\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2011-2012}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrences  \linebreak[2] et suites}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
\setcounter{NumLecon}{1}
\debutdwicky{kid_a.eps}{Kid A}{Radiohead}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Kid A est le quatrième album du groupe de rock britannique Radiohead, il est sorti en 2000.
Alors que les albums précédents (tel OK Computer) restent dans un style rock alternatif, les albums suivants sont beaucoup plus psychédéliques : Kid A marque l'apogée de ce style expérimental de Radiohead. Pour cette raison, il est considéré par beaucoup comme un chef-d'œuvre. Dans cet album, les guitares ont quasiment disparu au profit de synthétiseurs et de sampleurs.
Le nom donné à l'album, Kid A (littéralement « Enfant A »), évoque pour certains un premier enfant cloné. Pour d'autres, il laisse penser que le groupe le considère comme son premier enfant. Avec Kid A, l'album suivant de Radiohead, Amnesiac, forme un diptyque de musique expérimentale, un prolongement : Kid A et Amnesiac forment en réalité le diptyque Kid Amnesiac.
Ce disque comporte une majorité de chansons composée principalement de synthétiseurs et de boîtes à rythmes (Kid A, Idioteque, Everything in Its Right Place...), tout en gardant des sonorités pop/rock (In Limbo) et en explorant d'autres univers comme le free-jazz (The National Anthem).
Selon Thom Yorke et Jonny Greenwood cet album est inspiré en partie par le livre No Logo de la journaliste canadienne Naomi Klein. Les membres du groupe pensaient d'ailleurs au départ à appeler l'album No Logo, en hommage à ce livre qui décrit la société de consommation.}{0.6}{0.8}
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\TITRE{dominos.eps}{0.3}

\begin{abstract}
Même si elles ne constituent qu’un cas particulier des fonctions numériques, les suites méritent une étude à part entière car elles jouent un rôle extrêmement important à la fois en mathématiques et en physique. Elles permettent en effet dans les deux cas de fournir une approximation du  \og réel \fg. Après avoir 
mis en place un raisonnement important et fait quelques rappels de première, 
nous appronfondirons la notion de limite de suite, puis nous parlerons d’applications importantes, en particulier les 
suites adjacentes. 
\end{abstract}


\section{Démonstration par récurrence}
\subsection{Exemple introductif}
Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=2u_n +1  \end{array} \right.$$
Cette suite est définie par récurrence (chaque terme se calcule à partir du précédent). \\
\underline{But} : On souhaiterait obtenir une formule explicite de $u_n$ en fonction de $n$. La suite n'est ni géométrique, ni arithmétique, et la formule ne semble pas évidente, par conséquent on va calculer les premiers termes pour se faire une idée. 
\begin{eqnarray*}
& u_0=1\\
& u_1=2\times 1+1=3\\
& u_2= 2\times 3 + 1=7\\
& u_3=2\times 7+1=15\\
& u_4=2\times 15+1=31\\
& u_5=2\times 31+1=63\\ 
\end{eqnarray*}
Bien, en observant les premiers termes de cette suite il semble logique que $u_6=127$, en effet en ajoutant $1$ à chaque terme on obtient les puissances successive de $2$. Autrement dit il \textbf{semble} que $$u_n=2^n-1 \forall n\in\N$$
Attention, une conjecture n'est pas une preuve (ni une affirmation forcément vraie, certaines conjectures se 
révèlent parfois fausses...). Ce n'est que l'énoncé d'une propriété résultant d'un certain nombre d'observations. 
\textbf{Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci-dessus ? }\\
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété définie pour $n\in\N$, par :
$$ \mathscr P(n):u_n=2^n-1$$
Supposons un instant, que pour un certain entier $n$, on ait effectivement la propriété $ \mathscr P(n):u_n=2^n-1$\\
Dans ce cas on aurait : $u_{n+1}=2\times u_n+1=2\times(2^n-1)+1=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1$
\\Autrement dit si $\mathscr P(n)$ est vraie alors $\mathscr P(n+1)$ aussi.\\
On dit que la propriété $\mathscr P$ est \textbf{héréditaire}. \\
Au final on a vu que la propriété $\mathscr P$ était vraie au rang $n=0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ (on dit que la propriété est\textbf{ initialisée}). Mais comme la propriété $\mathscr P$ est héréditaire elle sera vraie au rang $7$, puis au rang $8$, puis au rang $9$, $\dots$.
Si bien que notre propriété est finalement vraie à tout rang. Nous venons de faire un \textbf{raisonnement par récurrence} :

\subsection{Principe du raisonnement par récurrence et exemples}

\Cadre[Principe du raisonnement par récurrence]{Soit $\mathscr P$ une propriété définie sur $\N$ (ou sur une partie de $\N$)\\
Si :
\begin{itemize}
\item La propriété est \underline{initialisée} à un certain rang $n_0$ (i.e si $\mathscr P(n_0)$ est vraie)
\item La propriété est \underline{héréditaire} à partir du rang $n_0$ (i.e si pour $n\geq n_0$ $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$)
\end{itemize}
Alors : \\
La propriété est vraie à tout rang plus grand que $n_0$.}
\Exop{Démontrer que $$\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$}

\Sol{ On considère la propriété $\mathscr P$, définie pour tout $n\in\N$, par : 
$$ \mathscr P(n):\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : Pour $n=0$, on a $0=0$, donc $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie i.e que $\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour un certain rang $n$ et montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie.\\
$$ \sum\limits_{k=0}^{n+1} k^2=\sum\limits_{k=0}^{n} k^2+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{6(n+1)^2}{6}$$
$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\dfrac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6}{6}$$
Or, $(n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$, par conséquent :
$$ \sum\limits_{k=0}^{n+1} k^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$$
la propriété est donc héréditaire, et donc on a montré par récurrence que $$\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\qquad \forall n\in\N$$
\end{itemize}}
\Exop{Considérons la suite $(u_n)$, définie pour tout $n\in\N$, par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\u_1=2\\ u_{n+2}=5u_{n+1} -6u_n  \end{array} \right.$$
Démontrer que pour tout $n\in\N$ : $$ u_n=2^n$$
}

\Sol{Notons $ \mathscr P(n):u_n=2^n$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_0=2^0=1$, par conséquent $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(i)$ soit vraie $\forall i\leq n$, montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie i.e montrons que $u_{n+1}=2^{n+1}$\\
On a : $ u_{n+1}=5u_{n} -6u_{n-1}=5\times 2^n-6\times 2^{n-1}=10\times 2^{n-1}-6\times 2^{n-1}=4\times 2^{n-1}=2^{n+1} $
\end{itemize}
On en conclut donc, par récurrence, que $u_n=2^n$, $\forall n\in\N$}
\Exop{Démontrer que, pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $f_n$, définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$, est dérivable sur $\R$, avec $f'_n(x)=nx^{n-1}$}

\Sol{Notons $\mathscr P(n):f_n$ est dérivable
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $f_2(x)=x^2$, on a :
$$ \dfrac{f_2(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=2x+h$$
qui tend vers $2x$ lorsque $h$ tend vers $0$, par conséquent $\mathscr P(2)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(i)$ soit vraie $\forall i\geq n$, montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie i.e montrons que $f_{n+1}$ est une fonction dérivable.
\\
Notons que $f_{n+1}(x)=x^{n+1}=x^n\times x=f_n\times f_1$, or le produit de deux fonctions dérivables est une fonction dérivable, par conséquent $f_{n+1}$ est dérivable et sa dérivée vaut :
$$ f'_{n+1}(x)=f'_n(x)f_1(x)+f_n(x)f'_1(x)=nx^{n-1}x+x^{n-1}x=nx^n+x^n=(n+1)x^n$$
CQFD
\end{itemize}}
\Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2} }$$
Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geq 1$ on a $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ }

\Sol{\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_1=\sqrt{\dfrac{1}{2} }=\dfrac{1}{ \sqrt{2} }$, donc : 
$$ \dfrac{1}{ \sqrt{2} }\leq u_1 \leq 1$$
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que, pour un entier $n\geq 1$ on ait $$ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$$
Montrons que $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_{n+1}\leq 1$, pour cela considérons la fonction $f$ définie sur $I=[0;+\infty[$ par $$ f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2} }$$
On a $ u_{n+1}=f(u_n)$, de plus la fonction $f$ est dérivable sur $I$ et $$ f'(x)= \dfrac{\frac{1}{2} }{2 \sqrt{\dfrac{1+x}{2} } }=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{2}{1+x} }>0$$
Par conséquent $f$ est une fonction strictement croissante sur $I$. On en déduit alors :
$$ \dfrac{1}{ \sqrt{2} }\leq u_1 \leq 1 \Longrightarrow f\left(\dfrac{1}{ \sqrt{2} }\right)\leq u_{n+1} \leq f(1)$$
Or, $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)>\dfrac{1}{\sqrt{2} }$ et $f(1)=1$, donc $$  \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_{n+1}\leq 1$$
Ainsi, pour tout $n\geq 1$,  $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ 
\end{itemize}}

\textbf{Autres exemples :}
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que : $$ 1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$
\item Démontrer par récurrence ue : $$2^n\geq n$$
\item \begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_1=1^3$, $u_2=1^3+2^3$, $u_3=1^3+2^3+3^3$, $\dots$, $u_{10}=1^3+2^3+\dots+10^3$. Voyez-vous une formule apparaître ? 
\item Essayer de démontrer la formule obtenue par récurrence. 
\end{enumerate}
\item On note    $1\times 2 \times3\times \dots\times n(-1) \times n=n !$ (et on lit « factorielle » n). \\
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$ on a :
$$
n! \geq 2^{n-1}$$
\end{enumerate}

\subsection{Démonstration mathématique du principe de raisonnement par récurrence \textit{(Hors Programme)}}
\Thc{Soit $\mathscr P$ une propriété définie sur $\N$. Si :
\begin{itemize}
\item $\mathscr P(0)$ est vraie \hfill (Initialisation)
\item $\forall n\in\N$, on a $\mathscr P(n)$ vraie $\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$ vraie \hfill (Hérédité)
\end{itemize}
Alors $\mathscr P(n)$ est vraie $\forall n\in\N$}


\Dem{Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $n\in\N$ tel que $\mathscr P(n)$ soit fausse et considérons l'ensemble suivant :
$$ E=\{n\in\N \text{ tels que } \mathscr P(n) \text{ soit fausse }\}$$
$E$ est donc un ensemble non vide et minorée par $0$, par conséquent il admet un plus petit élément $m\geq 0$ ; on a donc $\mathscr P(m)$ fausse et$\mathscr P(n)$ vraie $\forall n \text{tel que} 0\leq n \leq m$. Dans ce cas :
\begin{itemize}
\item Si $m=0$, alors on a $\mathscr P(0)$ fausse ce qui contredit la première hypothèse du théorème.
\item Si $m>0$, alors on a $\mathscr P(m-1)$ vraie et $\mathscr P(m)$ fausse, ce qui contredit la deuxième hypothèse du théorème.
\end{itemize}
Donc $E$ est vide, autrement dit $\mathscr P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$}

\Rq{La démonstration est analogue pour une propriété définie sur un intervalle du type \textlbrackdbl $ n_0,+\infty  [$}


\pagebreak
\section{Approfondissement des notions vues en première}
\subsection{Définition d’une suite}
\Defc{Une suite numérique est une fonction de $\N$ dans $\R$, définie à partir d'un certain rang $n_0$. On la note $u$ ou $(u_n)$.}



\Rqs{
\item $u_n$ désigne l'image de l'entier $n$, appelé encore terme d'indice $n$ de la suite $u$, terme que l'on pourrait noté $u(n)$ mais la pratique en a voulu autrement. De plus $(u_n)$ désigne l'objet mathématique suite (parfois noté $u$).\\
Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain rang $n$, comme par exemple la suite suivante :
$$ u_n=\sqrt{n-2}$$
qui est définie sur \textlbrackdbl $ 2,+\infty  [$.\\
Il y a de multiples façons de définir les suites, nous en rencontrons principalement deux. Celle qui sont définies par une \og relation de récurrence \fg et par la donnée de termes initiaux comme par exemple la suite de fibonacci :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\u_1=1\\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n \end{array} \right.$$
Et celles qui sont définies explicitement \og en fonction de $n$ \fg comme celle définie ci-dessus. Les stratégies pour étudier ces différentes suites dépendront de leur type, technique fonctionnelle pour les suites du type $u_n=f(n)$ et technique de récurrence pour les autres. 
 \item Il est équivalent de dire $u_{n+1}=2u_n+3$ et $u_n=2u_{n-1}+3$.\\
 }

\subsection{Sens de variation d’une suite}
\subsubsection{Définition}
\Defc{Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels. On dit que la suite $(u_n)$ est 
\begin{itemize}
\item \underline{croissante} (à partir du rang $n_0$) si et seulement $u_n\leq u_{n+1}$, $\forall n\geq n_0$ où $n\in \N$
\item \underline{décroissante} (à partir du rang $n_0$) si et seulement $u_n\geq u_{n+1}$, $\forall n\geq n_0$ où $n\in \N$
\item \underline{monotone} (à partir du rang $n_0$) si et seulement elle est croissante ou décroissante (à partir du rang $n_0$)
\item \underline{stationnaire} (à partir du rang $n_0$) si et seulement si $u_n=u_{n+1}$ pour tout entier $n\geq n_0$ 
(si la suite est définie à partir du rang $n_0$ alors on dit que la suite est \underline{constante})
\end{itemize} 
}

\Rq{On définit la stricte croissance ou décroissance à l'aide des inégalités strictes suivantes : $$u_n<u_{n+1} \text{ ou } u_n>u_{n+1}$$}

\Rq{\begin{itemize}
\item Une suite stationnaire est constante si et seulement si $u_n=u_{n+1}$ $\forall n$. Il existe donc des suites stationnaires non constante, par exemple :
$$ u_n=\text{Partie Entière de }\dfrac{1}{n}$$
\item  Il existe des suites non monotone, par exemple $$ u_n=(-1)^n$$
\end{itemize}}
\subsubsection{Etude de la monotonie d'une suite}

\paragraph{Technique fonctionnelle}
\Thc{On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur l' intervalle $[a;+\infty[$, où $a\geq 0$\newline
Si la fonction $f$ est monotone (resp. strictement monotone) sur $[a;+\infty[$ alors la suite $(u_n)$ est monotone (resp. strictement monotone) et possède le même sens de variation que la fonction $f$}

\Rq{La réciproque de ce théorème est fausse i.e que l'on peut trouver une suite croissante, par exemple, définie par une fonction non croissante, comme le montre l'exemple où $f(x)=x+\sin(\pi x)$ et $u_n=f(n)=n$. \\
\textit{Les tracer sur la calculatrice.}
}

\Cexpl{Soit $u(_n)$ une suite telle que $u_{n+1}=f(u_n)$. La monotonie de $f$ n'entraîne pas celle de $u$, 
comme le montre l'exemple où $u_{n+1}=\sqrt{u_n + 2}$. \\
\textit{Les tracer sur papier, en choisissant deux valeurs possibles pour $u_0$.}
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\cos \dfrac{\pi}{n}$ pour $n\geq 1$\newline
Notons $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty[$ par $ \qquad \qquad  f(x)=\cos \dfrac{\pi}{x}$\newline
On a en dérivant : $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  f'(x)=\dfrac{\pi}{x^2}\sin \dfrac{\pi}{x}$\newline
Or, pour $x\geq 1$, $ \dfrac{\pi}{x}\in]0;\pi]$ donc $\sin \dfrac{\pi}{x}\geq 0\Longleftrightarrow f'(x)\geq 0$, donc la fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$, par conséquent la suite $(u_n)$ est croissante.}

\Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie par $$ u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+5}$$
Montrer que $(u_n)$ est une suite strictement croissante sur $\N$}



\Dem{\begin{enumerate}
\item \underline{Cas 1} : $f$ est strictement croissante sur $[a;+\infty[$\newline
Pour tout entier $n\geq a$, $f$ étant strictement croissante sur $[a;+\infty[$, $$f(n)<f(n+1)\Longleftrightarrow u_n<u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.
\item \underline{Cas 2} : $f$ est strictement décroissante sur $[a;+\infty[$\newline
Pour tout entier $n\geq a$, $f$ étant strictement décroissante sur $[a;+\infty[$, $$f(n)>f(n+1)\Longleftrightarrow u_n>u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}}


\newpage
\paragraph{Technique algébrique}
\Cadre[Méthodes :]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] \textbf{On \'etudie g\'en\'eralement le signe de $u_{n+1}-u_n$ selon les valeurs de $n$:}
\newline
Par exemple, si la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est d\'efinie par $u_n=n^2+2$, alors on a
$$u_{n+1}=(n+1)^2+2=n^2+2n+3$$
Ainsi pour tout $n$ on a $u_{n+1}-u_n=2n+1$\newline
On voit que $u_{n+1}-u_n > 0$, et donc que $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$: la suite est donc strictement croissante sur $\N$
\item[$\blacktriangleright$] \textbf{Si jamais tous les termes de la suite $u$ sont \underline{strictement positifs} ou \underline{strictement négatifs} , on peut comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1:}\newline
Par exemple, pour $(u_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $u_n=2\times5^n$ , on a $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et $$u_{n+1}=2\times 5^{n+1}$$
Ainsi pour tout $n$ on a $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\cfrac{5^{n+1}}{5^{n} }=5$$
On voit que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}> 1$, et donc que $u_{n+1}>u_n$ pour tout $n$: la suite est donc strictement croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$  
\end{itemize}}

\Expl{On considère la suite $u$ définie par $u_n=2n+\sin n$\newline
Étudions, pour tout entier $n$, le signe de la différence de deux termes consécutifs : 
$$ u_{n+1}-u_n=2(n+1)+\sin (n+1)-2n-\sin n=2+\sin (n+1) - \sin n$$
Or, $\forall x\in \R$ on a : $-1\leq \sin x \leq 1$, par conséquent :
$$ 2+\sin (n+1)-\sin n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$$
La suite $u$ est donc strictement croissante.
}

\Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{n^2} $$
Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante sur $\N$}
\paragraph{Par récurrence}
\Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=16 \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n} \end{array} \right.$$
Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
}

\Sol{Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $u_{n+1}<u_n$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_0=16$ et $u_1=4$, par conséquent $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie et montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie\\
On a donc : 
\begin{eqnarray*}
& 0\leq u_{n+1}< u_n & \text{ puisque $\mathscr P(n)$ est vraie}\\
\Longleftrightarrow & 0 \leq \sqrt{u_{n+1}}< \sqrt{u_n} & \text{ puisque $x\longmapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $\R^+$ }\\
\Longleftrightarrow & 0 \leq u_{n+2} < u_{n+1}\\
\Longleftrightarrow & \mathscr P(n+1) \text{ est vraie }
\end{eqnarray*}
On vient de démontrer par récurrence que $u_{n+1}<u_n$, $\forall n\in\N$, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{itemize}}
\subsection{Suites arithmétiques et suites géométriques}

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Defc{Une suite $u$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est \textbf{arithm\'etique} si et seulement si, pour tout entier $n$, on a \boite{u_{n+1}=u_{n}+r}}

\Expl{L\'ea d\'epose $100\euro$ sur son compte. Tous les ans il ajoute $10\euro$ . Si on note $u_n$ l'argent disponible sur le compte de L\'ea au bout de la $n^{\text{i\`eme}}$ ann\'ee. On a : 
 \begin{center}
  $\left\{ \begin{array}{l} u_0=100 \\ u_{n+1}=u_n+10 \end{array} \right.$\\ 
 \end{center}
 $u$ est donc une suite arithm\'etique de raison 10 et de premier terme 100.}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\Defc{Une suite $u$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est \textbf{g\'eom\'etrique} si et seulement si, pour tout entier $n$, on a \boite{u_{n+1}=u_{n}\times q}} 

\Expl{Max d\'epose $100\euro$ sur son compte. Tous les ans il gagne $3\%$ de plus. Si on note $v_n$ l'argent disponible sur le compte de L\'ea au bout de la $n^{i\`eme}$ ann\'ee, on a : 
\begin{center}
 $\left\{ \begin{array}{l} v_0=100 \\ v_{n+1}=v_n\times1,03 \end{array} \right.$\\
\end{center}
 $v$ est donc une suite g\'eom\'etrique de raison 1,03 et de premier terme 100.}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Ptec{
\begin{itemize}
 \item \textbf{Relation entre $u_n$ et $u_{0}$:}
Pour tout $n$, on a \begin{center}\boite{u_{n}=u_{0}+nr}\end{center}
\item \textbf{Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$:}
Pour tous $n$, on a \begin{center}\boite{u_{n}=u_{p}+(n-p)r}\end{center}
\end{itemize}
}
\vspace{5mm}

\Expl{Au bout de 20 ans, L\'ea dispose de $300\euro$ sur son compte. En effet $u_n=100+10n$ et donc : 
$
 u_{20}=100+10\times20=300$
}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\Ptec{
\begin{itemize}
 \item \textbf{Relation entre $u_n$ et $u_{0}$:}
Pour tout $n$, on a \begin{center}\boite{u_{n}=u_{0}\times q^{n}}\end{center}
\item \textbf{Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$:}
Pour tous $n$, on a \begin{center}\boite{u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}}\end{center}
\end{itemize}
}
\vspace{5mm}

\Expl{Au bout de 20 ans, Max dispose de $180,61\euro$ sur son compte. En effet $v_n=100\times1,03^n$ et donc : 
$
 v_{20}=100\times1,03^{20}=180,61$
}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{
La somme S de $n$ termes cons\'ecutifs d'une suite arithm\'etique de premier terme $p$ et de dernier terme $d$ est :
\begin{center}
\boite{
 S=n\times \dfrac{p+d}{2}
}
\end{center}
}


\Expl{\[
       u_{10}+u_{11}+...+u_{20}=11 \times \dfrac{u_{10}+u_{20}}{2}=2200
      \]

}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8.5cm}
\Thc{
La somme S de $n$ termes cons\'ecutifs d'une suite g\'eom\'etrique de raison $q$ et de premier terme $p$ est :
\begin{center}
\boite{
 S=p\times \dfrac{1-q^n}{1-q}
}
\end{center}
}


\Expl{\[
       v_{1}+v_2+...+v_{20}=v_{1} \times \dfrac{1-1,03^{20}}{1-1,03}=2767,65
      \]

}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{On considère une suite $(u_n)$ arithmétique de raison $r$.
\begin{enumerate}
\item Si $r>0$ alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante ;
\item Si $r=0$ alors la suite $(u_n)$ est constante ;
\item Si $r<0$ alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}}




\Expl{\[
      r=10>0 \Longleftrightarrow \text{ la suite $(u_n)$ est croissante}
      \]
}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n=q^n$ (avec $q>0$) alors :
\begin{itemize}
\item Si $q \in [0;1[$ la suite $(u_n)$ est convergente vers $0$
\item Si $q=1$ alors la suite $(u_n)$ est constante  $1$
\item Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est divergente.
\end{itemize}}




\Expl{\[
       q=1,03>1 \Longleftrightarrow \text{ la suite $(v_n)$ est divergente}
      \]

}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\Applic{Un étudiant loue une chambre pour $3$ ans. On lui propose deux types de bail.\footnote{Un bail est un contrat de location}\newline
\underline{1$^{er}$ contrat :}\newline
\indent Un loyer de $200 \euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $5 \euro$ par mois jusqu'à la fin du bail.\newline
\underline{2$^{ème}$ contrat :}\newline
\indent Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois juqu'à la fin du bail.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois (i.e du $36^{ème}$ mois).
\item Quel est le contrat globablement le plus avantageux pour un bail de $3$ ans ? 
\end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $u_1=200$ tel que $u_{n+1}=u_n+5$ et la suite $(v_n)$ géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $v_0=200$ tel que $v_{n+1}=1,02\times v_n$\\
Pour le premier contrat le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois sont donnés par $u_2$ puis $u_3$ :
$$ u_2=u_1+5=200+5=205\euro\qquad \qquad u_3=u_2+5=205+5=210\euro$$
Pour le deuxième contrat le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois sont donnés par $v_2$ puis $v_3$ :
$$ v_2=v_1\times 1,02=200\times 1,02=204\euro\qquad \qquad v_3=v_2\times 1,02=204\times 1,02=208,08\euro$$
\item Le loyer du dernier mois est donnée par $u_{36}$ pour le premier contrat et $v_{36}$ pour le deuxième contrat :
$$ u_{36}=u_1+(36-1)\times 5=200+35\times 5=375\euro \qquad \qquad v_{36}=v_1\times 1,02^{35}=200\times 1,02^{35}\simeq 400 \euro$$
\item Pour cela il faut calculer la somme des 36 premiers loyers i.e il faut calculer $S_1$ et $S_2$ où :
$$ S_1=u_1+u_2+\dots+u_{36}=\dfrac{36\times (200+375)}{2}=18\times 575=10350 \euro$$
Et $$S_2=v_1+v_2+\dots +v_{36}=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02} \simeq 10398 \euro$$
Au final le premier contrat semble plus avantageux et permettrait de réaliser une économie d'environ $40\euro$
\end{enumerate}}



\section{Comportement asymptotique d’une suite}
\subsection{Suite convergente}
\Defc{On dit qu'une suite \underline{admet une limite $\ell$} (ou \underline{converge vers $\ell$}) lorsque :\newline
Tout intervalle ouvert centré en $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang }


\Rq{On utilise en général un intervalle centré en $\ell$.}

\Expls{
La suite $\left( \dfrac{1}{n}-2\right)_{n\in\N}$ converge vers $-2$.\\
La suite $\left(\dfrac{3n^2-4}{-2n^2+5}\right)_{n\in\N} $ est convergente et admet pour limite $-\dfrac{3}{2}$.\\
La suite $(u_n)_{n\in\N}$ de terme général $u_n=(-1)^n$ est divergente car elle n'admet pas de limite.
}

\Rqs{
\item Une suite divergente admet $\pm\infty$ comme limite ou n'admet pas de limite
\item Graphiquement, la notion de limite se traduit ainsi : \newline
Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang (ou un indice) à partir duquel 
tous les points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande. 
\item De manière plus formelle : Pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un rang $N$ tel que pour tout indice $n$, on ait : 
$$n \geq N\Longrightarrow \mid u_n-\ell\mid \leq \varepsilon$$ 
}


\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,1.1)(26.1,2.3)
\def\xmin{-1} \def\xmax{26} \def\ymin{1.1} \def\ymax{2.2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,1.1)(26.1,2.3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{26}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{26}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{26}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psplot{0}{26}{\G}
\psplot{26}{0}{\H}
}
\psdot(1,1)
\psdot(2,1.75)
\psdot(3,1.33)
\psdot(4,1.625)
\psdot(5,1.4)
\psdot(6,1.58)
\psdot(7,1.42)
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\psdot(26,1.519)
\uput[ur](-0.7,1.48){$l$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.2){de la suite sont dans la bande hachurée dépaisseur choisie}
 \uput[ur](0,2){Illustration avec la suite :}
\uput[ur](15,1.9){$u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=\ymin]{-}(0,\ymin)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{
\begin{enumerate}
\item Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $ \dfrac{3}{2}$
\item Notons, par ailleurs, que toutes les suites ne sont pas convergentes, par exemple $u_n=n$ ne converge pas car sa limite vaut $+\infty$ ou encore $u_n=(-1)^n$ est une suite qui n'admet pas de limite (valant tantôt $1$, tantôt $-1$).
\end{enumerate} }

\Thc{Si une suite $(u_n)$ converge alors sa limite $\ell$ est unique}

\Dem{Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite $(u_n)$ admet deux limites $\ell_1$ et $\ell_2$ telles que $\ell_1<\ell_2$. 
\\Notons $d=\ell_2-\ell_1$
Par définition, l'intervalle ouvert $I_1$ de centre $\ell_1$ et de rayon $ \dfrac{d}{2}$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, de même l'intervalle ouvert $I_2$ de centre $\ell_2$ et de rayon $ \dfrac{d}{2}$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, par conséquent $I_1\cap I_2$ est un intervalle contenant tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. \\
Or, $I_1\cap I_2=\emptyset$, ce qui est absurde\\
Par conséquent la suite $(u_n)$ ne peut admettre qu'une limite.}
\newpage
\subsection{Suite divergente}

\subsubsection{Définition}
\Defc{On dit qu'une suite qui ne converge pas est divergente. Une suite divergente admet $\pm\infty$ comme limite ou n'admet pas de limite}

\Expl{Voici quelques suites divergentes :
\begin{itemize}
\item $u_n=n$
\item $u_n=n^3-n^2+n-1$
\item $u_n=(-1)^n$
\end{itemize}}

\subsubsection{Cas des suites qui divergent vers $\pm\infty$}
\Defc{On dit qu'une suite diverge vers $+\infty$ lorsque tout intervalle ouvert du type $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On définit de même la divergence vers $-\infty$ à l'aide d'intervalle du type $]-\infty;A[$}

\Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie par $$ u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$$
Montrer, par récurrence, que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$}

\Sol{Soit $k\in\N$. Comme la suite $(u_n)$ est croissante, on veut montrer qu'il existe $n_0\in\N$ tel que $u_{n_0}>k$, en effet dans ce cas l'intervalle ouvert $]k;+\infty[$ contiendra tous les termes de la suite à partir de $n_0$. 
\\
Notons $\mathscr P(k)$ la propriété suivante : Il existe $ n_0\in\N$ tel que $u_{n_0}>k$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie, en effet $u_1>0$
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(k)$ soit vraie, montrons que $\mathscr P(k+1)$ est vraie.
On remarque que $$u_{2n}=u_n+\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}\geq u_n+n\times \dfrac{1}{2n}=u_n+\dfrac{1}{2}$$
Puisque $\mathscr P(k)$ est vraie, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}>k$, par conséquent :
$$ u_{4n_0}\geq u_{2n_0}+\dfrac{1}{2}\geq u_{n_0}+1$$
Ainsi $\mathscr P(k+1)$ est vraie.
\end{itemize}
On vient de démontrer, par récurrence, que $(u_n)$ est une suite qui diverge vers $+\infty$
}

\Rq{La suite précédente est appelée \textbf{suite harmonique}. En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la suite de nombres obtenus est croissante, mais à croissance lente : on pourrait croire qu'il s'agit d'une suite convergente. \footnote{Elle fait partie de la famille plus large des séries de Riemann, qui sont utilisées comme séries de référence : la nature d'une série est souvent déterminée en la comparant à une série de Riemann et en utilisant les théorèmes de comparaison.} }
\subsection{Quelques limites de références}
\Ptec{Voici quelques limites à connaître absolument :\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} =0$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{3mm}}

\Dem[Hors Programme]{
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$. \\
Soit $A$ un réel positif. On veut montrer que tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$ à partir d'un certain rang $n_0$.\\
On a $ \sqrt{n}>A\Longleftrightarrow n>A^2$, donc :
$$ \text{pour n'importe quel entier $n_0$ vérifiant }n_0>A^2 \text{ on a }u_{n_0}=\sqrt{n_0}>A$$
Donc tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$ à partir de $n_0$.
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$
\\
Soit $A$ un réel positif. On veut montrer que tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$ à partir d'un certain rang $n_0$.\\
On a $n^2>A \Longleftrightarrow n>\sqrt{A}$, donc : 
$$ \text{pour n'importe quel entier $n_0$ vérifiant }n_0>\sqrt{A} \text{ on a }u_{n_0}={n_0}^2>A$$
Donc tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$ à partir de $n_0$.
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} =0$\\
Soit $\epsilon$ un réel positif. On veut montrer que tous les termes de la suite appartiennent à $I=]-\epsilon;+\epsilon[$ à partir d'un certain rang $n_0$.\\
Dans un premier, on remarque que $ \dfrac{1}{n}>0$ pour tout entier $n$, on cherche donc à déterminer à partir de quel entier $n$ on a :
$$ \dfrac{1}{n}<\epsilon\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\epsilon}<n$$
Par conséquent :
$$ \text{pour n'importe quel entier $n_0$ vérifiant }n_0>\dfrac{1}{\epsilon} \text{ on a }u_{n_0}\in]-\epsilon;+\epsilon[$$
donc tous les termes de la suite $(u_n)$ appartiennent à $I$ à partir de $n_0$.
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$\\
Soit $\epsilon$ un réel positif. On veut montrer que tous les termes de la suite appartiennent à $I=]-\epsilon;+\epsilon[$ à partir d'un certain rang $n_0$.\\
Dans un premier, on remarque que $ \dfrac{1}{n^2}>0$ pour tout entier $n$, on cherche donc à déterminer à partir de quel entier $n$ on a :
$$ \dfrac{1}{n^2}<\epsilon\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\epsilon}<n^2\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon} }<n$$
Par conséquent :
$$ \text{pour n'importe quel entier $n_0$ vérifiant }n_0>\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon} } \text{ on a }u_{n_0}\in]-\epsilon;+\epsilon[$$
donc tous les termes de la suite $(u_n)$ appartiennent à $I$ à partir de $n_0$.
\end{enumerate}}
 
 \Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie par :
 $$ u_n=\dfrac{n^2-3n+4}{4n^2-1}$$
 Déterminer la limite de la suite $(u_n)$}
 
 \Thc{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ du type $[a;+\infty[$ où $a\in\R^+$ et $(u_n)$ une suite définie par $u_n=f(n)$. 
 \begin{enumerate}
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell$
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ alors $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ alors $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty$ 
\end{enumerate}}


\Rqs{
\item Par conséquent, on récupère toutes les règles de calculs sur les limites. De plus les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes sont valables pour les suites. 
\item Notons que la réciproque du résultat précédent est fausse, par exemple la suite $u_n=\cos(2\pi n)$ est constante et égale à $1$ donc admet bien une limite tandis que la fonction $x\longmapsto \cos(2\pi x)$ n'a pas de limite en $+\infty$.
\item Rappelons les deux résultats importants :
\begin{itemize}
 \item[$\ast$] La limite en l'infini d'une expression polynômiale est la limite du terme de plus haut degré.
\item[$\ast$]  La limite en l'infini d'une expression rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré.
\end{itemize}
}
\subsection{Règles opératoires sur les limites}

\subsubsection{Opérations sur les limites}
Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites.
Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites.

\textbf{Cas d'une somme : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (a_n+b_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
         \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
   $a\in\R$ & $a+b$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $-\infty$ & ? & $-\infty$ \tabularnewline \hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}
  
\textbf{Cas d'un produit : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (a_n b_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
      \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
      $a\neq 0$ & $a\times b$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $\pm\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
\indent Si $a=0$ et si $b\in \R$ alors le produit $a_n b_n$ tend vers $0$. \\
  
\textbf{Cas d'un quotient : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{b_n}{a_n}$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
         \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
      $a\neq 0$ & $\dfrac{b}{a}$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $0$ & ? & ? \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $0$ & ? & ? \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
\indent Si $a=0$ et si $b \neq 0$ alors le quotient $ \dfrac{b_n}{a_n} $ tend vers $\pm \infty$.\\

\Rq{Il faut être conscient que tous les résultats de ces tableaux se démontrent (et certains ne sont pas évidents), 
nous ne présenterons ici aucune démonstration et nous admettrons tous ces résultats.}

  \subsubsection{Les formes indéterminées}
    
  \Cadre{\begin{center}LES 4 FORMES IND\'ETERMIN\'EES \`A CONNA\^ITRE\end{center}
  $$  \text{\og }0\times \infty \text{\fg }\qquad \text{\og }\dfrac{0}{0} \text{\fg }\qquad  \text{\og }\dfrac{\infty}{\infty}\text{\fg } \qquad \text{\og } \infty -\infty \text{\fg }$$
 \begin{center} \begin{scriptsize}Attention, on ne dira pas \og z\'ero sur z\'ero est une forme ind\'etermin\'ee \fg mais plut\^ot \og le quotient de deux fonctions tendant vers $0$ est une forme ind\'etermin\'ee \fg \end{scriptsize}\end{center}
}
\subsubsection{Applications}
\Exop{Déterminer la limite des suites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ u_n=\dfrac{1}{n^2}+3n-4$
\item $u_n=\dfrac{3n+1}{n}+\dfrac{5}{n^2}$ 
\item $ u_n= \dfrac{-3}{2n^2+3} $
\item $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\subsection{Théorèmes de comparaison et d’encadrement}
\subsubsection{Comparaison}
\Thc{
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que : $$\forall n\in\N,\quad u_n\leq v_n$$
\begin{itemize}
\item Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ alors $(v_n)$ aussi.
\item  Si $(v_n)$ diverge vers $-\infty$ alors $(u_n)$ aussi.
\end{itemize}}

\Dem{Considérons $A$ un réel. Supposons que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ : dans ce cas, à partir d'un certain rang $N$ tous les termes de la suite $(u_n)$ vérifient : $ u_n>A$, par conséquent on aussi à partir du rang $N$, $v_n>A$, ce qui prouve que $(v_n)$ diverge vers $+\infty$. \\
La deuxième démonstration est analogue.}

\Exop{Etudier la limite de la suite $(u_n)$ où $$ u_n=2\cos n+3\times (-1)^n-3n$$
}

\Exop{Etudier la limite de la suite $(u_n)$ où $$ u_n=n^4(\cos n-2)$$}
\Exop{
\begin{enumerate}
\item Etudier la limite de la suite $(u_n)$ où $$ u_n=(-1)^n+n$$
\item Que penser de l'affirmation suivante :\\
\og toute suite divergente vers $+\infty$ est nécessairement croissante.\fg
\end{enumerate}}

\subsubsection{Th\'eor\`eme des gendarmes}
\Thc{Soit $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que :
\begin{enumerate}
\item à partir d'un certain rang $u_n\leq v_n\leq w_n $
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\lim\limits_{n \to +\infty}w_n=l$
\end{enumerate}
Alors on a $ \lim\limits_{n \to +\infty}v_n=l$}

\Dem{Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $l$
Notons $n_0$ le rang à partir duquel on a $u_n\leq v_n\leq w_n $\\
$n_1$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont contenus dans $I$ et $n_2$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite $(w_n)$ à partir duquel tous les termes de la suite $(w_n)$ sont contenus dans $I$. \\
Notons $N=max(n_0;n_1;n_2)$, alors on a :
\begin{itemize}
\item à partir du rang $N$, $u_n\leq v_n\leq w_n $
\item en vertu du point précédent, tous les termes de la suite $v_n$ sont contenus dans $I$ à partir du rang $N$, ce qui prouve que la suite $(v_n)$ converge vers $l$
\end{itemize}}

\Exop{Déterminer la limite des suites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ v_n=\dfrac{3n+2\times(-1)^n}{2n}$
\item $v_n=\dfrac{\sqrt{n^2+1} }{n}$\footnote{On montrera que $n<\sqrt{n^2+1}<n+1$ }
\end{enumerate}
\end{multicols}
}
\subsubsection{Passage à la limite dans une inégalité}
\Thc[admis]{Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes telles que pour tout entier $n$ : $u_n\leq v_n$ (resp $u_n<v_n$)
alors dans ces deux cas on a : $$ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n\leq \lim\limits_{n \to +\infty}v_n$$}
\newpage

\subsection{Suite majorée, minorée, bornée}
\subsubsection{Définition}
\Defc{On considère une suite $(u_n)$. 
\begin{itemize}
\item On dit que $(u_n)$ est majorée s'il existe $M\in\R$ tel que $u_n<M, \quad \forall n\in\N$
\item On dit que $(u_n)$ est minorée s'il existe $m\in\R$ tel que $u_n>m, \quad \forall n\in\N$
\item On dit que $(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée i.e s'il existe $m\in\R$ et $M\in\R$ tel que $$ m<u_n<M, \quad \forall n\in\N$$ 
\end{itemize}}

\Rq{$(u_n)$ est bornée si et seulement si il existe $M\in\R$ tel que $\mid u_n\mid<M$. \\
En effet si tel est le cas alors on a : $-M<u_n<M$. \\
Réciproquement si $(u_n)$ est bornée alors il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $a<u_n<b$. \\
Choisissons $M=max(\mid a\mid; \mid b \mid)$, dans ce cas on a $-M\leq a$ et $b\leq M$, et donc : $$\mid u_n\mid<M$$}
\subsubsection{Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?}
\paragraph{Technique algébrique}
\Expl{Soit la suite $(u_n)$ définie par $ u_n=\dfrac{(-1)^n+\sin n}{n^2}$. Montrons que $(u_n)$ est bornée.
\begin{eqnarray*}
& -1-1\leq (-1)^n+\sin n\leq 1+1 & \text{en effet $-1\leq (-1)^n\leq 1$ et $ -1\leq \sin n\leq 1$}\\
\Longleftrightarrow & -2\leq (-1)^n+\sin n \leq 2 \quad \text{et}\quad 0\leq \dfrac{1}{n^2}\leq 1 \\
\Longleftrightarrow & -2\leq u_n \leq 2
\end{eqnarray*}}
\Exop{On considère la suite $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.
\item Montrer que $$ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$$
\item Montrer que $$\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$$.
\item En déduire que $u_n$ est majorée.
\end{enumerate} }
\newpage
\paragraph{Technique fonctionnelle}
\Exop{On considère la suite définie par : $$ u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+5}$$
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+5}$. Etudier les variations de $f$ sur $\R^+$
\item Dresser le tableau de variation de $f$
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée.
\end{enumerate}}
\paragraph{Par récurrence}
\Exop{Soit la suite $(u_n)$ définie par : $$ $$
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{array} \right.$$
Montrer, par récurrence, que cette suite est bornée.}

\Sol{Compte tenu de la définition de la suite (et de la présence du signe radical), on peut minorée la suite par $0$, mais par quoi la majorée ??
Le calcul des premiers termes, donne ici une indication :
$$ u_1\simeq 2,45\qquad u_2\simeq 2,91\qquad u_3\simeq 2,98$$
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété : \boite{0\leq u_n\leq 3}
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie de manière évidente puisque $u_0=0$
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ est vraie, et montrons que $\mathscr P(n+1)$ l'est aussi.\\
Dans ce cas on a : $\qquad \qquad \qquad  0\leq u_n \leq 3$\\
Par conséquent : $ \qquad \qquad \qquad 6\leq 6+u_n\leq 9$\\
Et par passage à la racine : $\qquad \qquad \sqrt{6}\leq \sqrt{6+u_n}\leq 3$ \\
Au final : $ \qquad \qquad \qquad \sqrt{6}\leq u_{n+1}\leq 3\Longrightarrow 0\leq u_{n+1}\leq 3$\\
Par conséquent $\mathscr P(n+1)$ est vraie, et on vient de montrer, par récurrence, que $\forall n\in\N$ on a : $$ 0\leq u_{n+1}\leq 3$$
i.e que $(u_n)$ est une suite bornée.
\end{itemize}}
\subsubsection{Théorème des suites monotones bornées et théorème des suites convergentes}

\Thc{Si $(u_n)$ est une suite convergente alors $(u_n)$ est bornée.}

\Dem{Notons $l$ la limite de la suite $(u_n)$, alors tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle $]l-1;l+1[$ à partir d'un certain rang i.e qu'à partir d'un rang que nous noterons $N$ on a : $$ l-1< u_n<l+1$$
Notons $m=min(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{N-1};l-1)$ et $M=max(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{N-1};l-1)$, alors on a :
$$ \forall n\in\N \qquad m\leq u_n\leq M$$
ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est bornée.}


\Thc[Admis]{Toute suite croissante et majorée de réels converge.\\
Toute suite décroissante et minorée de réels converge.}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $$ u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$$ Montrer que $u_n$ est convergente. \footnote{Sa limite, difficile à déterminer vaut $ \dfrac{\pi^2}{6} $ }
\item On considère la suite $$ u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k!}$$ 
Le but de cette question est de montrer que $u_n$ est convergente. \footnote{Sa limite est un nombre irrationnel, noté $e$ que nous définirons plus tard dans l'année.}
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence la propriété $\mathscr P(n) : n!\geq 2^{n-1}$, $\forall n\in \N^*$
\item Montrer que $$ \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^{k-1}}=\sum_{k=0}^{n-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\leq 2$$
\item Montrer que $$ \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\leq 3 $$
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\subsection{Suites adjacentes}
\subsubsection{Définition}
\Defc{Lorsque : 
$$\left\{ \begin{array}{l} (u_n) \text{ est croissante} \\ (v_n) \text{ est décroissante}  \\ (v_n-u_n) \text{ converge vers $0$} \end{array} \right.$$
on dit ques les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
}

\Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 1$ par : $$ u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$$
et la suite $(v_n)$ définie pour $n\geq 1$ par $v_n=u_n+\dfrac{1}{n}$\\
Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. }


\subsubsection{Théorème}

\Thc{Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes alors $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$.\\
De plus, $\forall n\in\N$ on a : $\qquad \qquad u_n\leq u_{n+1}\leq \ell\leq v_{n+1}\leq v_n$}

\Dem{On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ adjacentes, avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante.\\
Montrons tout d'abord que $u_n\leq v_n$, pour cela notons $w_n=v_n-u_n$, on a : $$ w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)\leq 0$$
Par conséquent $(w_n)$ est une suite décroissante, on a donc pour tout $m>n$, $w_m\leq w_n$, et par passage à la limite lorsque $m\longrightarrow +\infty$ on obtient :
$$ 0\leq w_n\Longleftrightarrow u_n\leq v_n$$
Et aussi : $$ u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0$$
Comme $(u_n)$ est une suite croissante majorée, elle converge vers un certain réel $\ell$.\\
De même comme $(v_n)$ est une suite décroissante minorée, elle converge vers un certain réel $\ell'$\\
Enfin $\lim\limits_{n \to +\infty} (v_n-u_n)=\ell'-\ell=0$\\
Par unicité de la limite on obtient : $\ell=\ell'$}

\Exop{En considérant les deux suites de l'exercice précédent, déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de leur limite commune $\ell$ \footnote{On cherche à partir de quel entier $n$ on a $v_n-u_n\leq 10^{-1}$} }

\Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par : $$ u_n=\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}$$
et la suite $(v_n)$ définie pour $n\geq 1$ par $v_n=u_n+\dfrac{1}{n}$\\
Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de leur limite commune $\ell$}

\end{document}