donne les points avec leurs affixes :
$$ A(1)\qquad B(-2-i)\qquad \text{et}\qquad C(4i)$$
Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.}



\Exoi{$A$ et $B$ sont deux points d'affixes $z_A$ et $z_B$.\\
Soit $I$ le point vérifiant $2 \overrightarrow{OI}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$
\begin{enumerate}
\item Préciser la position de $I$ et calculer son affixe.
\item Déterminer l'affixe de l'isobarycentre des points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :$$z_A=3+i\qquad z_B=-2i\qquad z_C=4-3i\qquad z_D=5$$
\end{enumerate} }

\Exoi{On considère le parallélogramme $ABCD$ avec $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $$z_A=-1-5i\qquad z_B=4-3i\qquad z_C=3+3i\qquad z_D=-2+i $$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer l'affixe du point $C'$, symétrique de $C$ par rapport au point $D$
\item Déterminer l'affixe du point $A'$ vérifiant : $ \overrightarrow{DA'}= \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$
\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $A'BC'D$ ?
\end{enumerate}}
%\newpage

\Exoi{En utilisant les propriétés du conjugué, écrire le conjugué du nombre complexe donné et le mettre sous forme algébrique :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z_1=(2-3i)(-1+i)$
\item $z_2=\dfrac{i(2-i)}{i-3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}} 

\Exoi{Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $M'(z')$ appartient à l'axe réel.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z'=z^2-2 \overline{z}+1$
\item $z'=(\overline{z}-3)(iz+2)$
\item $z'=\dfrac{iz}{2-z}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $M'(z')$ appartient à l'axe imaginaire.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z'=z^2-2 \overline{z}+1$
\item $z'=(z-1)( \overline{z} -i)$
\item $z'=\dfrac{iz}{2-z}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ un repère orthonormal direct du plan et $a$ et $b$ deux réels. \\
Déterminer l'ensemble des points $M(a;b)$ du plan tels que le nombre complexe $z=2a+b+i(b-1)$ soit :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item un réel
\item un imaginaire pur
\item nul
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Pour tout complexe $z$ différent de $i$, on définit $Z=\dfrac{z+1}{z-i}$
\begin{enumerate}
\item On pose $z=x+iy$ et $Z=a+ib$ avec $x$, $y$, $a$ et $b$ réels.\\
Exprimer $a$ et $b$ en fonction de $x$ et $y$
\item Déterminer et représenter dans le plan complexe l'ensemble $(E)$ des points d'affixe $z$ tels que $Z$ soit réel.
\end{enumerate} }

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z=\dfrac{3}{2}-i \dfrac{\sqrt{3} }{2}$
\item Déterminer le module et une valeur approchée à $10^{-2}$ près d'un argument de $z'=-1+2i$. 
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la condition donnée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-2-i|=1$
\item $M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |z|=|\overline{z}-2+i |$
\item $M\in\mathscr G\Longleftrightarrow arg(z+2i)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$
\item $ M\in\mathscr H\Longleftrightarrow |z-3|=|z-3i |$
\item $ M\in\mathscr K\Longleftrightarrow | \overline{z} -4+i|=1$
\item  $  M\in\mathscr L\Longleftrightarrow arg( \overline{z}) =arg(-z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exoi{Déterminer une forme trigonométrique de $ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$ 
}

\Exoi{Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
$$ z_1=-\sqrt{3}+i\qquad \text{et}\qquad z_2=e^{-i\frac{\pi}{6} }\times z_1^2$$}

\Exoi{
\label{exo_trigo}
Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
\begin{multicols}{3}%3
\begin{enumerate}
\item $z_{1}=1$ %\stepcounter{index}
\item $z_{2}=\dfrac{1}{2}+i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ %\stepcounter{index}
\item $z_{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ %\stepcounter{index}
\item $z_{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}$% \stepcounter{index}
\item $z_{5}=i$ %\stepcounter{index}
\item $z_{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}$ %\stepcounter{index}
\item $z_{7}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ %\stepcounter{index}
\item $z_{8}=-\dfrac{1}{2}+i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ %\stepcounter{index}
\item $z_{9}=-1$ %\stepcounter{index}
\item $z_{10}=1-i \sqrt{3}$ %\stepcounter{index}
\item $z_{11}=-\sqrt{3}+i$ %\stepcounter{index}
\item $z_{12}=\dfrac{3+i}{1+2i}$ %\stepcounter{index}
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{
Écrire sous forme exponentielle les complexes de l'exercice \ref{exo_trigo}.
}

\Exoi{Dans le plan complexe, on considère un point $\varOmega$ d'affixe $\omega$, $\mathscr C(\varOmega,r)$ le cercle de centre $\varOmega$ et de rayon $r$ et un point $M$ d'affixe $z$. 
\begin{enumerate}
\item Démontrer l'équivalence suivante :
$$ M\in\mathscr C(\varOmega,r)\Longleftrightarrow z=\omega+re^{i\theta}\qquad \text{avec }\theta\in[0;2\pi[$$
\item Que représente l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant $z=2i+3e^{i\theta}$
\end{enumerate}}

\Exoi{Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ -2z^2+6z-5=0$
\item $(z^2+2)(z^2-4z+4)=0$
\item $(t^2-5)(t^2+6t+14)=0$
\item $(t^2+3)(2t^2+2t-4)=0$
\item $(4z^2-4z+101)(z^2+1)=0$
\item $ x^3+6x^2+13x=0$
\item $2z^4-5z^2-18=0$
\item $z^3-12z+48z-128=0$\footnote{Calculer cette expression pour $z=8$}
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\pagebreak
\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$ z^3-1=(z-1)(z^2+az+b)\forall z\in\C$$
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3=1$. On appelle $j$ la solution de partie imaginaire positive. Que vaut $j^3$ ?
\item Etablir que $j^2=\dfrac{1}{j}= \overline{j}$
\item Donner la forme algébrique de $j^n$ suivant les valeurs de l'entier $n$ dans $\N$ 
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère le nombre complexe $$ z=1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $z^2$ sous forme algébrique
\item Déterminer le module et un argument de $z^2$
\item Indiquer le signe de la partie réelle de $z$ et celui de la partie imaginaire, puis, à l'aide des propriétés sur le module et l'argument, déterminer le module et un argument de $z$.
\item Déduire de ce qui précède $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ puis $\cos \dfrac{\pi}{12}$ puis $\sin \dfrac{\pi}{12}$
\end{enumerate}}

\Exoi{Pour tout nombre complexe $z$, on définit :
$$ P(z)=z^3+2( \sqrt{2}-1)z^2+4(1- \sqrt{2})z-8$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2)$. \\
Déterminer une factorisation de $P(z)$ par $(z-2)$.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$
\\
On appelle $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation autres que $2$, $z_1$ ayant une partie imaginaire positive. Vérifier que $z_1+z_2=-2 \sqrt{2}$.\\
Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$.
\item \begin{enumerate}
\item Placer, dans le plan, muni d'un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 2 cm), les points : $A$ d'affixe $2$, B et C d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, et $I$ le milieu de $[AB]$.
\item Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle.
\\ En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OI})$.
\item Calculer l'affixe $z_I$ de $I$, puis le module de $z_I$.
\item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $ \cos \dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{3\pi}{8}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 8 cm).\\
On appelle $A$ le point d'affixe $-1$ et $B$ le point d'affixe $1$\\
Soit $\mathscr E$ l'ensemble des points du plan distincts de $A$, $O$ et $B$. \\
A tout point $M$ d'affixe $z$ appartenant à l'ensemble $\mathscr E$, on associe le point $N$ d'affixe $z^2$ et le point $P$ d'affixe $z^3$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que les points $M$, $N$ et $P$ sont deux à deux distincts.
\item On se propose de déterminer l'ensemble $\mathscr C$ des points $M$ appartenant à $\mathscr E$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que le triangle $MNP$ est rectangle en $P$ si, et seulement si, $ |z+1|^2+|z|^2=1 $
\item Démontrer que $ |z+1|^2+|z|^2=1 \Longleftrightarrow \left(z+\dfrac{1}{2}\right)\overline{\left(z+\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}$
\item En déduire l'ensemble $\mathscr E$ cherché.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=z^2-4z$
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ les points d'affixes :
$$ z_A=1-i\qquad \qquad \text{et}\qquad \qquad z_B=3+i$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points $A'$ et $B'$, images des points $A$ et $B$ par $f$.
\item On suppose que deux points ont la même image par $f$.\\Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item Soit $I$ le point d'affixe $-3$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $OMIM'$ est un parallélogramme si, et seulement si, $z^2-3z+3=0$
\item Résoudre l'équation $z^2-3z+3=0$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $(z'+4)$ en fonction de $(z-2)$.\\ En déduire une relation entre  $|z'+4|$ et $|z-2|$, puis entre $arg(z'+4)$ et $arg(z-2)$.
\item On considère les points $J$ et $K$ d'affixes respectives $z_J=2$ et $z_K=-4$.\\
Démontrer que tous les points $M$ du cercle $\mathscr C$ de centre $J$ et de rayon $2$ ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on déterminera.
\item Soit $E$ le point d'affixe $z_E=-4-3i$. Donner la forme trigonométrique $z_E+4$ et à l'aide du $3)(a)$ démontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point $E$. Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\newpage 
\Cr{Annales}
\Exoi{2006\hfill (5 points)\\
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$. On pose $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ où $x$, $x'$, $y$ et $y'$ désignent des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{OM}$ et $ \overrightarrow{OM'}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\Re e(z' \overline{z})=0$
\item Montrer que les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés si, et seulement si, $\Im m(z' \overline{z})=0$
\\
\textbf{\textit{\underline{Applications}}} :
\item $N$ est le point d'affixe $z^2-1$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $ \overrightarrow{OM}$ et $ \overrightarrow{ON}$ soient orthogonaux ?
\item On suppose $z$ non nul. $P$ est le point d'affixe $ \dfrac{1}{z^2}-1$. \\ On recherche l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que les points $O$, $N$ et $P$ soient alignés.\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\overline{\left(z^2-1\right)}=-\overline{z}^2 \left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2 $ 
\item En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble cherché.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{2007\hfill(5 points)\\
Soit les nombres complexes :
$$ z_1=\sqrt{2}+i \sqrt{6} \qquad z_2=2+2i\qquad Z=\dfrac{z_1}{z_2}$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $Z$ sous forme algébrique.
\item Donner les modules et arguments de $z_1$ , $z_2$ et $Z$
\item En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra $2$ cm comme unité graphique. On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_1$, $z_2$ et $Z$. Placer le point $B$, puis placer les points $A$ et $C$ en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
\item Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{2007}$.
\end{enumerate}}

\Exoi{2009\hfill(5 points)\\
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$,
on considère les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui  tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $P'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.
		\item Montrer que les droites $(AP)$ et $(BP')$ sont parallèles.
		\item Etablir que les droites $(AP)$ et $(PP')$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
	\item Determiner l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points 
	tels que $M'=M$).
\end{enumerate}
 On cherche  à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.
\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{2}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.
		\item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
		\item Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles.
	\end{enumerate}
	\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite $(AB)$. Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
	\item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précèdentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{2009\hfill(5 points)\\
Le plan complexe muni du repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, unité graphique : $2$ cm.
\\
On appelle $\Gamma$ le cercle de centre O et de rayon 1.\\  
\emph{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.}
\\
On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ diffrent de $O$, 
d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par :
\[z' =  z + \text{i}  - \dfrac{1}{z}.\]
\begin{enumerate}
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et leurs images $A'$ et 
$B'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a'$ et $b'$. 
		\item Placer les points $A$, $A'$, $B$ et $B'$. 
		\item  Démontrer que $\dfrac{-b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$. 
		\item  En déduire la nature du triangle $OBB'$. 
	\end{enumerate}
\item On recherche l'ensemble $(E)$ des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$
		\[ z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).\] 
		\item En déduire les affixes des points de l'ensemble (E). 
		\item Démontrer que les points de (E) appartiennent  $\left(\Gamma \right)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\theta$ un réel. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$. 
		\item  En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment $[A'C]$ 
où $C$ a pour affixe $- \text{i}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}


\Exoi{2009 \hfill (4 points)\\
\textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}.
\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Soit le point $A$ d'affixe 3,  le point $B$ d'affixe $-4\text{i}$ et l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left| z - 3\right|=| z+4\text{i}|$.\\
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$\mathscr{E}$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
\end{tabular}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
On considère trois points $A$, $B$ et $C$ deux  deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, tels que $\dfrac{c - a}{b - a}=2\text{i}$.\\
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$.
\end{tabular}
\item On considère le nombre $z=2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{7}}$.\\
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$z^{2009}$ est un nombre réel positif.
\end{tabular}
\end{enumerate}
}
\newpage
\Exoi{2009\hfill(5 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique :$ 2$ cm).
\\
On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\] 
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Ecrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
\item Placer les points A, B et C. 
\item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. 
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\\
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$.
 \\
On note $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$ les points respectivement associs par $f$ aux points O, A, B et C.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. 
	\item Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ . 
	\item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$. 
\item Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$. 
\\
Déterminer les affixes des points G et G$'$. 
Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ? 
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)
\end{enumerate}}

\Exoi{(2008)\hfill(4 points)\\
Le plan complexe est rapport au un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique :$ 4$ cm).
\\
$M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que 
\[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\]
où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.
\\
\textbf{A - Quelques propriétés}
\begin{enumerate}
\item Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$.
\item  Démontrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés.
\item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité : 
$\overline{z' + 1} =\dfrac{1}{z}(z - 1)$.
\end{enumerate}
\textbf{B - Construction de l'image d'un point}
\\
On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et $-1$.
\\
 On note $\mathscr{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vrifie : $|z - 1| = 1$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de l'ensemble $\mathscr{C}$ ?
\item 	Soit $M$ un point de $\mathscr{C}$ d'affixe $z$, distinct du point O.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $\left|z '+ 1\right|  = \left|z'\right|$. Interpréter géométriquement cette égalité.
		\item   Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité : $\left|z '+ 1\right|  = \left|z'\right|$, alors $z$ vérifie l'égalité  :
 $|z - 1| = 1$ ?
	\end{enumerate}
\item Tracer l'ensemble $\mathscr{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathscr{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$.
\end{enumerate}
	}
%\Exoi{2010\hfill(5 points)\label{produit}\\
%Dans le plan complexe muni d'un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathscr{C}$ de centre O passant par A.\\
%Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$. 
%\begin{enumerate}
%\item 
	%\begin{enumerate}
		%\item Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha   = 2\overline{\alpha} - 8$. 
		%\item Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathscr{C}$.
%	\end{enumerate} 
%\item Soit D un point du cercle $\mathscr{C}$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta}$  où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
	%\begin{enumerate}
		%\item Construire sur la figure donneé en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.  
		%\item Justifier que le point E a pour affixe $z_{\text{E}} = \alpha \text{e}^{\text{i}\theta}$.
%	\end{enumerate} 
%\item Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE]. 
	%\begin{enumerate}
		%\item Justifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}} = \dfrac{\alpha}{2} + \text{e}^{\text{i}\theta}$.  
		%\item On admet que le point G a pour affixe $z_{\text{G}} = \dfrac{\alpha\text{e}^{\text{i}\theta} + \overline{\alpha}}{2}$.
	%\\
%Démontrer que $\dfrac{z_{\text{G}} - 2}{z_{\text{F}} - 2} = \dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1. a. 
%\\
%En déduire que le triangle AFG est quilatral.
	%\end{enumerate} 
%\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%\\
 %A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini  dans la question 2, pour laquelle la longueur du coté $AF$ du %triangle AFG est minimale.\\
%On admet que $AF^2 = 4 - 3 \cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta$.
%\\
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ par $f(x) = 4 - 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$.
%Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? %Justifier. 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8.5,3)
%\psframe(8.5,3) \psline(0,2)(8.5,2)\psline(1,0)(1,3)
%\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$-\pi$} \uput[u](6,2){$\dfrac{5\pi}{6}$} \uput[u](3.5,2){$-\dfrac{\pi}{6}$} \uput[u](8.3,2){$\pi$}
%\rput(0.5,1){$f$}
%\psline{->}(1.5,1.8)(3.3,0.4)\psline{->}(3.8,0.4)(5.7,1.8)\psline{->}(6.3,1.8)(8.2,0.4) 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{enumerate}}
%\begin{center}
%\newpage
%\textbf{ANNEXE 2 (Exercice \ref{produit})}\\
%(\textbf{\`a rendre avec la copie})
%\vspace{1cm}
%\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
%\pscircle(0,0){2}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2,0)(1,1.732)(1,-1.732)(-1.25,1.57)
%\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2,0){A} \uput[ur](1,1.732){B} \uput[dr](1,-1.732){C} \uput[ul](-1.25,1.57){D} \uput[d](0.5,0){$\vec{e_1}$}
%\uput[l](0,0.5){$\vec{e_2}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}