\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Limites et \linebreak[2] continuit\'e }	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
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\debutdwicky{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Il combine les techniques du graffiti et du pochoir pour faire passer ses messages, qui mêlent souvent politique, humour et poésie comme Ernest Pignon-Ernest ou Blek le rat. Les pochoirs de Banksy sont des images humoristiques, parfois combinés avec des slogans. Le message est généralement antimilitariste, anticapitaliste ou antisystème. Ses personnages sont souvent des rats, des singes, des policiers, des soldats, des enfants ou des personnes âgées.\\
Il s'est forgé une certaine notoriété dans les milieux alternatifs et les médias traditionnels s'intéressent aussi à lui. Il a notamment travaillé sur le film Les Fils de l'homme2 et a réalisé en 2003 la pochette du disque de Blur, Think Tank.\\
Banksy a fondé le projet \og Santa's Ghetto \fg en réalisant des peintures sur le mur de Gaza afin de redonner espoir aux habitants palestiniens et israéliens. Aidé par d'autres artistes, comme Ron English, un Américain, le mur de séparation prend petit à petit les couleurs d'une toile artistique géante, comme avec l'image de la petite Vietnamienne brûlée au napalm qui tient par la main Mickey Mouse et Ronald McDonald.\\
Concernant ce projet, Banksy raconte dans son livre Wall and Piece, qu'un jour, alors qu'il peignait sur le mur de séparation, un habitant est venu lui dire : \og vous embellissez le mur \fg. Banksy, flatté : \og Merci, c'est gentil \fg, fut aussitôt coupé par le vieil homme : \og On ne veut pas que ce mur soit beau, on ne veut pas de ce mur, rentrez chez vous \fg.}{0.4}{0.6}
\setcounter{NumLecon}{4}

\TITRE{300px-Limite.eps}{0.5}

\begin{abstract}
Les notions de continuité et de dérivabilité, et par suite d'intégration sont apparus tardivement dans l'histoire des mathématiques ($XVII^\text{ème}$ siècle) et ont permis de résoudre de nombreux problèmes auxquels les méthodes classiques n'offraient pas de solution générale comme le calcul de la vitesse instantanée, la recherche de trajectoire d'un objet en mouvement, le calcul de la longueur de la trajectoire d'une planète, le calcul de l'aire limitée par des courbes, $\dots$. Ce n'est qu'au siècle dernier que les mathématiciens ont travaillé avec rigueur en utilisant ces nouveaux objets, en effet ils se sont longtemps contentés d'utiliser des définitions intuitives.
\end{abstract}
\begin{center}
\textit{Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur $\R$ ou sur une partie de $\R$ et à valeurs dans $\R$. Les intervalles considérées sont non vides et non réduit à un réel.}
\end{center}
\section{Préliminaires : Limites}
\subsection{Définition rigoureuse des limites}
\subsubsection{Limites en $\infty$}
Nous allons donné ici des définitions très proche de celles rencontrés sur la convergence des suites numériques :
\Defc{On dit qu'une fonction $f$ tend vers $\ell\in\R$ en $+\infty$ si et seulement si tout intervalle $I$ ouvert contenant $\ell$ contient toutes les images $f(x)$ à partir d'un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$$}

\begin{multicols}{2}
\Expl{$$ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x} =0$$
Considérons un intervalle $I$ ouvert du type $]-\epsilon;+\epsilon[$, montrons que toutes les images $f(x)$ sont dans $I$ à partir d'un certain réel $x_0$.\\
$ \forall x\in\R^*, \qquad \dfrac{1}{x}<\epsilon\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{\epsilon}$\\
Ainsi, en prenant $x_0=\dfrac{1}{\epsilon}$ on a $$f(x)\in I,\qquad \forall x>x_0$$ }
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-2.1)(7.1,5.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{7} \def\ymin{-2} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.1,-2.1)(7.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{7}{\F}
\uput[ur](2,2){$\mathscr C_f:y=\dfrac{1}{x}$ sur $\R^+$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\Defc{\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si et seulement si tout intervalle $I=]A;+\infty[$ avec $A\in\R$ contient toutes les images $f(x)$ à partir d'un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$ si et seulement si tout intervalle $I=]-\infty;A[$ avec $A\in\R$ contient toutes les images $f(x)$ à partir d'un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$
\end{itemize}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-1.1)(5.1,6.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-1.1)(5.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\uput[ur](2,2){$\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\infty$}
\uput[ur](-2.5,5){$\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=+\infty$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Defc[en $-\infty$]{\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $\ell\in\R$ en $-\infty$ si et seulement si tout intervalle $I$ ouvert contenant $\ell$ contient toutes les images $f(x)$ pour des réels inférieurs à un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\ell$$
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $-\infty$ si et seulement si tout intervalle $I=]A;+\infty[$ avec $A\in\R$ contient toutes les images $f(x)$ pour des réels inférieurs à un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$$
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ si et seulement si tout intervalle $I=]-\infty;A[$ avec $A\in\R$ contient toutes les images $f(x)$ pour des réels inférieurs à un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$$
\end{itemize}}

\newpage
\subsubsection{Limite en $a$, avec $a\in\R$}

\Defc{ On dit qu'une fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si et seulement si pour tout intervalle $I=]M;+\infty[$, avec $M\in\R$ il existe un intervalle ouvert $O$ contenant $a$ tel que $f(x)\in I$ pour tout $x\in O$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$$
Dans ce cas on dit aussi que $f$ admet une \textit{asymptote verticale} d'équation $x=a$.}

\textit{\textbf{Illustration}} :\\
\begin{center}
\includegraphics{nivaud.1}
\end{center}

De manière équivalente on définit enfin les deux dernières limites :
\Defc{\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $-\infty$ en $a$ si et seulement si pour tout intervalle $I=]-\infty;M[$, avec $M\in\R$ il existe un intervalle ouvert $O$ contenant $a$ tel que $f(x)\in I$ pour tout $x\in O$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=-\infty$$
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si et seulement si pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$ il existe un intervalle ouvert $O$ contenant $a$ tels que $f(x)\in I$ pour tout $x\in O$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$$
Dans ce cas on dit aussi que $f$ admet une \textit{asymptote horizontale} d'équation $y=\ell$.
\end{itemize}}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
$\lim\limits_{x \to 2^{+}} \left(\dfrac{1}{x-2}\right) =+\infty$ (et $\lim\limits_{x \to 2^{-}} \left(\dfrac{1}{x-2}\right) =-\infty$), donc la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ admet une asymptote verticale d'\'equation $x=2$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2 sub div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}
\subsubsection{Asymptotes obliques}
\Defc{La droite d'\'equation $y=ax+b$ est une asymptote \`a la repr\'esentation graphique $\mathscr C_f$  de $f$ en $\pm\infty$ si et seulement si 
$$\lim\limits_{x \to \pm\infty} [f(x)-(ax+b)] =0$$
}

\Exo{On note $f(x)=\dfrac{2x^2+9x+8}{x+3}$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $f(x)=2x+3-\dfrac{1}{x+3}$
\item Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x)-(2x+3)] $
\item Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x)-(2x+3)] $
\item En d\'eduire que la droite $\Delta$ d'\'equation $y=2x+3$ est une asymptote oblique \`a $\mathscr C_f$ en $\pm\infty$
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10.1,-8.1)(10.1,6.1)
\def\xmin{-10} \def\xmax{10} \def\ymin{-8} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-10.1,-8.1)(10.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x 2 exp mul 9 x mul add 8 add x 3 add div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-20}{-3.00001}{\F}
\def\G{2 x 2 exp mul 9 x mul add 8 add x 3 add div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2.9999}{20}{\G}
\def\H{2 x mul 3 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-20}{20}{\H}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=50,Dy=50,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\subsection{Limites usuelles}
\Thc[Les limites à connaître]{
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{1}{x}=0$
\item $\lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty$
\item $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$
\item $\lim\limits_{x \to \pm\infty}x^2=+\infty$
\item $\lim\limits_{x \to -\infty}x^3=-\infty$
\item $\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{1mm}}
\subsection{Limites et opérations}
\subsubsection{Somme, produit, quotient}
Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus en classe de première, on se contentera ici d'énumérer les cas d'indétermination :
  \Cadre{\begin{center}LES 4 FORMES IND\'ETERMIN\'EES \`A CONNA\^ITRE\end{center}
  $$  \text{\og }0\times \infty \text{\fg }\qquad \text{\og }\dfrac{0}{0} \text{\fg }\qquad  \text{\og }\dfrac{\infty}{\infty}\text{\fg } \qquad \text{\og } \infty -\infty \text{\fg }$$
 \begin{center} \begin{scriptsize}Attention, on ne dira pas \og z\'ero sur z\'ero est une forme ind\'etermin\'ee \fg mais plut\^ot \og le quotient de deux fonctions tendant vers $0$ est une forme ind\'etermin\'ee \fg \end{scriptsize}\end{center}
}

\Exop{Déterminer les limites des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $g:x\longmapsto \dfrac{1+x}{2-x}$ en $2$
\item $h:x\longmapsto \dfrac{\sqrt{x}-1 }{x+1}$ en $+\infty$
\item $k:x\longmapsto x-\sqrt{x^2+1}$ en $+\infty$
\end{enumerate}}

\subsection{Composée de deux fonctions}
\Thc{Soit $f=g\circ u$, une fonction composée de deux fonctions $u$ et $g$.\\
$a$, $b$ et $\ell$ désignent des réels, ou $+\infty$, ou $-\infty$.\\
Si on a $\lim\limits_{x \to a}u(x)=b$ et $ \lim\limits_{x \to b} g(x)=\ell$, alors : $$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$$}


\Dem{Raisonnons dans le cas où $a=+\infty$, $b=-\infty$ et $\ell \in\R$
Soit $J$ un intervalle ouvert qui contient $\ell$.\\
Comme $ \lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=\ell$, $J$ contient tous les réels $g(x)$ pour $x$ strictement inférieur à un certain $x_0$.\\
De plus, comme $\lim\limits_{x \to +\infty}u(x)=-\infty$, l'intervalle ouvert $]-\infty;x_0[$ contient tous les réels $u(x)$ pour $x$ supérieur à un certain réel $x_1$.\\
Si $x>x_1$, on a alors $u(x)<x_0$, et donc $g(u(x)) \in J$ i.e $f(x)\in J$\\
Ainsi tout intervalle ouvert $J$ qui contient $\ell$ contient aussi tous les réels $f(x)$ pour $x$ assez grand ; ce qui signifie que $$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$$}

\Rq{Ce théorème reste identique si $v_n=f(u_n)$.}

\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$ f(x)=\sqrt{\dfrac{4x+1}{x+1} }$$
 et $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=\sqrt{\dfrac{2^{n+2}+1}{2^n+1} }$\\
 Déterminer la limite éventuelle de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente, préciser sa limite. }
 
 \Sol{Pour $x$ positif, $f(x)=\sqrt{t}$ avec $t=\dfrac{4x+1}{x+1}$.\\
 On a $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{4x+1}{x+1}=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{4x}{x}=4$ (\textit{fonction rationnelle en $+\infty$})\\
 et $ \lim\limits_{t \to 4}\sqrt{t}=2 $ donc :
 $$  \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=2$$ 
 De plus on a $v_n=f(u_n)$ avec $u_n=2^n$.\\
 Or, $ \lim\limits_{n \to +\infty}2^n=+\infty$ et $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=2$, donc  \boite{ \lim\limits_{n \to +\infty}v_n=2}}
\subsection{Théorème de comparaison et des gendarmes}

\Thc{
Soient $f$, $u$ et $v$ des fonctions d\'efinies sur un intervalle du type $[a;+\infty[$ :
\begin{itemize}
\item Si, pour $x$ assez grand, on a $f(x)\geq u(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =+\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$
\item Si, pour $x$ assez grand, on a $f(x) \leq v(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =-\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =-\infty$
\end{itemize}}

\Dem{\begin{itemize}
\item Soit $J=]A;+\infty[$ un intervalle. \\
Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =+\infty$ il existe un réel $x_0$ tel que $u(x)\in J$ à partir de $x_0$.\\
De même il existe un réel $x_1$ tel que $f(x)\geq u(x)$ pour $x>x_1$\\
Par conséquent pour $x>max(x_0;x_1)$ $f(x) \in J$ ce qui prouve que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$
\item Soit $J=]-\infty;A[$ un intervalle. \\
Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =-\infty$ il existe un réel $x_0$ tel que $u(x)\in J$ à partir de $x_0$.\\
De même il existe un réel $x_1$ tel que $f(x)\geq u(x)$ pour $x>x_1$\\
Par conséquent pour $x>max(x_0;x_1)$ $f(x) \in J$ ce qui prouve que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =-\infty$
\end{itemize}}
\Rq{Il existe des th\'eor\`emes analogues pour des limites en $-\infty$ et en $a\in \R$}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=-x+\sin x$. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ (Poser $v(x)=-x+1$)
\item Soit $g(x)=\dfrac{ \sqrt{1+x^2} }{x^2}$. Calculer $\lim\limits_{x \to 0} g(x)$ (Poser $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$)
\end{enumerate}}

\Thc[Théorème des gendarmes]{
Soient $f$, $u$ et $v$ des fonctions d\'efinies sur un intervalle du type $[a;+\infty[$.
\newline
Si pour $x$ assez grand, on a $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =\lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =\ell$, alors : 
$$ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\ell$$}

\Dem{Soit $J$ un intervalle ouvert contenant $\ell$. Il s'agit de démontrer que $J$ contient tous les réels $f(x)$ à partir d'un certain réel.\\
Or,  $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =\lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =\ell$, i.e qu'il existe $x_0$ tel que $u(x)\in J$ à partir de $x_0$ et il existe un réel $x_1$ tel que $v(x)\in J$ à partir de $x_1$.\\
Soit $x_2=max(x_0;x_1)$. Si $x>x_2$, l'intervalle $J$ contient $u(x)$ et $v(x)$, donc il contient aussi tous les réels compris entre $u(x)$ et $v(x)$, en particulier il contient $f(x)$, ainsi :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\ell$$}

\Rq{Il existe des th\'eor\`emes analogues pour des limites en $-\infty$ et en $a\in \R$}

\Exop{
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R^{+}$ par : $f(x)=\dfrac{2+3\sin x}{x}$. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
}

\section{Continuité d'une fonction}
\subsection{Fonction continue en un point}
\Defc{Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction définie au moins sur $I$, $a$ un réel de $I$.\\
On dit que $f$ est continue en $a$ lorsque : $ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)$ }

\textit{Illustration }:\\
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{nivaud2.5}
\end{center}
On peut tracer la courbe de $f$ sans lever le crayon. Elle ne présente pas de \og saut \fg, $f$ est continue en tout point.
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.6}
\end{center}
On ne peut pas tracer $\mathscr C_f$ sans lever le crayon, $f$ présente une discontinuité en un point ; on dit qu'elle est discontinue en ce point.
\end{multicols}

\Rq{La condition $ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)$ peut aussi s'écrire $ \lim\limits_{h \to 0} f(a+h)=f(a)$}

\subsection{Un contre-exemple : la fonction partie entière}
Notons $E$ la fonction qui à un réel $x$ associe sa partie entière :
$$ E(x)=\text{le plus grand entier inférieur ou égal à } x$$
Autrement dit, $E(x)$ est l'unique entier tel que : $$ E(x)\leq x<E(x)+1$$
Par exemple $E(\pi)=3$, $E(-\pi)=-4$\footnote{On remarquera que la fonction partie entière des mathématiciens n'est pas impaire contrairement à celle des informaticiens qui considère que $E(-\pi)=-3$}\\
Ci-dessous nous avons tracé $\mathscr C_E$. 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.6,-3.6)(4.1,3.6)
\def\xmin{-3.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.6,-3.6)(4.1,3.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}
\def\G{1}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{2}{\G}
\def\H{2}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2}{3}{\H}
\def\I{3}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{3}{4}{\I}
\def\J{0 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{0}{\J}
\def\K{0 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{-1}{\K}
\def\L{0 3 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-2}{\L}
\psdot(0,0)\psdot(1,1)\psdot(2,2)\psdot(3,3)\psdot(-1,-1)\psdot(-2,-2)\psdot(-3,-3)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Cette fonction admet des discontinuités en tout entier, en effet on a :
$$ \lim\limits_{x \to 2^+} E(x)=2\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to 2^-} E(x)=1$$
Les limites à droite et à gauche étant différente, la fonction partie entière n'admet pas de limite en $2$, elle est donc discontinue en $2$.

\subsection{Autre cas de fonction non continue}
\begin{multicols}{2}
Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si }x=0 \\ \dfrac{1}{x} \text{ si } x\neq 0  \end{array} \right.$$
La fonction $f$ n'est pas continue en $0$, en effet :$$f(0)=0\quad \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=-\infty$$
Autrement dit $f$ n'admet pas de limite en $0$.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-0.0001}{\F}
\def\G{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.000001}{3}{\G}
\def\H{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{0}{\H}
\psdot[linecolor=blue](0,0) 
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\Att{Il ne faut pas confondre cette fonction avec la fonction inverse qui est continue en tout point de son ensemble de définition !}

\Rq{On dit souvent qu'une fonction continue est représentée par un trait continu (obtenu sans relâcher le crayon). Il faut rester méfiant par rapport à cette interprétation, car il existe en mathématiques des fonctions \og monstres \fg{} comme :
\begin{multicols}{2}
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x \text{ si }x\in\Q \\ 0 \text{ sinon } \end{array} \right.$$
En apparence on pourrait croire que cette courbe se trace sans lever le crayon et pourtant la fonction présente une infinité de discontinuité.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\G}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}}

\subsection{Fonction continue sur un intervalle}
\Defc{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$\\
La fonction $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en $a$, pour tout $a\in I$}

\Expl{La fonction $f:x\longmapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\R^+$. Démontrer cette propriété est assez ardu, car la définition de la continuité et donc de celle des limites n'est pas d'un usage aisé. Nous admettrons donc la continuité de nombreuses fonctions usuelles.}

\subsection{Continuité des fonctions usuelles}
\Thc[Admis]{Les fonctions polynômes, la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue, les fonction sinus et cosinus sont continues la où elles sont définies}
\Thc[Admis]{Soit $f$, $g$ deux fonctions continue sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un réel. Alors :
\begin{itemize}
\item $f+g$ est une fonction continue sur $I$
\item $fg$ est une fonction continue sur $I$
\item $\lambda f$ est une fonction continue sur $I$
\item Si de plus $g$ est une fonction non nulle sur $I$, $ \dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$
\item Si $g$ est continue sur un intervalle contenant $f(I)$ alors $f\circ g$ est continue sur $I$
\end{itemize}}
\Corc{Toutes fonctions rationnelles à coefficients réels est continue sur son ensemble de définition.}

\Exop{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$ f(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+2x^2+1}}{x^2+1}$$
Démontrer que $f$ est continue sur $\R$}
\subsection{Limite d'une suite et d'une fonction continue}
\Thc{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.\\
Soit $(u_n)$ une suite de réels de $I$ qui converge vers $\ell\in I$.\\
Alors la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(l)$, autrement dit : 
$$  \lim\limits_{
n \to +\infty} f(u_n)=f(l)$$}

\Dem{Comme $f$ est continue en $\ell$, on a : $$ \lim\limits_{x \to +\ell} f(x)=f(l)$$
Considérons un intervalle ouvert $J$ centré autour de $f(l)$, il existe un intervalle ouvert  $L$ centré autour de $\ell$ tel que $f(x)\in J$ pour tout $x\in L$\\
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, à partir d'un certain rang $n_0$ on aura $u_n \in L$ et donc $f(u_n)\in J$}

\Exop{On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par : $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3){\small $u_1$}
\uput[-90](3,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,4.1231){\small $u_2$}
\uput[-90](4.1231,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,4.63599){\small $u_3$}
\uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$.
\item En déduire que $(u_n)$ converge. On note $\ell$ sa limite.
\item Montrer que $f(\ell)=\ell$, puis déterminer $\ell$.
\end{enumerate}
\end{multicols}


\subsection{Théorème des valeurs intermédiares}
\Thc[des valeurs intermédiares]{Soit $I$ un intervalle, $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$.\\
Soit $f$ une fonction continue sur $I$, soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors :\\
il existe au moins un réel $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$}

\textit{Illustration }:
\begin{multicols}{2}
Cas d'une fonction non monotone :
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.1}
\end{center}
Cas d'une fonction monotone :
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.2}
\end{center}
\end{multicols}

\Dem{Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a;b]$ et $k$ un nombre réel tel que $f(a)\leq k\leq f(b)$ (le cas $f(b)\leq k\leq f(a)$ se traite exactement de la même manière).\\
On construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que :
\begin{itemize}
\item $a_0=a$ et $b_0=b$
\item Si $f\left(\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)\right)\leq k$, on prend $a_1=\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)$ et $b_1=b_0$\\
sinon, on prend $a_1=a_0$ et $b_1=\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)$.
\item On réitère le même processus pour construire tous les termes de la suite i.e si $f\left(\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)\right)\leq k$ on prend $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)$ et $b_{n+1}=b_n$, sinon on prend $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)$
\end{itemize} 
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 0$, $$b_n-a_n=\dfrac{1}{2^n}(b_0-a_0)$$
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante, puis que la suite $(b_n)$ est décroissante.\\
En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.
\item On note $\ell$ la limite commune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $n\in \N$, $$ f(a_n)\leq k\leq f(b_n)$$
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exop{Démontrer que l'équation $2\cos x=x-1$ admet un moins une solution dans $\R$}

\Rq{L'hypothèse de continuité est essentielle, essayer d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour la fonction partie entière avec $a=0$, $b=1$ et $k=\dfrac{1}{2}$ ! }

\Applic{Toute fonction polynôme $P$ de degré impair admet au moins une racine réelle.}

\Dem{Dans le cas où le coefficient devant le monôme de plus haut degré est positif (l'autre cas est identique) on a :
$$  \lim\limits_{x \to -\infty} P(x)=-\infty$$
donc il existe $a\in\R^-$ tel que $P(x)<0$, $\forall x\leq a$ et 
$$ \lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=+\infty $$
donc il existe $b\in\R^+$ tel que $P(x)>0$, $\forall x\geq b$\\
$P$ est une fonction polynôme donc $P$ est continue sur $[a;b]$ avec $P(a)<0$ et $P(b)>0$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $c\in\R$ tel que $P(c)=0$}

\Defc{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, on note $f(I)$ l'ensemble de toutes les images des réels appartenant à $I$}

\Expl{L'image de $[-1;2]$ par la fonction carré est l'intervalle $[0;4]$}

\Thc[du point fixe]{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a;b]$.\\
Si $f(I)\subset I$ alors $f$ admet au moins un point fixe i.e il existe $x\in I$ tel que $f(x)=x$
}
\Dem{Considérons la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x)=f(x)-x$.\\
Montrons que $0\in g(I)$. On a $g(a)=f(a)-a\in g(I)$ et $g(b)=f(b)-b\in g(I)$.\\
Comme $f(I)\subset I$ alors $f(a)\geq a$ et $f(b)\leq b$ i.e $g(a)\geq 0$ et $g(b)\leq 0$, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiares il existe $c\in I$ tel que $g(c)=0\Longleftrightarrow f(c)=c$ }

\Corc{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, alors $f(I)$ est un intervalle.}
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.11}
\end{center}
\Dem{Soit $y_1$ et $y_2$ dans $f(I)$ tel que $y_1\leq y_2$.\\
Il s'agit de montrer que tout réel $k$ compris entre $y_1$ et $y_2$ est dans $f(I)$. Soit $k$ un tel réel.\\
Comme $y_1$ et $y_2$ sont dans $f(I)$, il existe $a$ et $b$ tels que $f(a)=y_1$ et $f(b)=y_2$.\\
Comme $I$ est un intervalle on a  $[a;b]\subset I$ et $f$ est donc continue sur $[a;b]$, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $c\in I$ tel que $f(c)=k$. Par conséquent $k\in f(I)$ et donc $f(I)$ est un intervalle.}

\Cexpl{L'image de l'intervalle $[-1;2]$ par la fonction partie entière est l'ensemble $\{-1;0;1;2\}$ et cet ensemble n'est pas un intervalle.}

\Expl{L'image de l'intervalle $[-5;2]$ par la fonction carré est l'intervalle $[0;25]$. Le résultat précédent nous assure qu'il s'agit bien d'un intervalle.}
\newpage
\subsection{Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle}

\Thc[théorème de la bijection]{Soit $f$ une fonction continue et strictememnt monotone sur un intervalle $I$. Soit $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$.\\
Soit $k$ un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors :\\
il existe un unique $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$}

\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.2}
\end{center}

\Rq{En ajoutant l'hypothèse de la monotonie, on récupère l'unicité de l'antécédent de $k$.}

\Dem{\begin{itemize}
\item L'existence est assuré par le théorème des valeurs intermédiaires.
\item L'unicité découle donc de la stricte monotonie de la fonction $f$. On sait qu'il un réel $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=k$.\\
Considérons le cas où $f$ est une fonction strictement croissante sur $[a;b]$, alors pour tout $x<c$ on a $f(x)<f(c)$ et pour tout $x>c$ on a $f(x)>f(c)=k$, autrement dit pour tout $x\neq c$ de l'intervalle $[a;b]$ on a $f(x)\neq f(c)$, par conséquent $c$ est unique.
\end{itemize}}

\Exop{Démontrer que l'équation $ \sqrt{x}=\dfrac{5}{x-2}$ admet une unique solution réelle $\alpha$ ; puis encadrer $\alpha$ entre deux entiers consécutifs }
\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x^2$, dénombrer les solutions des équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-1$
\item $f(x)=-5$
\end{enumerate}}

\Exop{Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $$ g(x)=(1+x)^3+x$$ Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-1;0]$ à $10^{-1}$ près }

\section{Notion de fonctions réciproques}
Si $f$ est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle $I$. Notons $J=f(I)$, $J$ est encore un intervalle et de plus pour tout $y\in J$ il existe un unique $x\in I$ tel que $$ f(x)=y$$
On peut alors définir une nouvelle fonction $g$ de $J$ dans $I$ définie par $g(y)=x$. La situation peut-être schématisée comme suit :

\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.3}
\end{center}

Il est alors clair que pour tout $x\in I$, $g(f(x))=x$, autrement dit $g\circ f=Id_I$ et pour tout $y\in J$, $f(g(y))=y $ i.e $f \circ g=Id_J$.

\Defc{On dit que la fonction $g$ est la fonction réciproque de la fonction $f$. Dans ces conditions on a aussi $f$ est la fonction réciproque de $g$.}

\textit{\textbf{Représentation graphique}} : 

\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.4}
\end{center}

\Exop{\begin{enumerate}
\item Exhibez une fonction de référence, continue et strictement monotone sur un intervalle que vous déterminerez et déterminer sa fonction réciproque.
\item Exhibez une fonction de référence, continue et non monotone sur un intervalle que vous déterminerez.
\item Démontrer que dans un repère orthonormé$(O;\vec i, \vec j)$, les courbes de $f$ et de sa fonction réciproque $g$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère 
\end{enumerate}}



\end{document}