\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Logarithme n\'ep\'erien}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%\debut
%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
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\debutdwicky{happy.eps}{Faites le mur}{Banksy}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Baxter Dury, figure de la scène underground anglaise et accessoirement fils de Ian Dury, nous rejoue l'entrée dans les années 80 à la sauce aigre-douce. Baxter Dury, c'est la coolitude absolue, le talent décontracté, la nonchalance au rang d'art. J'fais une carrière si j'veux, j'fais un album tous les 6 ans si j'veux, je chante mal si ça me chante bien. Quand certains hurlent à l'approximation, à l'arrogance, d'autres vantent une fraîcheur éternelle, une belle imperfection, une totale sincérité. L'esprit mélancolique punk-ska-rock 80 (Madness, Specials, Joy division...) ne lache pas le disque d'une rangers mais cette fois, Baxter a ouvert la fenêtre et laissé entrer la lumière. « Happy soup » est pop. Lui dit : « Psychédélisme de bord de mer ». La voix traînante et caverneuse du songwriter et celle en contrepoint de Madeleine Hart, les histoires autobiographiques, les claviers datés, les guitares teigneuses semblent se plaire dans ce nouveau monde, apprécier d'aller respirer l'air frais. Un son unique.
}{0.95}{0.92}
\setcounter{NumLecon}{8}
\TITRE{ln.eps}{0.6}

\begin{abstract}
Très utile, cette fonction permit aux mathématiciens de transformer les produits en somme, en simplifiant ainsi grandement les calculs, le logarithme népérien est l'ancêtre de la calculatrice et l'utilisation des règles à calcul était basée sur les propriétés de cette fonction...
\end{abstract}


 \section{Différentes définitions}


Comme souvent en mathématiques, un même objet  (ici le logarithme
népérien) peut être défini de différentes manières (nous en
verrons trois) mais nous aboutirons malgré tout aux mêmes
propriétés~: le procédé de fabrication change, mais le produit
fini est le même.


\subsection{Cherchons des fonctions vérifiant $f(a \times b)=f(a)+
f(b)$}

 Historiquement, le logarithme népérien a été pour la
première fois mis en évidence par l'\'Ecossais John
\textsc{Napier} (en franais Jean Néper..) au tout début du
$XVII^{e}$ siècle. Afin de faciliter la vie des astronomes,
navigateurs, financiers de l'époque qui étaient confrontés à des
calculs...astronomiques, John rechercha une fonction qui puisse
transformer des produits très compliqués à calculer en sommes plus
abordables. Il a donc été amené à résoudre une \textit{équation
fonctionnelle}, $i.e.$ il a recherché les fonctions $f$ vérifiant
$f(a\times b)=f(a)+f(b)$
Il a pu alors établir des Tables de logarithmes, complétées au fil
des ans par des mathématiciens. A partir de deux nombres $a$ et
$b$, on lit sur les Tables leurs logarithmes $\ln a$ et $\ln b$;
on calcule facilement $\ln a+ \ln b$ qui est égal à $\ln ab$, puis
on cherche sur les Tables le nombre qui admet pour logarithme $\ln
ab$ et qui est bien sûr $ab$.

\subsection{Existe-t-il des primitives de  $x\mapsto \frac{1}{x}$ ?}

Autre problème~: nous pouvons trouver, assez aisément, des primitives des fonctions qui
à $x$ associent respectivement $x^2$, $x^1$, $x^0$, $x^{-2}$,
$x^{-3}$, etc. Vous avez tout de suite remarqué que nous avons
oublié quelqu'un~: quelles peuvent être les primitives de la
fonction qui à $x$ associe $x^{-1}=1/x$~? Une rapide enquête
mathématique nous conduit à trouver qu'il s'agit en fait de
fonctions vérifiant l'équation fonctionnelle du copain John. Nous
le verifierons !, et c'était l'approche au
programme jusqu'en $2005$.

\subsection{Quelle est la réciproque de la fonction
exponentielle~?}

Cette  année, comme  d'habitude, nous  roulons pour  le  nucléaire. Nous
avons  déjà   défini  une  fonction   obéissant  à  la   \textsl{loi  de
décomposition radioactive}, à savoir  la fonction exponentielle. Mais de
nouveaux  problèmes  se posent  au  moment  de  construire de  nouvelles
centrales~:  dans  combien  de   milliards  d'années  les  habitants  de
Tchernobyl ne  risqueront plus d'attraper  un cancer de la  thyrode en
ingérant les légumes irradiés de  leurs potagers. Le Physicien est alors
amené à résoudre  une équation d'inconnue $y$ du  type $e^y=32$ Quel est
donc  ce  $y$  dont  l'exponentielle vaut  32~?  Fabrice  \textsc{Couenne},
célèbre physicien du  $XXI^e$ sicle, vous a déjà  donné la réponse~: on
l'appelle $\ln 32$.

\pagebreak
\section{Définition et premières propriétés}

\subsection{Définition}
Voici le tableau de variation de la fonction exponentielle :
\begin{center}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $e^x$/2, Variation\\ de $e^x$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $0$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$0$} {$1$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$e$}
\end{tikzpicture}

\end{center}

En appliquant le théorème de la bijection, l'équation $e^x=\lambda$ admet une unique solution dans $\R$ dès que $\lambda >0$.\\



\Defc{Si $\lambda \in\R^{+*}$ l'équation $e^x=\lambda$ admet une unique solution dans $\R$ que l'on appelle \underline{logarithme népérien de $\lambda$} et que l'on note $\ln \lambda$ }

\Rq{On a donc  :
$$\forall \lambda \in\R^{+*}, \qquad  e^x=\lambda \Longleftrightarrow x=\ln \lambda$$
En particulier :
$$ e^0=1\Longleftrightarrow \ln 1=0\qquad \text{et}\qquad e^1=e \Longleftrightarrow \ln e=1$$}

\Thc{La fonction logarithme népérien qui a $\lambda>0$ associe $\ln \lambda$ vérifie :
$$ e^{\ln \lambda}=\lambda\qquad \text{et}\qquad \ln(e^\alpha)=\alpha$$}
\Dem{On a donc, pour tout $\lambda>0$, pour tout $\alpha\in\R$ :
$$ e^{\ln \lambda}=\lambda\qquad \text{et}\qquad \ln(e^\alpha)=\alpha$$
En effet pour la première égalité, comme $\ln\lambda$ est solution de $e^x=\lambda$ on obtient littéralement $e^{\ln \lambda}=\lambda$\\
De plus le nombre $ \ln(e^\alpha)$ est solution de l'équation $e^x=e^\alpha \Longleftrightarrow x=\alpha$, par conséquent $\ln\left(e^\alpha\right)=\alpha  $ }

\Rq{La fonction logarithme népérien est donc définie sur $\R^{+*}$ et est à valeurs dans $\R$, on dit que c'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.}

\Exop{Résoudre les équations suivantes :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $e^{2x}=2$
\item $ e^{e^x}=3$
\item $\ln x= 4$
\item $\ln x^2=4$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\subsection{Sens de variation}


\Thc{La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ i.e 
$$ 0<\lambda <\mu \Longrightarrow \ln \lambda <\ln \mu $$}

\Dem{Il s'agit de démontrer que $$ 0<\lambda <\mu \Longrightarrow \ln \lambda <\ln \mu $$
On sait par définition que $\ln \lambda $ est l'unique solution de l'équation $e^x=\lambda$, et de même $\ln \mu$ est l'unique solution de l'équation $e^x=\mu$. On a alors :
\begin{eqnarray*}
& 0<\lambda<\mu \\
\Longleftrightarrow & 0 <e^{\ln\lambda}<e^{\ln \mu}\\
\Longleftrightarrow & \ln \lambda <\ln \mu \qquad \text{en effet on a }e^A<e^B\Longleftrightarrow A<B\\
\end{eqnarray*} 
Ainsi nous venons de démontrer que le logarithme népérien est une fonction strictement croissante sur $]0;+\infty[$.}

\Expl{Résolvons l'inéquation $(I)$ suivante :
$$ \ln (5-x)\leq \ln (3-2x)$$
\begin{itemize}
\item \textit{Domaine de validité} : Cette équation est définie pour tout $x$ vérifiant $5-x>0\Longleftrightarrow x<5$ et $3-2x>0\Longleftrightarrow x<\dfrac{3}{2}$.
\item \textit{Résolution} : Ainsi pour tout $x<\dfrac{3}{2}$ on a :
\begin{eqnarray*}
& \ln (5-x)\leq \ln (3-2x) \\
\Longleftrightarrow & 5-x\leq 3-2x\\
\Longleftrightarrow & x\leq -2\\
\end{eqnarray*}
L'ensemble des solutions $\mathscr S$ de $(I)$ est :
$$ \mathscr S=]-\infty; -2]$$
\end{itemize}
}

\Corc{On a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln x<0\Longleftrightarrow x\in[0;1]$
\item $\ln x=0\Longleftrightarrow x=1$
\item $\ln x>0\Longleftrightarrow x>1$
\item $\forall \lambda>0$ et $\forall \mu>0$ on a $$ \ln \lambda=\ln \mu\Longleftrightarrow \lambda =\mu$$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item Pour tout $x>0$ on a : 
$$ \ln x<0\Longleftrightarrow \ln x<\ln 1 \Longleftrightarrow 0<x<1$$
\item Pour tout $x>0$ $\ln x=0\Longleftrightarrow \ln x=\ln 1\Longleftrightarrow e^{\ln x}=e^{\ln 1}\Longleftrightarrow x=1$
\item Puisque $1$ et $2$ sont vraies, $3$ l'est forcément.
\item $\forall \lambda>0$ et $\forall \mu>0$ on a $$ \ln \lambda=\ln \mu\Longleftrightarrow e^{\ln \lambda}=e^{\ln \mu}\Longleftrightarrow\lambda =\mu$$
\end{enumerate}}

%\pagebreak
\section{Propriétés algébriques}
\subsection{Relations fonctionnelles}

\Thc{Pour tout $\lambda>0$ et $\mu>0$ on a :
$\qquad \qquad \qquad\ln \lambda\mu=\ln \lambda+\ln \mu$ }

\Dem{On utilise les propriétés de la fonction exponentielle qui transforme les sommes en produits :
$$ e^{\ln \lambda+\ln\mu}=e^{\ln \lambda}e^{\ln \mu}=\lambda\mu$$
En appliquant le logarithme à cette égalité on obtient :
$$ \ln \lambda+\ln \mu=\ln \lambda \mu$$ }

\Corc{Pour tous $\lambda$ et $\mu$ strictement positif et pour $n\in\Z$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln \left(\dfrac{1}{\mu}\right)=-\ln\mu$
\item $\ln\lambda^n=n \ln \lambda$
\item $ \ln \left(\dfrac{\lambda}{\mu}\right)=\ln\lambda-\ln\mu$
\item $\ln \sqrt{\lambda}=\dfrac{1}{2}\ln \lambda$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item $\ln 1=\ln \dfrac{\mu}{\mu}=\ln \mu+\ln \dfrac{1}{\mu}\Longleftrightarrow \ln \left(\dfrac{1}{\mu}\right)=-\ln\mu$
 \item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété à démontrer.
 \begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=0$, ou $n=1$ la propriété est trivialement vraie puisque $\ln 1=0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P$ soit vraie pour un certain $n-1$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n$.\\
On a donc (hypothèse de récurrence) $$ \ln\lambda^{n-1}=(n-1) \ln \lambda$$
Par conséquent, 
$$\ln\lambda^n = \ln \lambda^{n-1}\times \lambda=(n-1) \ln \lambda+\ln \lambda=n \ln \lambda$$
$\mathscr P$ est donc initialisée et héréditaire, par conséquent pour $n\in\N$ on a $\ln\lambda^n=n \ln \lambda$.\\
Si désormais $n<0$, alors $-n>0$ et : 
$$ \ln \lambda^n=\ln\dfrac{1}{\lambda^{-n}}=-\ln \lambda^{-n}=-(-n\ln\lambda)=n\ln\lambda$$
\end{itemize}
\item On a :
 $  \ln \left(\dfrac{\lambda}{\mu}\right)=\ln \lambda+\ln \dfrac{1}{\mu}=\ln \lambda-\ln\mu$
\item $ \ln \lambda= \ln \sqrt{\lambda} \sqrt{\lambda}= \ln \sqrt{\lambda}+\ln \sqrt{\lambda}=2\ln \sqrt{\lambda}\Longrightarrow\ln \sqrt{\lambda}=\dfrac{1}{2}\ln \lambda$
\end{enumerate}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Ecrire à l'aide de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres $A=\ln 144$ et $B=\ln 81+\ln 3 \sqrt{3}$
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $ln(5-x)>2\ln (x+1)$.
\item Une voiture perd en moyenne $15\%$ de valeur en un an. Au bout de combien d'années a-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?
\end{enumerate} 
}

\subsection{Continuité et dérivabilité}

\Thc{La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ et sa dérivée est :
$$ (\ln \lambda)'=\dfrac{1}{\lambda}$$ }

\Dem{Admettons dans un premier temps que
$\ln $ est dérivable sur $]0,+\infty[$. Notons provisoirement
$\ln'$ sa dérivée. Nous savons juste que $\exp(\ln x)=x$. En dérivant membre à membre on obtient 
$\ln'x\times\exp(\ln x)=1$ et donc $\ln'x=1/x$...Bingo !
Démontrons que le logarithme népérien est dérivable sur $]0;+\infty[$ (ce qui impliquera qu'elle est continue sur $]0;+\infty[$) en trois étapes :
\begin{enumerate}
\item On montre que $\ln$ est continue en $1$ i.e que $ \Lim{1}\ln x=\ln 1=0$
\item Montrons que $\ln$ est dérivable en $1$ (et que donc sa dérivée vaut $1$) i.e que $ \displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}=1$
\item Enfin concluons en montrant que $\ln $ est dérivable pour tout $a>0$ (et que donc sa dérivée vaut $ \dfrac{1}{a}$) i.e que 
$$ \displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h}=\dfrac{1}{a}$$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Comme pour tout $x>1$, on a $e^x\geq x+1$ on a aussi $0< \ln x\leq x-1 $, d'après le théorème des gendarmes la limite lorsque $x$ tend vers $1^+$ de $\ln x$ vaut $0=\ln 1$\\
Si $x\in]0;1[$, on a alors $\ln x<0\Longleftrightarrow \ln \left(\frac{1}{x}\right)>0$, et donc en utilisant le résultat précédent pour $1/x>1$ on a aussi : $$ 0<\ln \left(\frac{1}{x}\right)\leq \dfrac{1}{x}-1$$ d'après le théorème des gendarmes lorsque $x$ tend vers $1^{-}$ on obtient alors :
$$ \Lim{1^-}\ln x=0\Longrightarrow \Lim{1} \ln x=0=\ln 1$$
Ainsi $\ln$ est continue en $1$.
\item Posons $H=\ln(1+h)\Longleftrightarrow e^H=1+h\Longleftrightarrow h=e^H-1$.\\
La fonction $\ln$ étant continue en $1$, lorsque $h$ tend vers $0$, $\ln ( 1 + h )$ c'est-à-dire $H$ tend vers $0$. D'où, en se rappelant le résultat $  \displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{e^h-1}{h}=1$, :
$$  \displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}= \displaystyle \lim\limits_{H\to 0}\dfrac{H-0}{e^H-1}=1 $$
La fonction  $\ln$  est donc dérivable en $1$ et son nombre dérivé en $1$ est $1$.
\item Soit $a \in ] 0 ; +\infty [$.  Démontrons que la fonction $\ln$ est dérivable en $a$.
$$\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h}=\dfrac{\ln \frac{a+h}{a} }{h}=\dfrac{\ln \left(1+\frac{h}{a}\right) }{h}=\dfrac{1}{a}\times\dfrac{\ln \left(1+\frac{h}{a}\right) }{\frac{h}{a} }$$
Posons $H=\dfrac{h}{a}$ on a alors : $ \dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h}=\dfrac{1}{a}\times \dfrac{\ln(1+H)}{H}$
Lorsque $h$ tend vers $0$,  
$ H=\dfrac{h}{a} $
 tend vers $0$, et d'après la partie $2.$ $$\displaystyle \lim\limits_{H\to 0}\dfrac{\ln(1+H)}{H}=1\Longrightarrow  \displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h} =\dfrac{1}{a}$$
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\Ptec{Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et strictement positive alors :
$$ (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$$}
\Dem{On sait que $$ (v\circ u)'=v'(u)\times u'$$
On applique ce résultat pour $v=\ln$.}
\Exop{
\begin{enumerate}
\item Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\ln(x^2-9)$ sur $]3;+\infty[$.
\item $g(x)=\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$ sur $]2;+\infty[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Etudier le sens de variation de la fonction $f : x\longmapsto \dfrac{\ln x-1}{\ln x+1} $ sur l'intervalle $I=\left]\dfrac{1}{e};+\infty\right[$
\end{enumerate}}
\subsection{Limites en aux bornes de son ensemble de définiton}

\Thc{\textit{Limites aux bornes de son ensemble de définition $]0;+\infty[$}
$$ \Lim{+\infty}\ln x=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{0^+}\ln x=-\infty$$
Ainsi la représentation graphique de la fonction $\ln$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ mais n'admet pas d'asymptote horizontale.}

\Dem{Soit $M\in\R^{+*}$. Posons $A=e^M$, comme la fonction $\ln $ est strictement croissante sur $\R^{+*}$ on a :
$$ \forall x>A\Longrightarrow \ln x>\ln A=M$$
Quelque soit le réel $M$, il existe un rang au delà duquel $\ln x\geq M$, ce qui prouve que $$ \Lim{+\infty}\ln x=+\infty$$
De plus, 
$$ \Lim{0^+}\ln x=\Lim{+\infty} \ln \dfrac{1}{x}=-\Lim{+\infty}\ln x=-\infty$$ }


\Exop{Déterminer les limites suivantes :
$$ \Lim{\pm\infty} \ln \dfrac{3x+5}{x-1}$$
}

\subsection{Autres limites faisant intervenir le logarithme népérien}

\Thc{\textit{Autres limites faisant intervenir le logarithme népérien}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
\item $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$, avec $n\in\N^*$
\item $ \Lim{0^+} x\ln x=0$
 \item $ \Lim{0^+} x^n\ln x=0$, avec $n\in\N^*$
 \item $ \Lim{1} \dfrac{\ln x}{x-1}=1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item Commencons par démontrer que $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ en utilisant le fait que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\Longleftrightarrow \Lim{+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$$
Posons $X=e^x\Longleftrightarrow \ln X=x$ on a alors 
$$ \displaystyle\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$$
\item On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=\Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}\times \dfrac{\ln x}{x}=0$$
car $  \Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}=0$ et $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$.
\item En posant $X=\ln x$ on a $e^X=x$, lorsque $x$ tend vers $0^+$ alors $X$ tend vers $-\infty$ et :
$$ \Lim{0^+} x\ln x=\displaystyle\lim\limits_{X\to-\infty}e^X\times X=0$$
\item On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$  \Lim{0^+} x^n\ln x= \Lim{0^+} x^{n-1}\times x\ln x=0$$
\item  $ \Lim{1} \dfrac{\ln x}{x-1}=\Lim{1} \dfrac{\ln x-\ln 1}{x-1}$
\\
Il s'agit de la limite du taux d'accroissement de $\ln$ en $1$. Comme $\ln$ est dérivable en $1$ et de dérivée $1$ en $1$, on obtient le résultat voulu.
\end{enumerate}}

\Exop{Déterminer les limites suivantes 
$$ \Lim{+\infty} \dfrac{x}{x^2+1}\ln x\qquad \text{;}\qquad \Lim{+\infty}\dfrac{\ln (x+1)}{x}\qquad \text{et}\qquad \Lim{+\infty}\dfrac{\ln x}{ \sqrt{x} }$$}
\pagebreak
\subsection{Représentation graphique}
Les courbes $\mathscr C_{exp}$ et $\mathscr C_{\ln}$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ (cf DM $7$), par conséquent, on peut tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $\ln$ :

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $ \dfrac{1}{x} $/2, Variation\\ de $\ln x$/2} {$0$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$1$} {$0$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$e$} {$1$}
\end{tikzpicture}
\newline
\begin{center}
 \psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.5)(5,3.1)
\def\xmin{-2.10001} \def\xmax{5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{3.1}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.20001,-1.6)(5.1,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-20,-15)(50,31)
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x ln}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{5}{\F}
\def\G{x EXP}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\G}
\def\H{x}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\H}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](0.3,1){$M$}
\uput[dl](1.4,0){$M'$}
\psdot(2.718,1)
\uput[dl](3.5,1){$N(e;1)$}
\psdot(1,2.718)
\uput[dl](1.8,2.718){$N'(1;e)$}
\uput[dl](4,1.7){$\mathscr C_{\ln}$}
\uput[dl](-1,0.6){$\mathscr C_{exp}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{center}


\pagebreak
\section{Puissances d'un réel strictement positif}
\subsection{Définition}
Comment définir $2^{2.5}$ ?\\
Une première approche serait de construire une ébauche de la représentation graphique de l'hypotéthique fonction $f:x\longmapsto 2^x$, en utilisant nos connaissances sur les puissances entières de $2$.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.02,-1.82)(6.78,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.02,-1.82)(6.78,9)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-6.0200000000000005}{6.78}{2^x}
\rput[tl](-4.8,7.14){$2^0=1$}
\rput[tl](-4.8,6.52){$2^1=2$}
\rput[tl](-4.92,7.84){$2^{-1}=\frac{1}{2}$}
\rput[tl](-4.96,8.58){$2^{-2}=\frac{1}{4}$}
\rput[tl](-4.78,5.9){$2^2=4$}
\rput[tl](-4.78,5.2){$2^3=8$}
\rput[tl](2.84,6.94){$\qqqqzz{y=2^x}$}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2.5,5.66)(2.5,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,5.66)(2.5,5.66)
\rput[tl](-1.52,6.2){$2^{2.5}\simeq 5.6$}
\rput[tl](-5.78,-0.52){En traçant  harmonieusement  la courbe de la fonction $f$ on conjecture que : }
\rput[tl](-0.78,-1.32){$2^{2.5} \simeq 5.6$}
\rput[bl](-5.92,-0.28){\qqqqzz{$f$}}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=zzqqqq](0,1)
\rput[bl](0.16,0.9){\zzqqqq{$A$}}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=zzqqqq](1,2)
\rput[bl](1.16,1.88){\zzqqqq{$B$}}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=zzqqqq](2,4)
\rput[bl](2.14,3.88){\zzqqqq{$C$}}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=zzqqqq](3,8)
\rput[bl](3.08,8.12){\zzqqqq{$D$}}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=zzqqqq](-1,0.5)
\rput[bl](-0.92,0.62){\zzqqqq{$E$}}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=zzqqqq](-2,0.25)
\rput[bl](-1.92,0.36){\zzqqqq{$F$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\underline{Constat} : Soit $\lambda>0$ et $n$ un entier relatif. On sait que 
$$ \ln \lambda^n=n\ln\lambda \Longrightarrow \lambda^n=e^{\ln \lambda^n}=e^{n\ln \lambda}$$
De même, comme $\ln e=1$, si $x$ est un réel quelconque, on a $e^x=e^{x\ln e}$ 
\\
Ces constatations conduisent à la définition suivante :
\\


\Defc{Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Pour tout réel $x$, on pose $$ \lambda^x=e^{x\ln \lambda}$$
}

\Expl{On retrouve $2^{2,5}=e^{2,5\ln 2}\simeq 5,66$}

\Ptec{Pour tous les réels $\lambda>0$ et $\lambda'>0$ et pour tous les réels $x$ et $x'$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln \lambda^x=x\ln\lambda$
\item $(\lambda^x)^{x'}=\lambda^{xx'}$
\item $\lambda^{x+x'}=\lambda^x\lambda^{x'}$
\item $(\lambda\lambda')^x=\lambda^x\lambda'^{x}$
\item $\lambda^{x-x'}=\dfrac{\lambda^x}{\lambda^{x'}}$
\item $ \left(\dfrac{\lambda}{\lambda'}\right)^x=\dfrac{\lambda^x}{\lambda'^x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

%\pagebreak
\Rq{On retrouve les règles avec les exposants réels.}

\Dem{
On applique simplement la défintion et les propriétés des fonctions $\ln$ et exponentielle. Montrons les trois premières pour exemple :
\begin{enumerate}
\item On a $$ \ln \lambda^x=\ln e^{x\ln \lambda}=x\ln \lambda$$
\item $ (\lambda^x)^{x'}=\left(e^{x\ln \lambda}\right)^{x'}=e^{x'x\ln \lambda}=\lambda^{xx'}$
\item $\lambda^{x+x'}=e^{(x+x')\ln\lambda}=e^{x\ln\lambda+x'\ln\lambda}=e^{x\ln\lambda}e^{x'\ln\lambda}=\lambda^x\lambda^{x'}$
\item $(\lambda\lambda')^x=e^{x\ln\lambda\lambda' }=e^{x\ln\lambda+x\ln \lambda'}=e^{x\ln\lambda}\times e^{x\ln\lambda'}=\lambda^x\lambda'^{x}$
\item  $\lambda^{x-x'}=e^{(x-x')\ln\lambda}=e^{x\ln \lambda-x'\ln\lambda}=\dfrac{e^{x\ln\lambda}}{e^{x'\ln\lambda}}=\dfrac{\lambda^x}{\lambda^{x'}}$
\item$ \left(\dfrac{\lambda}{\lambda'}\right)^x=e^{x\ln\frac{\lambda}{\lambda'}}=e^{x(\ln\lambda-\ln \lambda')}=e^{x\ln\lambda-x\ln\lambda'}=\dfrac{e^{x\ln\lambda}}{e^{x\ln\lambda'}}=\dfrac{\lambda^x}{\lambda'^x}$
\end{enumerate}}


\pagebreak
\subsection{Racine n-ième d'un réel positif}
Soit $\lambda \geq 0$, on cherche les éventuels réels positifs $x$ tels que $x^n=\lambda$, avec $n\in\N^*$.\\
Pour cela étudions la fonction $f:x\longmapsto x^n$, où $n$ désigne un entier strictement positif, sur $\R^{+*}$.\\
On a, pour tout $x>0$ :
$$ f'(x)=nx^{n-1}$$
On sait que $n>0$ et $x^{n-1}$ aussi, par conséquent pour tout $x\in\R^{+*}$, on a : $f'(x)>0$. D'où :
 
 \begin{center}
 \begin{multicols}{2}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1, Signe\\de $  f'(x) $/2, Variation\\ de $ f$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $0$ , +/$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$\sqrt[n]{\lambda}$} {$\lambda$}
 % \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$\lambda$}
\end{tikzpicture}
$$ \lim\limits_{x\to 0} x^n=0\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x\to +\infty} x^n=+\infty$$
$f$ est une fonction continue sur $\R^{+*}$ et strictement croissante sur $\R^{+*}$ . D'après le T.V.I, elle prends exactement une fois toutes les valeurs strictement supérieure à $0$. Par conséquent l'équation $f(x)=\lambda$ admet exactement une solution que l'on note $\sqrt[n]{\lambda}$.
\end{multicols}
\end{center}


\Rq{$\left(\lambda^{ \frac{1}{n}}\right)^n=\lambda{\frac{1}{n}\times n}=\lambda$. De plus $\lambda^{ \frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln \lambda}>0$, par conséquent $\lambda^{ \frac{1}{n}}$ est l'unique solution de $f(x)=\lambda$, d'où :
$$ \lambda^{ \frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\lambda}$$}

\Defc{Pour tout réel positif $\lambda$ et pour entier naturel non nul $n$, il existe un unique réel positif $x$ tel que $x^n=\lambda$.\\
Ce réel est noté $ \sqrt[n]{\lambda}$ et s'appelle la racine n-ième du réel positif $\lambda$. On a : $$ \sqrt[n]{0}=0\qquad \text{et, pour }\lambda>0, \sqrt[n]{\lambda}=\lambda^{ \frac{1}{n}} $$ }

\Exop{Simplifier l'écriture du réel $$ A= \sqrt[3]{162}\times \sqrt[4]{216}$$}

\Exop{\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f:x\longmapsto \sqrt[n]{x}$ sir $]0;+\infty[$.
\item Etudier les variations de la fonction $g:x\longmapsto \sqrt[3]{x^2-4}$ sur l'intervalle $[2;+\infty[$.
\end{enumerate}}
\pagebreak

\subsection{Fonction exponentielle de base $a$}
\Defc{Soit $\lambda$ un réel strictement positif et différent de $1$. \\
La fonction qui a $x$ associe $\lambda^x$ définie sur $\R$ s'appelle la fonction exponentielle de base $\lambda$.}

On a pour tout $x$ $f_\lambda(x)=e^{x\ln\lambda}$ et donc 
$$ f_\lambda'(x)=\ln \lambda e^{x\ln \lambda}=\ln \lambda \lambda^x$$
Pour tout réel $x$, $ \lambda^x>0$ ; par conséquent :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item  Si $0<\lambda<1$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1, Signe\\de $  f_\lambda'(x) $/2, Variation\\ de $ f_\lambda$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,-,}%
  \tkzTabVar {+/ $+\infty$ , - /$0$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$0$} {$1$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$\lambda$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Si $\lambda>1$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1, Signe\\de $  f_\lambda'(x) $/2, Variation\\ de $ f_\lambda$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $0$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$0$} {$1$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$\lambda$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{multicols}
Nous avons repr\'esent\'es les courbes des fonctions $f$, $g$, $h$, $j$ et $k$ respectivement pour $\lambda=2$, $\lambda=e$, $\lambda=\frac{1}{2}$, $\lambda=\dfrac{3}{2}$ et $\lambda=\dfrac{2}{3}$. 
\begin{center}
%-------------- unités
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}

%-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
\def\xmin{-5}
\def\xmax{5}
\def\ymin{-1}
\def\ymax{10}
\begin{pspicture}(-5.1,-0.1)(5.1,10.1)


\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%-------------- [graduations]
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- grilles
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%-------------- repère Oij
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}

%-------------- découpage de la boîte
\psclip{\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)}

\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x exp}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\F}
\def\G{0.5 x exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\G}
\def\H{x EXP}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\H}
\def\I{1.5 x exp}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\I}
\def\J{2 3 div x exp}
\psplot[linecolor=cyan,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\J}
\uput[u](-1.8,8){$\textcolor{blue}{\mathscr{C}_h : x\mapsto 0.5^{x}}$}
\uput[u](3.8,6.5){$\textcolor{red}{\mathscr{C}_f: x\mapsto 2^{x}}$}
\uput[u](1,9.4){$\mathscr{C}_g : x\mapsto e^{x}$}
\uput[u](4.3,3){$\textcolor{green}{\mathscr{C}_j : x\mapsto \frac{3}{2}^{x}}$}
\uput[u](-4,2){$\textcolor{cyan}{\mathscr{C}_k : x\mapsto \frac{2}{3}^{x}}$}
\endpsclip

\end{pspicture}
\end{center}
\pagebreak
\subsection{Fonctions puissances}
\Defc{Soit $\alpha$. On appelle fonction puissance la fonction $f_\alpha$ définie sur $]0;+\infty[$ qui a $x$ associe le réel $f_\alpha(x)=x^\alpha$}

\Rqs{\item Dans la pratique on note $f_\alpha(x)=e^{\alpha \ln x}$.
\item On note, du coup, la nécessité de définir la fonction sur  $]0;+\infty[$}

\Expl{$f_3(x)=x^3=e^{3\ln x}$ et $f_\pi(x)=x^\pi=e^{\pi\ln x}$}

\Thc{Les fonctions puissances sont dérivables sur $]0;+\infty[$ et $f_\alpha'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$}
\Dem{$f_\alpha(x)=e^{\alpha \ln x}\Longrightarrow f_\alpha'(x)=\dfrac{\alpha}{x}e^{\alpha \ln x}=\dfrac{\alpha}{x}\times \alpha^x=\alpha x^{\alpha-1}$}

%\Expl{$f_\pi(x)=\pi x^{\pi-1}$}

%\Rq{$x\longmapsto e^{\frac{1}{n}}\ln x$ n'est pas définie en $0$ mais $\Lim{0} e^{\frac{1}{n}}\ln x=0$, la fonction admet donc un prolongement par continuité en $0$.
%}

$f'_\alpha=\dfrac{\alpha}{x}e^{\alpha\ln x}$ est du signe de $\alpha$, et donc de signe constant suivant les valeurs de $x$. Si $\alpha=1$ alors $f'_\alpha=\alpha$ et ce cas trivial ici ne monopolise pas notre attention.\\
On distingue donc deux cas :

\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item  Si $\alpha<0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1, Signe\\de $  f_\alpha'(x) $/2, Variation\\ de $ f_\alpha$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,-,}%
  \tkzTabVar {+/ $+\infty$ , - /$0$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$1$} {$1$}
 % \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$\lambda$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Si $\alpha>0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1, Signe\\de $  f_\alpha'(x) $/2, Variation\\ de $ f_\alpha$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $0$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$1$} {$1$}
 % \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$\lambda$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{multicols}
 
On a tracé les courbes des fonctions $f$, $g$, $h$, $j$ et $k$ respectivement pour $\alpha= 2$ (bleu), $\alpha=-1$ (rouge), $\alpha=0$ (vert) , $\alpha=1$ (cyan) et $\alpha=0.5$ (noir) : 

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.6)(5.1,5.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-0.6)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\F}
\def\G{1 x div}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{5}{\G}
\def\H{1}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\H}
\def\I{x}
\psplot[linecolor=cyan,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{5}{\I}
\def\J{x .5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\J}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\section{D'autres logarithmes}

\end{document}