

  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac Bleu}
\rhead{Avril 2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Correction}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{Bac Bleu}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique}; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS3}};
	\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Obligatoire}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	%\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Spécialité}};
%	\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec i, \vec j, \vec k)$.
 \\
On considère les trois points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées respectives : 
$A(-1~;~2~;~1)$ , $B(1~;~- 6~;~-1)$ et $C (2~;~2~;~2)$. 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan. 
\end{footnotesize}\\
$\overrightarrow{AB}(2;-8;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(3;0;1)$ ne sont pas colinéaires par conséquent les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés et donc définissent bien un plan.
		\item \begin{footnotesize}
Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. 
\end{footnotesize}\\
$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=1\times 2+1\times (-8)+(-2)\times (-3)=2-8+6=0 \Longrightarrow \vec{n}\perp \overrightarrow{AB}$$
$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times 3+1\times 0+1\times (-3)=3-3=0 \Longrightarrow \vec{n}\perp \overrightarrow{AC}$$
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, par conséquent $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.
		\item \begin{footnotesize}
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\end{footnotesize}\\
$M(x;y;z)\in (ABC)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\Longleftrightarrow (x+1)+(y-2)-3(z-1)=0\Longleftrightarrow x+y-3z+2=0$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
Montrer que les plans $(ABC)$ et $P$ sont sécants. 
\end{footnotesize}\\
$(ABC)$ et $P$ sont soit sécants, soit parallèles. S'ils sont parallèles alors tout vecteur directeur de $(ABC)$ est colinéaire à tout vecteur directeur de $P$.\\
Un vecteur directeur de $P$ est par exemple $\vec{n'}(1;-1;1)$. Trivialement $\vec{n'}$ n'est pas colinéaire à $\vec{n}$, par conséquent $(ABC)$ et $P$ sont sécants.
		\item \begin{footnotesize}
Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et $(ABC)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
\end{footnotesize}
$$M(x;y;z)\in P\cap (ABC)\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c r}
x +y-3z+2&=&0\\ 
x-y+z-4&=&0\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \R.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c r}
x +y&=&3t-2\\ 
x-y&=&-t+4\\
z &=&t,
\end{array}\right.$$
$$ M(x;y;z)\in P\cap (ABC)\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c r}
x +y&=&3t-2\\ 
2x&=&2t+2\\
z &=&t,
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c r}
y&=&3t-2-t-1=2t-3\\ 
x&=&t+1\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \R.$$ 
	\end{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
\end{footnotesize}
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
\end{footnotesize}\\
$x_I=1+t\Longleftrightarrow 2=1+t\Longleftrightarrow t=1$, et donc le point de $D$ d'abscisse $2$ est obtenu pour $t=1$, on trouve alors $y$ et $z$ :
$$ y=-3+2\times 1=-1\qquad \text{et}\qquad z=1$$
Il s'agit donc bien de $I(2;-1;1)$.
		\item \begin{footnotesize}
Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. 
\end{footnotesize}\\
Pour cela il suffit de démontrer que $I\Omega=3$.\\
$\overrightarrow{I\Omega}(1;-2;-2)\Longrightarrow I\Omega=\sqrt{1+4+4}=3$. CQFD.
		\item\begin{footnotesize}
 \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 \\
Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. 
\end{footnotesize}\\
Notons que l'équation de $S$ est $(x-3)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=9$, par conséquent :
$$  M(x;y;z)\in S\cap D\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l }
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=9\\
x = 1 + t\\ 
y = -3 + 2t\\
z =t
\end{array}\right.\Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l }
(t-2)^2+(2t-4)^2+(t-3)^2=9\\
x = 1 + t\\ 
y = -3 + 2t\\
z =t
\end{array}\right.$$
On résout $(t-2)^2+(2t-4)^2+(t-3)^2=9\Longleftrightarrow t^2-4t+4+4t^2-16t+16+t^2-6t+9=9\Longleftrightarrow 6t^2-26t+20=0\Longleftrightarrow 3t^2-13t+10=0$.
$$ \Delta=13^2-120=169-120=49=7^2\Longrightarrow t_1=\dfrac{13+7}{6}=\dfrac{10}{3}\qquad \text{ou}\qquad t_2=\dfrac{13-7}{6}=1$$
Pour $t=1$ on retrouve le point $I$, intersection entre $D$ et $S$, et pour $t=\dfrac{10}{3}$ on obtient un autre point d'intersection entre $S$ et $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\Exoi{\hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item L'écriture complexe de la rotation $r$ de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est $z'=\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{2}} (z - z_A) + z_A$.\\Donc $z'=\text{i}z+2\text{i}-2$.\\ Le point J a pour affixe $\text{i}z_B-2+2\text{i}=- 5 - 2 + 2\text{i} = - 7 + 2\text{i}$.
 \\
On admettra que l'affixe du point K est - 2 - 6\text{i}. 
\item Les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires ssi $\arg (\dfrac{z_{\vect{JC}}}{z_{\vect{BK}}})=\dfrac{\pi}{2}$ ou $-\dfrac{\pi}{2}$.\\
Les segments $[BK]$ et $[JC]$ ont la même longueur ssi $\mid\dfrac{z_{JC}}{z_{BK}} \mid=1$ \\ Calculons $\dfrac{z_{\vect{JC}}}{z_{\vect{BK}}}$ c'est $\dfrac{4+7-2\text{i}}{-2 - 6\text{i}-5\text{i}}=\dfrac{11-2\text{i}}{-2-11\text{i}}=\dfrac{\text{i}(-11\text{i}-2)}{-2-11\text{i}}=\text{i}$.\\ Doncen prenant module et argument de $\text{i}$, on prouve ainsi que $\arg (\dfrac{z_{JC}}{z_{BK}})=\dfrac{\pi}{2}$et que $\mid\dfrac{z_{\vect{JC}}}{z_{\vect{BK}}} \mid=1$ \\donc les segments [BK] et [JC] ont la même longueur et sont perpendiculaires.\\ La longueur de $[BK]$ égale la longueur de $[JC]$ égale $\sqrt{11^2+2^2}=\sqrt {125}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point $S$ est le milieu de $[JB]$ donc  si on note $z_S$ l'affixe de $S$, $z_S=\dfrac{z_J + z_B}{2}=-3,5+3,5\text{i}$.\\Le point $T$ estle milieu de $[KC]$ donc  si on note $z_T$ l'affixe de $T$, $z_T=\dfrac{z_K+z_C}{2}=1-3\text{i}$. 
		\item Le point $U$ est le milieu de $[CN]$, or $N$ est obtenu par rotation de $\dfrac{\pi}{2}$ autour de $B$ du point $C$, donc $z_N=\text{i}(z_C-z_B)+z_B$donc $z_N=5+9\text{i}$ donc $z_U=\dfrac{5 + 9\text{i}+4}{2}=4,5+4,5\text{i}$ . 
		\item Démontrons que   la droite $(AU)$ est perpendiculaire à la droite $(ST)$ en  calculant un argument de $\dfrac{z_{\vect{AU}}}{z_{\vect{ST}}}$.\\ Or $\dfrac{z_{\vect{AU}}}{z_{\vect{ST}}}=\dfrac{4,5+4,5\text{i}+2}{1-3\text {i}+3,5-3,5\text{i}}=\dfrac{6,5+4,5\text{i}}{4,5-6,5\text {i}}=\dfrac{\text {i}\times (4,5 - 6,5\text{i})}{4,5 - 6,5\text {i}}=\text {i}$\\ donc $(\vect{ST}~;~\vect{AU}) = \dfrac{\pi}{2}$, la droite $(AU)$ est perpendiculaire à la droite $(ST)$.
	\end{enumerate} 
\item  Une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{JC}},\, \vect{\text{AU}}\right)$ est donnée par un argument de $\dfrac{z_{\vect{AU}}}{z_{\vect{JC}}}$. \\ Or $\dfrac{z_{\vect{AU}}}{z_{\vect{JC}}}=\dfrac{4,5+4,5\text{i}+2}{11-2\text{i}}=\dfrac{6,5+4,5\text{i}}{11-2\text{i}}=\dfrac{(6,5+4,5\text{i})\times (11+2\text{i})}{125}=\dfrac{(13+9\text{i})\times (11+2\text{i})}{250}=\dfrac{(143-18)+\text{i}\times (99+26)}{250}=\dfrac{125+125\text {i}}{250}=\dfrac{1+\text{i}}{2}=\dfrac{\sqrt 2\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}}{2}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$, donc l'angle $\left(\vect{\text{JC}},\, \vect{\text{AU}}\right)$ vaut $\dfrac{\pi}{4}$ à $2k\pi$ près
\item On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d'affixe 
\\
$v = -0,752 + 0,864\text{i}$ \\(en fait $x = -0,752$ et $y = 0,864$ s'obtiennent en résolvant le système donné par les deux équations des droites$(BK)$ et $(JC)$ d'équations respectives :  $y=\dfrac{11}{2}x + 5$ et $y=\dfrac{-2}{11}(x - 4)$). 	
	\begin{enumerate}
		\item $z_{\vect{AV}}=2-0,752+0,864\text {i}=1,248+0,864\text{i}$.\\$z_{\vect{AU}}=6,5+4,5\text{i}$.\\ Or $1,248=\dfrac{1248}{1000}=\dfrac{156}{125}=13\times \dfrac{12}{125}=6,5\times \dfrac{24}{125}$.\\ $0.864=\dfrac{864}{1000}=\dfrac{108}{125}=9\times \dfrac{12}{125}=4,5\times \dfrac{24}{125}$.\\ Donc $\vect{AV}=\dfrac{24}{125}\vect{AU}$ donc $A,\:V,\:U$ sont alignés. 
		\item l'angle $\widehat{\text{BVC}}$ est droit car $\left(\vect{\text{JC}},\, \vect{\text{BK}}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ c'est l'angle entre les droites $(BK)~;~(JC)$\\ et on sait que l'angle  $\widehat{\text{UVC}}$ vaut $\dfrac{\pi}{4}$ car  $\left(\vect{\text{JC}},\, \vect{\text{AU}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ donc comme $V$ est aligné avec $J$ et $C$ et $J,V,C$ sont  alignés dans cet ordre  \\et que $A,V,U$ sont aussi alignés dans cet ordre \\$\left(\vect{\text{VC}},\, \vect{\text{VU}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$, donc la demi-droite $[VU)$est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BVC}}$.\\La droite $(AU)$ est donc bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BVC}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}

\begin{center}


\psset{unit=0.7cm}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=0.025pt 2,arrowinset=0.025}
\begin{pspicture}(-7,-7)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-7,-7)(9,9)
\pspolygon[linestyle=dotted](-2,0)(0,5)(-5,6.9)(-7,1.9)%ABIJ
\psline (-2,0)(4.5,4.5)
\psline[linestyle=dotted] (-3.5,3.5)(1,-3)
\psline(-7,2)(4,0)
\psline(-2,-6)(0,5)
\uput[dr](-0.752,0.864){V}
\pspolygon[linestyle=dotted](4,0)(8.9,4)(4.9,8.9)(0,5)%CMNB
\pspolygon[linestyle=dotted](-2,0)(-2,-6)(4,-6)(4,0)%AKLC
\uput[u](-2,0){A} \uput[ul](0,5){B} \uput[dr](4,0){C} 
\uput[u](-5,6.9){I} \uput[dl](-7,1.9){J} \uput[dl](-2,-6){K} 
\uput[dr](4,-6){L} \uput[ur](8.9,4){M} \uput[u](4.9,8.9){N}
\uput[ur](-3.5,3.45){S}\uput[ur](1,-3){T}\uput[ur](4.45,4.5){U}
\psdots(-3.5,3.45)(4.45,4.5)(1,-3) 
\rput[bl](0.4,0.84){\black{$\widehat{\text{CVU}} = 45^{o}$}}
%\pscustom[linecolor=\black,fillcolor=\black,fillstyle=solid,opacity=0.1]
%{\parametricplot{-0.17985349979247836}{0.6055446636049701}{1.35*cos(t)-0.75|1.35*sin(t)+0.86}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=\black](-2,0)
\rput[bl](-1.8,0.25){\black{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=\black](0,5)

\end{pspicture}
\end{center} 
%\end{center}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie $]0~;~+ \infty[$ par : 
\[f(x) = x \ln x - 1.\] 
\end{footnotesize}
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\end{footnotesize}
$$\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln x=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$
		\item \begin{footnotesize}
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
\end{footnotesize}\\
D'après le cours $$\lim\limits_{x\to 0} x\ln x=0\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0}f(x)=-1$
	\end{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
\end{footnotesize}
 \\
 $$ f'(x)=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}=\ln x+1$$
\begin{footnotesize}
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\end{footnotesize}
\\
Etudions le signe de $f'$, $\ln x+1=0\Longleftrightarrow \ln x=-\ln e\Longleftrightarrow \ln x=\ln \dfrac{1}{e}\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{e}=e^{-1}$.
d'où :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$e^{-1}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$-1$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-e^{-1}-1$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ cette solution. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à la précision $10^{-2}$. 
\end{footnotesize}\\
Sur $[0;e^{-1}]$, on a $f(x)\leq -1$, par conséquent $f(x)=0$ n'a pas de solution inférieure à $e^{-1}$, par ailleurs sur l'intervalle $[e^{-1};+\infty[$, $f$ est une fonction continue et strictement croissante prenant exactement une fois (d'après le T.V.I ou plutôt un de ses corollaires) toutes les valeurs supérieures à $-e^{-1}-1$. En particulier il vient que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution qui d'après une calculatrice vaut $\alpha\simeq 1,76$.
\item \begin{footnotesize}
Déterminer le signe de $f(x)$ lorsque $x$ appartient à $]0~;~+ \infty[$. 
\end{footnotesize}\\
A l'évidence :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\alpha$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$. 
\end{footnotesize}\\
Par définition de $\alpha$, $f(\alpha)=0\Longleftrightarrow \alpha \ln\alpha-1=0\Longleftrightarrow \alpha\ln\alpha=1\Longleftrightarrow \ln\alpha=\dfrac{1}{\alpha}$.
\end{enumerate}
\\
\textbf{Partie B : Calcul d'une intégrale}
\\
\begin{footnotesize}
On donne la courbe $\mathcal{C}$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante : 
\[I = \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x.\] 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Justifier que l'intégrale $I$ est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 
\end{footnotesize}\\
Pour $x\geq \alpha$ on a démontré dans la question précédente que $f(x)\geq 0$, par conséquent $ \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x$ est l'aire de la partie du plan délimité par la courbe de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation $x=\alpha$ et $\x=4$.
\item \begin{footnotesize}
À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale 
\[J = \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x.\]  
\end{footnotesize}\\
$$  \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x=\left[\ln x \times \dfrac{x^2}{2}\right]_\alpha^4-\int_{\alpha}^4 \dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x}dx=8\ln 4-\dfrac{\alpha^2}{2}\ln\alpha-\int_{\alpha}^4 \dfrac{x}{2}dx=8\ln 4-\dfrac{\alpha^2}{2}\times \dfrac{1}{\alpha}-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_\alpha^4$$
On conclut donc que  :
$$ J=16\ln 2-\dfrac{\alpha}{2}-\left(\dfrac{16}{4}-\dfrac{\alpha^2}{4}\right)=16\ln 2-\dfrac{\alpha}{2}-4+\dfrac{\alpha^2}{4}$$
\item \begin{footnotesize}
Montrer l'égalité : $I = \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} + 16\ln 2 - 8$.
\end{footnotesize}\\
$$I=\int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x=J- \int_{\alpha}^4  1dx=J-(4-\alpha)=16\ln 2-\dfrac{\alpha}{2}-4+\dfrac{\alpha^2}{4}-4+\alpha=16\ln 2+\dfrac{\alpha}{2}-8+\dfrac{\alpha^2}{4}$$
\begin{footnotesize}
En déduire une valeur approchée de $I$ à $10^{-1}$ près. 
\end{footnotesize}
\\
$$I\simeq 4,8\quad u.a$$
\end{enumerate}
}

\begin{center}

\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.08,-1.96)(5.06,5.28)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.08,-1.96)(5.06,5.28)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1.76}{4}{x*ln(x)-1}\lineto(4,0)\lineto(1.76,0)\closepath}
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{1.440000000008902E-6}{5.0600000000000005}{x*ln(x)-1}
\rput[tl](1.5,-0.58){$\qqqqcc{\mathscr C_f}$}
\rput[bl](2.76,0.24){\zzttqq{$a = 4.75$}}
\end{pspicture*}
\end{center}





\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
%\begin{enumerate}
\begin{footnotesize}
Soit $u$ la suite d\'efinie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0& =&0\\
u_1&=&1\\
u_{n+2}& =& u_{n+1}+u_n\quad  \text{pour tout entier naturel}~n\\
\end{array} \right.$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate} \item \begin{footnotesize}
Calculer $u_1,~u_2$ et $u_3$. 
\end{footnotesize}\\
$u_1=1+0=1$, $u_2=1+1=2$, $u_3=2+1=3$.
\item On considère l'algorithme suivant :
%\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\Algo{7cm}{
\Var{
$k$, $u$, $v$ et $w$  sont des nombres entiers\\
$n$ est un entier supérieur ou égal à $2$.
}
\Deb{
Entrer $n$ \\
$u=0$\\
$v=1$\\
%$s$ prend la valeur $u+v$\\
\For{$k=1$ \textbf{à} $n-1$}{
$w$ prend la valeur $u+v$\\
$u$ prend la valeur $ v$\\
$v$ prend la valeur $ w$
%$s$ prend la valeur $s+w$
}
Afficher $w$
}
}
\end{center}
%\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre $n=4$ ? et $n=5$ ?
\end{footnotesize}\\
Pour $n=4$, l'algorithme affiche $w=5$, et pour $n=5$ l'algorithme affiche $w=8$.
\item \begin{footnotesize}
Que calcule cet algorithme ?
\end{footnotesize}\\
Cet algorithme affiche le $n^{\text{ième}}$ terme de la suite de Fibonnacci.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On note $S_n$ la somme :
$$S_n=u_0+u_1+u_2+u_3+\dots+u_n$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
Calculer $S_0$, $S_1$, $S_2$, $S_3$ et $S_4$.
\end{footnotesize}\\
$S_0=0$, $S_1=0+1=1$, $S_2=0+1+1=2$, $S_3=0+1+1+2=4$, $S_4=S_3+3=7$.
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout $n\in\N$ :
$$ S_n=u_{n+2}-1$$
\end{footnotesize}\\
Effectuons un raisonnement par récurrence :
On considère la propriété $\mathscr P(n) : S_n=u_{n+2}-1$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} :\\
Pour $n=0$, $S_0=0$ et $u_2-1=1-1=0$, donc la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textbf{Hérédité} : \\
Supposons que $\mathscr P$ soit vraie pour un certain entier $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$.\\
On suppose donc que $S_{n}=u_{n+2}-1$ et on veut montrer que $S_{n+1}=u_{n+3}-1$.\\
$$ S_{n+1}=u_0+u_1+u_2+u_3+\dots+u_n+u_{n+1}=S_n+u_{n+1}=u_{n+2}-1+u_{n+1}=u_{n+1}+u_{n+2}-1=u_{n+3}-1$$
\end{itemize}
\item\begin{footnotesize}
 Ecrire un algorithme, qui lorsque l'utilisateur saisit la valeur d'un entier $n$ supérieur ou égal à $2$, affiche la somme $S_n$.
\end{footnotesize}\\
\begin{center}
\Algo{7cm}{
\Var{
$k$, $u$, $v$ et $w$  sont des nombres entiers\\
$n$ est un entier supérieur ou égal à $2$.
}
\Deb{
Entrer $n$ \\
$u=0$\\
$v=1$\\
%$s$ prend la valeur $u+v$\\
\For{$k=1$ \textbf{à} $n+1$}{
$w$ prend la valeur $u+v$\\
$u$ prend la valeur $ v$\\
$v$ prend la valeur $ w$
%$s$ prend la valeur $s+w$
}
Afficher $w-1$
}
}
\end{center}
\end{enumerate}
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
}





\vspace*{5mm}

\newcommand{\Fin}{	node[xshift=-1.5ex,rotate=-10]{F} 
									node[rotate=-170]{i}
									node[xshift=1.5ex,rotate=30]{n}}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=5,transform shape] 
	\draw (0,0) \Fin; 
	\draw (-1em,-1ex) -- (1em,-1ex); 
	\path[scope fading=south] (-1em,-0.25em) rectangle (1em,-3.75ex); 
	\draw[yscale=-1] (0,2ex) \Fin;
\end{tikzpicture}
\end{center}







\end{document}