\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2011-2012}

\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
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%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
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\debutdwicky{inglorious.eps}{Inglourious Basterds}{Quentin Tarantino}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Inglourious Basterds (Le Commando des bâtards au Québec) est un film américain uchronique réalisé par Quentin Tarantino, sorti le 19 août 2009 en France. Il a été présenté en compétition officielle au Festival de Cannes 2009.\\
Dans la France occupée, Shosanna Dreyfus (Mélanie Laurent) assiste à l'exécution de sa famille juive par le colonel de la SS Hans Landa (Christoph Waltz). Shosanna parvient à s'échapper et se retrouve à Paris où elle se construit une nouvelle identité en tant que gérante d'un cinéma.
Ailleurs en Europe, le lieutenant Aldo Raine (Brad Pitt) forme un groupe de soldats juifs spécialisés dans des actions ciblées et risquées. Connus sous le nom de « The Basterds », Raine et ses hommes font équipe avec l'actrice allemande et agent double Bridget von Hammersmark (Diane Kruger) pour tenter d'assassiner les dirigeants du Troisième Reich. Ils croisent alors la route de Shosanna qui mène sa propre vendetta.\\
\og Les films sur l'holocauste montrent toujours les juifs en tant que victimes... je veux montrer quelque chose de différent \fg}{3.5}{0.3}
\setcounter{NumLecon}{10}
\TITRE{chap.eps}{0.3}

\begin{abstract}
Le calcul intégrale est l'outil permettant de déterminer l'aire de forme géométrique nouvelle. On verra que l'aire sous la courbe d'une fonction est lié à la notion de dérivée, il s'agit en quelque sorte du problème inverse puisqu'on est ramené à la recherche de primitive pour calculer cette aire. Le rapport avec la dérivée n'est pas des plus étonnants, puisqu'il mesure le degré de courbe de la courbe en tout point, information qui parait nécessaire pour calculer l'aire sous cette courbe. 
\end{abstract}


Dans tout le chapitre on considère un plan $P$ muni dun repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$.
\section{Introduction - La notation $ \int_a^b f(x)dx$}




\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.13}
\end{center}


On cherche donc un moyen pour déterminer l'aire du domaine $\mathscr D$ définit par :
$$ \mathscr D=\{M(x;y) \in \mathscr P\text{ tel que }a\leq x\leq b \text{ et }0\leq y \leq f(x)\}$$

L'idée de Riemann est alors la suivante, approchée cette aire en calculant l'aire de rectangle comme-suit :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.11}
\end{center}

Affinons encore un peu plus la démarche de Riemann, en considérant en divisant l'intervalle $[a;b]$ en $30 $ subdivisions identiques :



\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.12}
\end{center}

Avec une telle subdivision, la somme des aires de chacun des rectangles vert est \og visiblement \fg très proche de l'aire du domaine $\mathscr D$ que l'on note $\int_a^b f(x)dx$ (on verra pourquoi on adopte une telle notation peu après). On a alors :
$$ \int_a^b f(x)dx\simeq \sum_{i=1}^{30} \dfrac{b-a}{30}\times f(\zeta_i)$$
En effet la longueur d'une subdivision est $ \dfrac{b-a}{30}$, et elle correspond à la largeur de chacun des rectangles, la longueur étant donné par l'image du réel $ f(\zeta_i)$. \\
Riemann s'aperçoit que si l'on divise l'intervalle $[a;b]$ en $n$ subdivision avec $n$ très grand alors on alors une valeur approchée de l'aire du domaine $\mathscr D$ plus précise, ainsi on est amené à écrire l'égalité suivante :
$$ \int_a^b f(x)dx=\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}  \sum_{i=1}^{n} \dfrac{b-a}{n}\times f(\zeta_i)$$
\Rq{On peut maintenant comprendre la notation choisit par les mathématiciens :
\begin{itemize}
\item lorsque $n$ tend vers $+\infty$ chaque subdivision sur l'axe des abscisses est infiniment petite est vaut $\dfrac{b-a}{n}$, pour le symboliser on note $dx$.
\item lorsque $n$ tend vers $+\infty$ on considère donc une somme infinie, que l'on note $\int_a^b$. 
\item Comme chaque subdivision est infiniment petite, on considère $f(\zeta_i)$ où $\zeta_i$ prend toutes les valeurs entre $a$ et $b$. 
\end{itemize} 
Ainsi on écrit logiquement :
$$ \displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}  \sum_{i=1}^{n} \dfrac{b-a}{n}\times f(\zeta_i)=\int_a^b f(x)dx$$}


\section{Définition}

\subsection{Unité d'aire et domaine délimité par une courbe}

\Defc{Dans le plan $P$ muni d'un repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$, on considère les points $I$, $J$ et $K$ définis par :
$$ \overrightarrow{OI}=\vec i\qquad \overrightarrow{OJ}=\vec j\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{OK}=\vec i+\vec j$$
L'aire du rectangle $OIKJ$ représente une unité d'aire, on note  :
$$ \mathscr A(OIKJ)=1 \text{ u.a}$$
}


\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figTSc_integrale/figTSc_integrale.1}
\end{center}

\Rqs{\item Lorsque le repère est orthonormal le rectangle $OIKJ$ est un carré.
\item Si par exemple $\mid\mid \vec i\mid \mid=2$ cm et $ \mid\mid \vec j\mid \mid=3$ cm alors une unité d'aire correspond à $6$ cm$^2$ i.e $$ 1\text{ u.a}=6\text{ cm}^2$$}





\subsection{Intégrale d'une fonction continue et positive sur un segment $[a;b]$}

\Defc{On considère une fonction $f$ continue et positive sur le segment\footnote{Un segment est un intervalle fermé borné} $[a;b]$.\\
On appelle intégrale de $f$ de $a$ à $b$ l'aire, exprimé en u.a, du domaine $\mathscr D$ suivant :
$$ \mathscr D=\{M(x;y) \in \mathscr P\text{ tel que }a\leq x\leq b \text{ et }0\leq y \leq f(x)\}$$
\begin{small}
$\mathscr D$ est le domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équation $x=a$ et $x=b$
\end{small}
On note $$ \mathscr A(\mathscr D)=\int_a^bf(x)dx$$
Les réels $a$ et $b$ s'appellent les bornes de l'intégrale.
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.14}
\end{center}

\Rqs{\item La variable $x$ figurant dans l'intégrale est \og muette \fg ; on aurait pu tout aussi bien la noter par n'importe quelle autre lettre i.e $$ \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(t)dt$$
\item L'aire de $\mathscr D$ est de mesure finie. En effet, $f$ est continue sur le segment $[a;b]$ donc majorée. Il existe donc un rectangle contenant $\mathscr D$}
\pagebreak
\subsection{Premiers exemples}

\subsubsection{Cas d'une fonction constante positive}
On considère une fonction $f$ constante égale à $k\geq 0$. Si le repère est orthonormal avec $\mid\mid\vec i \mid\mid =\mid\mid j\mid\mid=1$ cm, alors :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.15}
\end{center}

On a simplement appliqué la formule donnant l'aire d'un rectangle : $\ell\times L$.\\
Si $k=0$, on a :
$$ \int_a^b f(x)dx=0\text{ u.a}$$
Si $k=1$, on a :
$$ \int_a^b f(x)dx=b-a=\text{ longueur du segment }[a;b]$$
\subsubsection{Cas d'une fonction affine}
On considère une fonction affine $f$ positive sur le segment $[a;b]$ et définie par $ f(x)=mx+p$
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.16}
\end{center}

On décompose l'aire du trapèze $ABED$ comme la somme des aires du rectangle $ABCD$ et $CDE$, on a alors :
$$ \int_a^b f(x)dx=\mathscr A(ABCD)+\mathscr A(CDE)=f(a)\times (b-a)+\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\text{ u.a}$$

\Applic{Calculons $\int_1^{8} \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}dx$.\\
On a $f(1)=2$ et $f(8)=5,5$, par conséquent :
$$ \int_1^{8} \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}dx=2\times 6+\dfrac{2+5,5}{2}=12+\dfrac{15}{4}=\dfrac{48+15}{4}=\dfrac{63}{4}=15,75 \text{ u.a}$$
Si de plus, le repère est orthogonal avec $\mid\mid \vec i\mid \mid=2$ cm et $\mid \mid \vec j\mid \mid=1$ alors $1$ u.a=$2$ cm$^2$ et donc : 
$$  \int_1^{8} \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}dx=15,75\times 2=31,5\text{ cm}^2$$}

\subsubsection{Cas d'une fonction en escalier}
Il s'agit des fonctions pour lesquelles il existe des réels $x_0$, $x_1$, $\dots$, $x_n$ vérifiant :
$$ a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$$
tels que $f$ soit constante sur chacun des intervalles ouverts $]x_i;x_{i+1}[$ ($0\leq i\leq n-1$). L'ensemble $\{x_0;x_1;\dots;x_n)$ est appelé une subdivision adaptée à $f$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.2}
\end{center}


En notant $\lambda_i$ la valeur constante de $f$ sur $]x_i;x_{i+1}[$, on a alors :
$$ \int_a^b f(x)dx=\sum_{i=0}^{i=n-1} (x_{i+1}-x_i)\lambda_i$$

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par :
$$ f(x)=\sqrt{1-x^2}$$
\begin{description}
\item Vérifier que la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ est le demi-cercle de centre $O$ et de rayon $1$ qui est situé dans le demi-plan des ordonnées positives.
\item En déduire que $$ \int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$$
\end{description}}


\Sol{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \begin{center}
\includegraphics[scale=1.5]{integration/integration.17}
\end{center}
\item L'aire d'un cercle de rayon $1$ valant $\pi$, celle du quart de cercle vaut elle $\dfrac{\pi}{4}$ d'où 
$$ \int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\subsubsection{Quadrature de la parabole}

On se propose de déterminer $ \int_0^1 x^2 dx$.\\

Découpons le segment $[0;1]$ en $n$ intervalle égaux et considérons les deux suites de rectangles comme dans le schéma suivant (une qui minore l'aire sous la courbe et une qui majore l'aire sous la courbe) :

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0.6 0.6 0.7}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.7 0.8 0.7}
\psset{xunit=9.0cm,yunit=9.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.41,-0.16)(1.87,1.26)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(0.03,0)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.03,0)(0.07,0)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.07,0)(0.1,0.01)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.1,0)(0.13,0.02)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.13,0)(0.17,0.03)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.17,0)(0.2,0.04)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.2,0)(0.23,0.05)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.23,0)(0.27,0.07)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.27,0)(0.3,0.09)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.3,0)(0.33,0.11)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.33,0)(0.37,0.13)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.37,0)(0.4,0.16)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.4,0)(0.43,0.19)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.43,0)(0.47,0.22)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.47,0)(0.5,0.25)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.5,0)(0.53,0.28)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.53,0)(0.57,0.32)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.57,0)(0.6,0.36)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.6,0)(0.63,0.4)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.63,0)(0.67,0.44)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.67,0)(0.7,0.49)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.7,0)(0.73,0.54)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.73,0)(0.77,0.59)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.77,0)(0.8,0.64)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.8,0)(0.83,0.69)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.83,0)(0.87,0.75)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.87,0)(0.9,0.81)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.9,0)(0.93,0.87)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.93,0)(0.97,0.93)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.97,0)(1,1)
\psframe[linecolor=black,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(0.03,0)
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\psframe[linecolor=black,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.27,0)(0.3,0.07)
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\psframe[linecolor=black,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.97,0)(1,0.93)
\psline{->}(0,-0.1)(0,1.2)
\psline{->}(-0.3,0)(1.5,0)
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{x^2}
\rput[tl](1.05,1.04){$y=x^2$}
\rput[tl](0.36,-0.12){Quadrature de la parabole}
\rput[tl](1,-0.01){$1$}
\rput[tl](-0.04,1.11){$1$}
\rput[tl](-0.04,1.23){$y$}
\rput[tl](1.51,-0.02){$x$}
\rput[tl](0.26,1){Calcul de $\int_0^1 x^2dx$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Notons $s_n$ l'aire des rectangles minorant  $ \int_0^1 x^2 dx$ et $S_n$ l'aire des rectangles majorant l'aire  $ \int_0^1 x^2 dx$. On alors :
$$s_n\leq  \int_0^1 x^2 dx\leq S_n$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n\in\N^*$ on a : $ s_n=\dfrac{1}{n^3}\left(1^2+2^2+3^2+\dots+(n-1)^2\right)=\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2$
\item Démontrer que pour tout $n\in\N^*$ on a : $ S_n=s_n+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$
\item Démontrer, par récurrence, que : $ \sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
\item En déduire la limite de la suite $(s_n)$ puis celle de $(S_n)$.
\item En déduire que $ \int_0^1 x^2 dx=\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}
\subsection{Valeur Moyenne}



\Defc{Soit $f$ une fonction continue et positive sur le segment $[a;b]$.\\
La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le réel $\mu$:
$$ \mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$$}


\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.10}
\end{center}
 Comme $ \int_a^b\mu dx=\mu(b-a)$ (en effet il s'agit de l'aire du rectangle de hauteur $\mu$ et de largeur $b-a$.\\
 Compte tenu de la définition de $\mu$ on a alors 
  $$  \int_a^b\mu dx=\mu(b-a)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\times (b-a)=\int_a^b f(x)dx$$
  Ainsi l'aire sous la courbe de $f$ entre $[a;b]$ est égale à l'aire du rectangle dont les dimensions sont $b-a$ et $\mu$ (valeur moyenne de $f$).
  

\subsection{Extension aux fonctions de signe quelconque}


\Defc{On considère une fonction $f$ continue sur le segment $[a;b]$.\\
On appelle intégrale de $f$ de $a$ à $b$ le nombre ainsi défini :
\begin{enumerate}
\item Si $f$ est négative sur $[a;b]$ : $ \int_a^b f(x) dx= -\mathscr A(\mathscr D)=-\int_a^b \mid f(x)\mid dx$
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{integration/integration.18}
\end{center}
\item Si $f$ est de signe quelconque sur $[a;b]$, on définit deux nouvelles fonctions :
$$ f^+(x)=\left\{ \begin{array}{l} f(x) \text{ si }x\geq 0 \\ 0 \text{ sinon}  \end{array} \right.\qquad \text{et}\qquad f^-(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0\text{ si }x\geq 0 \\ f(x) \text{ sinon}  \end{array} \right.$$
\begin{center}
Ainsi définit $f^+$ est positive et $f^-$ est négative  et  $ \int_a^b f(x)dx=\int_a^b f^+(x)dx+\int f^-(x)dx$
\end{center}
\end{enumerate}
\begin{small}
En d'autres termes $\int_a^b f(x)dx$ se calcule en comptant positivement l'aire des domaines où $f$ est postive et négativement l'aire des domaines où $f$ est négative.\\
\newrgbcolor{qqqqcc}{0.6 0.6 0.7}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.7 0.8 0.7}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=1.1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.91,-2.94)(6.42,4.94)
\pscustom[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{0}{0.5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(0.5,0)\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=zzqqqq,fillcolor=zzqqqq,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{0.5}{2.5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(2.5,0)\lineto(0.5,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{2.5}{3}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(3,0)\lineto(2.5,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=zzqqqq,fillcolor=zzqqqq,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{3}{4}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(4,0)\lineto(3,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{4}{5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(5,0)\lineto(4,0)\closepath}
\psline{->}(-1,-2)(-1,4)
\psline{->}(-1.91,0.01)(6.12,-0.01)
\rput[lt](-1.3,4.1){\parbox{1.12 cm}{$y$}}
\rput[tl](6.16,-0.14){$x$}
\rput[tl](3.14,3.36){$\int_a^b f(x) dx=\textcolor{zzqqqq}{\mathscr A(\mathscr D^+)}-\textcolor{qqqqcc}{\mathscr A(\mathscr D^-)}$}
\rput[lt](-0.01,-1.12){\parbox{6 cm}{\begin{center}Intégrale d'une fonction f de signe quelconque sur le segment [a;b]\end{center}}}
\rput[tl](0.44,2.95){$y=f(x)$}
\rput[tl](1.23,1){$\white{\mathscr D^+}$}
\rput[tl](3.49,0.35){$\white{\mathscr D^+}$}
\rput[tl](0.09,-0.25){$\white{\mathscr D^-}$}
\rput[tl](4.48,-0.65){$\white{\mathscr D^-}$}
\rput[tl](-0.07,0.25){$a$}
\rput[tl](4.95,0.25){$b$}
\rput[tl](4.54,0.30){$I$}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{0.5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psplot[plotpoints=200]{0.5}{2.5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psplot[plotpoints=200]{2.5}{3.0}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psplot[plotpoints=200]{3.0}{4.0}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psplot[plotpoints=200]{4.0}{5.0}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psline[linewidth=2.5pt](0,0)(5,0)
\end{pspicture*}
\end{small}
}

\pagebreak

\Expl{Calculons : $$ \int_0^4 3-x dx$$
$3-x\geq 0\Longleftrightarrow x\leq 3$, par conséquent :
$$\int_0^4 3-x dx= \int_0^3 3-x dx + \int_3^4 3-x dx=\dfrac{3\times 3}{2}-\dfrac{1\times 1}{2}=4 $$}

\Rqs{\item La définition de la valeur moyenne reste inchangée.
\item L'intégrale d'une fonction continue est donc l'aire algébrique.
\item L'objectif de la suite de la leçon est d'établir un moyen simple de calculer cette intégrale, on verra que l'on peut effectuer ce calcul à l'aide des primitives.}

\section{Propriétés de l'intégrale d'une fonction $f$ sur le segment $[a;b]$.}


\subsection{Propriétés algébriques}
\Ptec{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Alors :
\begin{itemize}
\item Pour tout $a\in I$ on a $ \int_a^a f(x) dx=0$
\item Pour tous $a$, $b$ et $c$ de $I$ tels que $a<c<b$ :
$$ \int_a^c f(x) dx+\int_c^b f(x)dx=\int_a^b f(x) dx$$
\begin{center}
\begin{footnotesize}
Il s'agit de la relation de Chasles
\end{footnotesize}
\end{center}
\end{itemize}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item L'aire d'un domaine de largeur nulle vaut $0$, d'où le résultat.
\item En additionnant les deux aires algébriques représentés par $ \int_a^c f(x) dx$ et par $\int_c^b f(x)dx$, on obtient $\int_a^b f(x) dx$, comme dans le représentation ci-dessous
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figTSc_integrale/figTSc_integrale.4}
\end{center}
\end{enumerate}}

\Rq{Les deux relations précédentes nous autorisent à étendre encore la définition de l'intégrale à des bornes quelconques ; en effet pour rester valable, de façon formelle, la relation de Chasles, nous devons avoir :
$$ \int_a^b f(x)dx+\int_b^a f(x)dx=\int_a^a f(x)dx=0\Longleftrightarrow \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx $$}

\Defc{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$. \\
Si $a\geq b$ on pose :
$$ \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$$}

\Ptec[Admis]{
\begin{enumerate}
\item \textbf{Relation de Chasles (bornes quelconques)}\\ Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant $a$, $b$ et $c$. Alors :
$$ \int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x) dx=\int_a^b f(x)dx$$
\item\textbf{Linéarité de l'intégrale} \\
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$. Alors, pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ :
$$ \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^b f(x)+\beta\int_a^b g(x)dx$$
\end{enumerate}}

\Expl{Déterminons :
$$ \int_0^1 5x^2+3xdx$$
D'après la propriété précédente on a :
$$ \int_0^1 5x^2+3xdx=5\int_0^1 x^2dx+\int_0^1 3x dx=5\dfrac{1}{3}+\int_0^1 3xdx=\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{19}{6}\text{ u.a}$$
On a vu en début de leçon que $ \int_0^1 x^2dx=\dfrac{1}{3}$}


\subsection{Intégrales et inégalités}

\Thc{Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$ :
\begin{enumerate}
\item \textbf{Positivité} :\\
Si $f\geq 0$ sur $[a;b]$ alors $\qquad \qquad \int_a^b f(x)dx\geq 0$.
\item \textbf{Ordre} : \\
Si $f\leq g$ sur $[a;b]$ alors : $\qquad \qquad \int_a^b f(x)dx\leq \int_a^b g(x)dx$
\item \textbf{Inégalité de la moyenne} \\
Si, pour tout $x$ de $[a;b]$ $m\leq f(x)\leq M $, alors :
$$ m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)$$
\item \textbf{Inégalité triangulaire} \\
On a :
$$ \left| \int_a^b f(x)dx\right|\leq \int_a^b \mid f(x)\mid dx$$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item Comme $f$ est positive sur le segment $[a;b]$, l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ représente une aire et est donc positive ou nulle.
\item On a $f\leq g\Longleftrightarrow g-f\geq 0$ et grâce à la propriété précédente on a donc  :
$$ \int_a^b g(x)-f(x)dx\geq 0$$
Comme l'intégrale est linéaire on a :
$$ \int_a^b g(x)dx - \int_a^b f(x)dx \geq 0\Longleftrightarrow \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$$
\item En utilisant $2.$ comme $m\leq f(x)$ on a :
$$ \int_a^b mdx\leq \int_a^b f(x)dx\Longleftrightarrow m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx$$
De même comme $f(x)\leq M$ on a :
$$ \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b Mdx=M(b-a)$$
Ainsi $$ m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)$$
\item \underline{Rappel} : $-M\leq f(x)\leq M\Longleftrightarrow \mid f(x)\mid \leq M$\\
On a pour tout $x\in [a;b]$ : $-\mid f(x)\mid \leq f(x) \leq \mid f(x)\mid $ et donc :
$$ -\int_a^b \mid f(x) \mid dx\leq \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b \mid f(x) \mid dx\Longleftrightarrow \left| \int_a^b f(x)dx\right|\leq \int_a^b \mid f(x)\mid dx$$
\end{enumerate}}

\Expl{Etudions la limite de la suite $(u_n)$, avec $u_n=\int_n^{n+1} e^{-x}dx$.\\
On a pour tout $x\in [n;n+1]$ :
$$ 0\leq e^{-x}\leq e^{-n}$$
d'où $$ 0\leq u_n e^{-n}(n+1-n)=e^{-n}$$
On en déduit, par le théorème des gendarmes que $\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$ puisque $ \displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty} e^{-n}=0$}


\section{Primitive d'une fonction et théorème fondamental du calcul intégral}

\subsection{De l'aire sur une courbe à la recherche de primitive}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.34,-0.58)(5.29,3.78)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.34,-0.58)(5.29,3.78)
\psplot[plotpoints=200]{-0.33601328903654387}{5.28672572905131}{2.72^(x-3)}
\psline(2.5,0.61)(2.5,0)
\psline(4.3,0)(4.1,0)
\psline(4.1,3)(4.1,0)
\psline(4.3,3.67)(4.3,0)
\rput[tl](2.44,-0.2){$$a$$}
\rput[tl](4.06,-0.2){$x$}
\rput[tl](4.21,-0.2){$x+h$}
\rput[tl](3.24,0.81){$\mathscr A(x)$}
\rput[bl](-1.21,-0.16){$f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On considère une fonction continue, positive et croissante sur l'intervalle $[a;b]$, dans ce cas notons $\mathscr A(x)=\int_a^x f(t)dt$.\\
\textbf{Objectif} : Montrons que $\mathscr A'(x)=f(x)$.
\\
Pour cela considérons un réel $h>0$, et intéressons nous à l'aire sous la courbe entre $x$ et $x+h$, on a :
$$ \int_x^{x+h} f(t)dt=\mathscr A(x+h)-\mathscr A(x)$$
Cette aire est comprise entre deux rectangles de largeur $h$ et de hauteur $f(x)$ et $f(x+h)$, d'où :
$$ hf(x)\leq \mathscr A(x+h)-\mathscr A(x)\leq hf(x+h)\Longleftrightarrow f(x)\leq \dfrac{\mathscr A(x+h)-\mathscr A(x)}{h}\leq f(x+h)$$ 
On obtient alors lorsque $h$ tend vers $0$ :
$$ f(x)\leq \mathscr A'(x)\leq f(x)\Longleftrightarrow f(x)=\mathscr A'(x)$$
De plus $\mathscr A(a)=0$. Ainsi on est amené à rechercher une fonction dont la dérivée est $f(x)$ et qui s'annule en $a$.

\Applic{$\mathscr A(x)=\int_a^x t^2 dt$. On recherche une fonction qui vérifie $\mathscr A'(x)=x^2$ et $\mathscr A(a)=0$.\\
On obtient $\mathscr A(x)=\dfrac{x^3}{3}+k$ avec $\mathscr A(a)=0\Longleftrightarrow k=-\dfrac{a^3}{3}$.\\
Par conséquent :
$$ \mathscr A(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{a^3}{3}$$
Ainsi $\int_2^4 t^2 dt=\dfrac{4^3}{3}-\dfrac{2^3}{3}=\dfrac{64-8}{3}=\dfrac{56}{8}$
} 
\subsection{Notion de primitive}

\Defc{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. \\
On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$ sur $I$}

\Expl{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x^2-2x+\cos x$$
Déterminons (mentalement) une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.\\
La fonction $F$ définie par :$$ F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\sin x$$
convient; en effet pour tout $x\in\R$, la fonction $F$ est dérivable (comme somme de fonctions qui le sont) et  
$$F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-2x+\cos x=f(x)$$
Remarquons que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $$G(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\sin x+12 $$
convient aussi puisque la dérivée d'une constante est nulle. Par conséquent si $f$ admet une primitive, alors elle en admet une infinité.}



\subsection{Ensemble des primitives d'une fonction}

\Thc{Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$. \\
Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$.\\
Alors $F$ et $G$ diffèrent d'une constante :
$$ F(x)=G(x)+c\qquad (c\in\R) \text{ pour tout }x\in I$$}

\Dem{Puisque $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ sur $I$ alors $F'=G'=f$ sur $I$.\\
Par conséquent $$ F'-G'=0 \text{ sur } I\Longleftrightarrow (F-G)'=0 \text{ sur } I$$
Or, les seules fonctions qui ont une dérivée nulle sont les fonctions constantes, donc on a, sur $I$ :
$$ F-G=c \text{ où $c$ est une constante}$$}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.20}
\end{center}

\subsection{Primitive vérifiant une \og condition initiale \fg}

\Thc{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ admettant des primitives sur $I$. Soit $x_0$ et $y_0$ deux réels.\\
Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ satisfaisant la condition initiale $F(x_0)=y_0$}

\Dem{Soit $G$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors toutes les primitives  de la fonction $f$ sont de la forme $$ \forall x\in I\qquad F(x)=G(x)+c\qquad \text{ où }c\in\R$$
On a alors $F(x_0)=G(x_0)+c$. En choisissant pour $c=y_0-G(x_0)  $ on obtient l'existence d'une primitive $F$ telle que $F(x_0)=y_0$ et pour $c\neq y_0-G(x_0)$ on aura alors $F(x_0)\neq y_0$, ainsi il existe une unique primitive satisfaisant la condition $F(x_0)=y_0$.}

\Expl{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
Trouvons l'unique primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(0)=2$.\\
Notons que $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$, autrement dit $\sqrt{u}$ est une primitive de $\dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$.\\
Ici $u(x)=x^2+1$ et donc $u'(x)=2x$, en réécrivant $f(x)=\dfrac{2x}{2 \sqrt{x^2+1}}$, on trouve que $F_0$ définie sur $\R$ par $$ F_0(x)=\sqrt{x^2+1}$$
est une primitive de $f$ sur $\R$.\\
Par conséquent les primitives de $f$ sur $\R$ sont de la forme $$ F(x)=\sqrt{x^2+1}+c\qquad \text{ où $c$ est une constante }$$
Comme $F(0)=2$ on a $$ \sqrt{0^2+1}+c=2\Longleftrightarrow 1+c=2\Longleftrightarrow c=1$$
Ainsi la primitive cherchée est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\sqrt{x^2+1}+1$}

\Rqs{\item Trouver une primitive d'une fonction $f$ se fait à l'aide des formules de la dérivée que l'on utilise \og dans l'autre sens \fg. Le tableau suivant éclaircira ce point.
\item Une question naturelle se pose, une fonction admet-elle toujours des primitives ? La réponse est non en général, en revanche si cette fonction est continue, eh bien c'est l'objet de la suite du cours... }
\pagebreak
\subsection{Tableaux de primitives}
Les résultats de ce tableau s'établissent en vérifiant simplement que l'on a bien $F'(x)=f(x)$ sur l'intervalle considéré.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction $f$} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Primitive $F$, $c\in\R$ }} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Intervalle $I$} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $f(x)=k$ (constante) & $F(x)=kx+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$f(x)=x$ & $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=ax+b$ ($a$ et $b$ réel) & $F(x)=\dfrac{1}{2}ax^2+bx+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=x^n$ ($n\in\Z^*$ et $n\neq 1$) & $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ & $\R$ si $n>0$ et $\R^*$ sinon\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $f(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{x}}$ & $F(x)=2 \sqrt{x}+c$ & $\R^{+*}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$  & $F(x)=-\dfrac{1}{x}+c$ & $\R^*$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$f(x)=\cos x$  & $F(x)=\sin x+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\sin x$ & $F(x)=-\cos x+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=1+\tan^2 x$ & $F(x)=\tan x$ & $\R-\{k \dfrac{\pi}{2};k\in\Z \}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=e^x$ & $F(x)=e^x+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\dfrac{1}{x}$ & $F(x)=\ln x+c$ & $]0;+\infty[$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
  \Exop{Déterminer pour chacune des fonctions suivantes une primitive : 
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{6x^2-5x+3}{7}$.
	\item $g$ d\'efinie sur $\R$ par $g(x)=7x(3x^2+5)^4$.
	\item $h$ d\'efinie sur $\left] 2 ; +\infty \right[$ par $h(x)=\dfrac{4x^3+2}{\sqrt{x^4+2x-3}}$. 
\end{enumerate}	
%\end{multicols}
}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline 
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{6ex}\textbf{\begin{LARGE}
Opération sur les primitives
\end{LARGE}} } \tabularnewline
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{5ex}\textbf{lorsque $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$} } \tabularnewline
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Une Primitive}} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Conditions} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $u'+v'$  & $u+v$ & \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$ku'$ ($k$ constante) & $ku$ & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u' u^n$  & $ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ & $u\neq 0$ sur $I$ si $n\leq 0$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{u'}{ \sqrt{u} }$ & $2\sqrt{u}$ & $u > 0$ sur $I$\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{v'}{v^2} $ &  $ -\dfrac{1}{v} $ &  $v \neq 0$ sur $I$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u' e^u $  & $e^u$ &  \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{8ex}$\dfrac{u'}{u}$  & $\ln (\mid u \mid)$ &  si $u\neq 0$ sur $I$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u'(v'\circ u)$ & $v\circ u$ &  \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
  \Expl{Trouvons une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par :
  $$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$$
  La fonction $f$ est de la forme $u'u$. Donc $F$ est de la forme $\dfrac{1}{2}u'u^2$ :
  $$ F(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2 x+c$$}
  
  \Exop{Soit $F$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$. Calculer $F'(x)$. Qu'a-t-on démontré ?}
  
  \Exop{Calculer une primitive de $f_i$ dans les cas suivants :
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
\item $f_1(x)=\dfrac{x+1}{(x^2+2x+2)^2}$
\item $f_2(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
\item $f_3(x)=\tan x$
\item $f_4(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$
\end{enumerate}
  \end{multicols}}
\pagebreak
\subsection{Théorème fondamental du calcul intégral}

Nous allons voir maintenant le théorème fondamental du calcul intégral qui aura pour conséquent que toute fonction continue admet des primitives, et qui nous permettra de calculer l'intégrale d'une fonction continue sur un segment dès lors que l'on connait l'une de ses primitives.

\Thc{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $x_0\in I$.
\\
La fonction $F$ définie sur $I$ par :
$$F(x)=\int_{x_0}^x f(t)dt $$
est l'unique primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $x_0$. 
\\
Autrement dit : $F(x_0)=0$ et $F$ est une fonction dérivable sur $I$ et pour tout réel $x\in I$ on a $F'(x)=f(x)$.}

\Dem{Le fait que $F(x_0)$ soit nul est évident. Il s'agit de démontrer que $F$ est dérivable sur $I$ et que $F'=f$ sur $I$ i.e on veut montrer que le taux d'accroissement de $F$ qui vaut $ \dfrac{F(x)-F(x_1)}{x-x_1}$ admet une limite lorsque $x$ tend vers $x_1$ et que cette limite est précisément $f(x_1)$. C'est parti :
$$ \mid \dfrac{F(x)-F(x_1)}{x-x_1}-f(x_1) \mid=\dfrac{1}{\mid x-x_1\mid} \mid\int_{x_0}^x f(t)dt -\int_{x_0}^{x_1} f(t)dt-(x-x_1)f(x_1)\mid $$
Or, $(x-x_1)f(x_1)=\int_{x_1}^x f(x_1)dt$ et par la relation de Chasles on a $ \int_{x_0}^x f(t)dt -\int_{x_0}^{x_1} f(t)dt=\int_{x_1}^x f(t)dt$ d'où :
$$ \mid \dfrac{F(x)-F(x_1)}{x-x_1}-f(x_1) \mid=\dfrac{1}{\mid x-x_1\mid}\mid\int_{x_1}^x f(t)dt-\int_{x_1}^x f(x_1)dt\mid$$
D'après la linéarité de l'intégrale on a :
$$ \int_{x_1}^x f(x)dx-\int_{x_1}^x f(x_1)dx=\int_{x_1}^x( f(x)-f(x_1)) dx$$
Ainsi :
$$ \mid \dfrac{F(x)-F(x_1)}{x-x_1}-f(x_1) \mid=\dfrac{1}{\mid x-x_1\mid}\mid\int_{x_1}^x( f(x)-f(x_1)) dx\mid$$
Et d'après l'inégalité triangulaire :
$$ \mid \dfrac{F(x)-F(x_1)}{x-x_1}-f(x_1) \mid\leq \dfrac{1}{\mid x-x_1\mid}\mid \int_{x_1}^x\mid f(t)-f(x_1)\mid dt\mid $$
Or, $f$ est continue en $x_1$ donc admet une limite finie en $x_1$ i.e $\Lim{x_1} f(x)=f(x_1)$. Cela signifie que tout intervalle ouvert et centré en $f(x_1)$ contient toutes les valeurs $f(t)$ pour $t$ assez proche de $x_1$.
\\
Ainsi pour $\epsilon >0 $ et $I=]f(x_1)-\epsilon;f(x_1)+\epsilon[$ dès lors que $t$ estsuffisament proche  de $x_1$ $f(t)\in I$ i.e :
$$ \mid f(t)-f(x_1)\mid \leq \epsilon$$
Ce qui prouve que :
$$ \mid \dfrac{F(x)-F(x_1)}{x-x_1}-f(x_1) \mid\leq \dfrac{1}{\mid x-x_1\mid}\mid \int_{x_1}^x\epsilon dt\mid =\dfrac{1}{\mid x-x_1\mid}\times \epsilon \mid x-x_1\mid =\epsilon $$ 
Comme $\epsilon$ peut-être choisi aussi petit que l'on veut alors $ \Lim{x_1} \dfrac{F(x)-F(x_1)}{x-x_1}=f(x_1)$.
Par conséquent $F$ est dérivable en $x_1$ et $F'(x_1)=f(x_1)$, et comme ce raisonnement est  valable quelque soit $x_1 \in I$, $F$ est bien l'unique primitive de $f$ sur $I$
}
\pagebreak

\Corc{Toute fonction continue sur un intervalle $I$  admet des primitives sur $I$ }

\Dem{D'après le théorème précédent, si $f$ est continue sur $I$ alors $ F$ définie sur $I$ par $F(x)=\int_{x_0}^x f(t)dt $ est une primitive de $f$ sur $I$}


\Corc[Formule de Newton-Leibniz]{Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$, alors pour tous $a$ et $b$ de $I$ on a :
$$ \int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$$}

\Dem{Soit $G$ la primitive de $f$ sur $I$ telle que $ G(x)=\int_{x_0}^x f(t) dt$ avec $x_0\in I$.\\
On sait que deux primitives $F$ et $G$ diffèrent d'une constante, donc il existe une constante $k\in\R$ telle que pour tout $x\in I$ on a :
$$F(x)=G(x)+k $$
On a alors :
$$ F(b)-F(a)=G(b)-G(a)=\int_{x_0}^b f(t)dt-\int_{x_0}^a f(t) dt=\int_a^{x_0} f(t) dt+\int_{x_0}^b f(t) dt= \int_a^b f(t) dt$$
}

\Rq{On note dans la pratique $[F(t)]_{a}^b$}

\Expl{Le corollaire précédent est un résultat puissant qui nous permet de calculer les intégrales (et donc les aires) suivantes avec une grande aisance :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}dx=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^2=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{2}$
\item $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos tdt=\left[\sin t\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2$ 
\item $\int_0^1 e^tdt= [e^t]_0^1=e-1$
\item $\int_x^1e^t dt=[e^t]_x^1=e-e^x$
\item $\int_1^x \dfrac{1}{t} dt=[\ln t]_1^x=\ln x-\ln 1=\ln x$
\item $\int_0^1 x^n dx=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\dfrac{1}{n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Rqs{\item Le choix de la primitive $F$ choisie n'influe pas sur le résultat de l'intégrale. En effet si $F$ et $G$ sont deux primitives diffèrentes de $f$, alors les quantités $F(b)-F(a)$ et $G(b)-G(a)$ sont identiques.
\item On vient de voir dans l'exemple précédent que $\int_1^x \dfrac{1}{t} dt=[\ln t]_1^x=\ln x=\ln x$.\\
On peut ainsi définir la fonction logarithme népérien de manière géométrique, comme étant l'aire sous la courbe de la fonction inverse lorsque $x>1$ ou comme l'opposé de l'aire sous la courbe de la fonction inverse lorsque $0<x<1$ :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figTSc_integrale/figTSc_integrale.15}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{figTSc_integrale/figTSc_integrale.16}
\end{center}}



\pagebreak

\section{Intégration par parties}
\Rq{On dit qu'une fonction est de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ si et seulement si elle est dérivable sur $I$ et sa dérivée $f'$ est continue sur $I$.}

\Thc{Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ alors :
$$\int_a^b u(t)v'(t)dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)dt $$}

\Dem{On sait que pour tout $t\in [a;b]$ on a :
$$ (uv)'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$$
En intégrant membre à membre, sur le segment $[a;b]$, on obtient :
$$ \int_a^b (uv)'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)+u(t)v'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt$$
Ainsi :
$$ [u(t)v(t)]_a^b=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt$$
i.e :
$$\int_a^b u(t)v'(t)dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)dt $$}


\Expl{Calculer $I=\int_0^1 te^tdt$ et $J=\int_1^x\ln t dt$.
\\
Commencons par le calcul de $I$, pour cela posons $u(t)=t$ et $v'(t)=e^t$, dans ce cas on a $u'(t)=1$ et $v(t)=e^t$ et donc :
$$ I=[te^t]_0^1-\int_0^1 e^tdt=e-[e^t]_0^1=e-e+1=1$$
Pour le calcul de $J$, posons $u(t)=\ln t$ alors $u'(t)=\dfrac{1}{t}$ et $v'(t)=1$ alors $v(t)=t$ et donc :
$$ J=[t\ln t]_1^x-\int_1^x t\times \dfrac{1}{t}dt=x\ln x-\ln 1-\int_1^x 1dt=x\ln x-(x-1)=x\ln x-x+1$$}

\section{Calcul d'aires et de volumes}

\subsection{Aire entre deux courbes}

\Ptec[Calcul de l'aire située entre deux courbes]{Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$.\\
On suppose que $g\leq f$ sur $[a;b]$, alors l'aire du domaine $\mathscr D$ défini par :
$$ \mathscr D=\{M(x;y)\in \mathscr P \text{ tels que }a\leq x\leq b \text{ et } g(x)\leq y\leq f(x)$$
est donnée, en u.a, par :
$$ \int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x) dx=\int_a^bf(x)-g(x)dx$$}

\Dem{Cas où $f$ et $g$ sont positives :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figTSc_integrale/figTSc_integrale.2}
\end{center}
Si les fonctions $f$ et $g$ sont positives le résultat est élémentaire, la différence des aires des domaines délimités par $f$ et $g$ donne bien l'aire entre les deux courbes et vaut :
$$  \int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x) dx=\int_a^bf(x)-g(x)dx$$}

\Dem{Cas où $f$ et $g$ sont de signes quelconques :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figTSc_integrale/figTSc_integrale.3}
\end{center}
Par définition $$ \int_a^b f(x)dx=\int_a^b f^+(x)dx+\int_a^bf^-(x)dx$$
Et de la même manière 
$$ \int_a^b g(x)dx=\int_a^b g^+(x)dx+\int_a^b g^-(x)dx$$
Notons $F_1=-\int_a^b f^-(x)dx$ et $F_2=\int_a^b f^+(x)dx$, dans ce cas $F_1$ représente l'aire entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ pour la partie de la courbe située sous l'axe des abscisses, inversement $F_2$ représente l'aire entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ pour la partie de la courbe située au dessus de l'axe des abscisses.\\
On définit de même $G_1=-\int_a^b g^-(x)dx$ et $G_2=\int_a^b g^+(x)dx$. Notons $\mathscr A$ l'aire située entre les deux courbes, on a alors :
$$ \mathscr A=G_1-F_1+F_2-G_2$$
De plus :
$$  \int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x) dx=\int_a^b f^+(x)dx+\int_a^bf^-(x)dx-\int_a^b g^+(x)dx-\int_a^b g^-(x)dx=F_2-F_1-G_2+G_1=G_1-F_1+F_2-G_2$$
Par conséquent  :
$$ \int_a^bf(x)-g(x)dx=\mathscr A$$}


\Expl{Soit $f$ et $g$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$. Notons que sur $[0;1]$ on a $x\geq x^2$. \\
L'aire $\mathscr A$ entre $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_f$ sur le segment $[0;1]$ est :
$$ \mathscr A=\int_0^1 g(x)-f(x)dx=\int_0^1 (x-x^2)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\text{ u.a}$$}

\begin{center}
\begin{center}  
%-------------- unités  
\psset{xunit=10cm,yunit=10cm}  
  
%-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)  
\def\xmin{-0.1}   
\def\xmax{1.1}   
\def\ymin{-0.1}   
\def\ymax{1.1}  
%-------------- définition de la fonction \f et \g  
\def\f{x 2 exp}  
\def\g{x}  
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)  
%-------------- découpage de la boîte  
\psclip{\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)}  
%-------------- aire sous la courbe  
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=zzqqqq] % aire coloriée  
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt] % aire hachurée  
{  
   \psplot{0}{1}{\f} % {a}{b} la fonction \f  
  
   \psplot{1}{0}{\g} % {a}{b} la fonction \g  
}  
%-------------- [graduations]  
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)  
%-------------- grilles   
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=8,griddots=2](0,0)(0,0)(1,1)  
%-------------- repère Oij  
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)  
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}  
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)  
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}  
%------------- {a}{b}{tracé de la fonction \f sur [a,b]}  
\psplot[plotpoints=200]  
{1}{1}{\f}  
\uput[d](0.5,0.1){$(\mathscr{C}_f)$}  
%------------- {a}{b}{tracé de la fonction \g sur [a,b]}  
\psplot[plotpoints=200]  
{0}{1}{\g}  
\uput[ul](0.75,0.75){$(\Delta)$}  
%---------------- carré  
\psline(1,0)(1,1)(0,1)  
%----------- point particulier A  
\def\x_A{1}  
\def\y_A{1}  
\psdots(\x_A,\y_A)  
\uput[ur](\x_A,\y_A){$A$}  
%------------- fin du découpage  
\endpsclip  
\end{pspicture}   
\end{center}  

\end{center}

\pagebreak
\subsection{Volumes}
\Thc{
%\begin{multicols}{2}
Dans l'espace munit d'un repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ on considère un solide déliminté par des plans parallèles d'équation $z=a$ et $z=b$. Si la fonction $S$ qui a toute cote $z$ associe l'aire de la section contenue dans le plan perpendiculaire à l'axe $(O;\vec k)$  est continue sur $[a;b]$ alors le volume $V$ du solide est donné par la formule : $$ V=\int_a^b S(z) dz \text{ u.v}$$  
\begin{footnotesize}
L'unité de volume est le volume du parallélépipède rectangle unité
\end{footnotesize}}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figTSc_integrale/figTSc_integrale.7}
\end{center}



\Expl{\begin{multicols}{2}Volume d'une sphère de rayon $R$.
\\
On a $IM^2=R^2-OI^2=R^2-z^2 $, ainsi :
$$ S(z)=\pi (R^2-z^2)$$
On en déduit :
$$ V=\pi\int_{-R}^R R^2-z^2dz=\pi\left[R^2z-\dfrac{z^3}{3}\right]_{-R}^R=\pi\left(R^3-\dfrac{R^3}{3}+R^3-\dfrac{R^3}{3}\right)$$ 
$$V=2\pi\left(R^3-\dfrac{R^3}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\pi R^3 \text{ u.v} $$
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figure.1}
\end{center}
\end{multicols}}


\section{Compléments}

\begin{LARGE}
\begin{center}
\textbf{Intégrales de Wallis}
\end{center}
\end{LARGE}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
Il s'agit, pour $n\in\N$ des intégrales suivantes :
$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n dt\qquad J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t)^n dt\qquad K_n=\int_{-1}^{1} (1-t^2)^n dt\qquad L_n=\int_{-1}^{1} (t^2-1)^n dt$$

\begin{large}
\noindent\textbf{Calcul de $I_n$ par IPP}
\end{large}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
On a immédiatement : $I_0=\dfrac{\pi}{2}$ et $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt =1$.\\
Pour tout $n\geq 0$, on a par IPP : $(u(t)=(\cos t)^{n+1}$ et $v'(t)=\cos t)$. :
\begin{eqnarray*}
& I_{n+2}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^{n+1} \cos t dt=&\left[(\cos t)^{n+1}\sin t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n (\sin t)^2 dt\\\
& I_{n+2}=(n+1)(I_n-I_{n+2})&\\
& I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n&\\
\end{eqnarray*}

Il en résulte immédiatement : $I_2=\dfrac{1}{2}I_0=\dfrac{\pi}{4}$ ; $I_3=\dfrac{2}{3}I_1=\dfrac{2}{3}$ ; $I_4=\dfrac{3}{4}I_2=\dfrac{3\pi}{16}$.\\
D'où la formule générale :
\begin{align*}
\text{Si $n$ est pair ($n=2p$) }&&I_{2p}=\dfrac{2p-1}{2p}\times \dfrac{2p-3}{2p-2}\times \dots \times \dfrac{1}{2}I_0  \\
&&  I_{2p}=\dfrac{(2p)! \pi}{ 2^{2p+1}(p!)^2} \\.
\text{Si $n$ est impair ($n=2p+1$) }&&I_{2p+1}=\dfrac{2p}{2p+1}\times \dfrac{2p-2}{2p-1}\times \dots \times \dfrac{2}{3}I_1  \\
&&  I_{2p+1}=\dfrac{2^{2p} (p!)^2 \pi}{ (2p+1) !}
\end{align*} 

\begin{large}
\noindent\textbf{Calcul de $J_n$ en se ramenant à $I_n$}
\end{large}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
En posant $u=\dfrac{\pi}{2}-t$, on obtient :
$$ J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t)^n dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-u\right)^n (-du)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} ((\cos u)^n du=I_n$$

\begin{large}
\noindent\textbf{Calcul de $K_n$ en se ramenant à $I_{2n+1}$}
\end{large}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
En posant $u=\sin^{-1} t$ (fonction de $[-1;1]$ à valeurs dans $\left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$). On a donc $t=\sin u$. 
$$ K_n=int_{-1}^{1} (t^2-1)^n dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos u)^{2n} \cos u du = 2I_{2n+1}=\dfrac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}$$

\begin{large}
\noindent\textbf{Calcul de $L_n$ en se ramenant à $K_n$}
\end{large}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
$$ L_n=\int_{-1}^{1} (t^2-1)^n dt=(-1)^n K_n=\dfrac{(-1)^n2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}$$


\end{document}