

  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\pagestyle{stylecom}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Amérique}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{du nord}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique }; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS3}};
	\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Juin 2012}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Correction}};
%	\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}


\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
\begin{footnotesize}
Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des
hommes adhère à la section tennis. On sait également que $30$ \% des
membres de cette association adhèrent à la section tennis.\\
\end{footnotesize}
\partieBac{}
\begin{footnotesize}
On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
%\begin{itemize}
 $F$ l'événement \og le membre choisit est une femme\fg, et
 $T$ : \og le membre choisit adhère à la section tennis\fg.
%\end{itemize}
\end{footnotesize}\\
Dans cette exercice on utilise les arbres suivants qui résument les données de l'exercice :
\begin{multicols}{3}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$T$}\taput{\small $\frac{3}{10}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\small $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\small $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{T}$}\tbput{\small $\frac{7}{10}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\taput{\small $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{F}$}\tbput{\small $$}
}
}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\taput{\small $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $\frac{1}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $\frac{3}{4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{F}$}\tbput{\small $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $\frac{1}{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $\frac{2}{3}$}
}
}
$ \qquad \text{et}\qquad P(T)=0,3$
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que la probabilité de l'événement $F$ est égale à $\frac{2}{5}$.}\\
On a $P(T)=0,3$ et $P(T)=P\left(T\cap F\right)+P\left(T\cap \overline{F}\right)$ ce qui équivaut à :
$$ 0,3=P_F(T)\times P(F)+P_{\overline{F}}(T)\times P_{\overline{F}}\Longleftrightarrow 0,3=\dfrac{P(F)}{4}+\dfrac{1-P(F)}{3}$$
Au final :
$$0,3=\dfrac{3P(F)+4-4P(F)}{12}\Longleftrightarrow 12\times 0,3=-P(F)+4\Longleftrightarrow P(F)=4-3,6=0,4=\dfrac{2}{5}$$
\item \begin{footnotesize}
On choisit un membre adhérent à la section tennis.
  Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
\end{footnotesize}
\\
Déterminons $P_T(F)$ :
\\
$$ P_T(F)=\dfrac{P\left(T\cap F\right)}{P(T)}=\dfrac{\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}}{0,3}=\dfrac{1}{10}\times \dfrac{10}{3}=\dfrac{1}{3}$$
\end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{footnotesize}
Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent
une lotterie.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard
  de manière indépendante pour tenir la loterie.
\end{footnotesize}
  \begin{enumerate}
  \item \begin{footnotesize}
Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines
    consécutives, il y a ait exactement deux fois un membre qui adhère
    à la section tennis parmi les membres choisis.
\end{footnotesize}\\
Notons $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ lorsqu'un membre de la section tennis est choisit et $0$ sinon. De par l'indépendance de cette loterie, $X\hookrightarrow B(4;0,3)$, par conséquent :
$$ P(X=2)=\binom{4}{2}\times 0,3^2\times 0,7^2=\dfrac{4\times 3}{2}\times \dfrac{9\times 49}{10000}=\dfrac{6\times 441}{10000}=\dfrac{2646}{10000}$$
  \item \begin{footnotesize}
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la
    probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au
    moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres
    choisis.
    Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left ( \frac{7}{10}\right)^n$.
\end{footnotesize}
$$p_n=P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-\binom{n}{0}\times 0,3^0\times 0,7^n=1-\left ( \frac{7}{10}\right)^n$$
  \item {\footnotesize Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geq 0,99$.}\\
 \begin{eqnarray}
 & & p_n \geq 0,99\\
 &\Longleftrightarrow & 1-\left ( \frac{7}{10}\right)^n\geq 0,99\\
 & \Longleftrightarrow & 0,01\geq \left ( \frac{7}{10}\right)^n\\
 & \Longleftrightarrow & \ln 0,01 \geq n\ln \frac{7}{10}\\
 & \Longleftrightarrow & \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,07} \leq n\qquad \text{car}\quad  \ln \frac{7}{10}<0
 \end{eqnarray}
 Ainsi $n$ doit être supérieur ou égal à $8$.
  \end{enumerate}
\item  \begin{footnotesize}
Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons
  ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros
  chacun, les autres ne rapportent rien.\\
  Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis
  tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il
  reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont
  ensuite remis dans l'urne.\\
  On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique
  (déduction faite des $5$ \euro) du joueur.
\end{footnotesize}
  \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.}\\
  La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $-5$, $15$ et encore $35$ suivant que le joueur pioche aucun, un ou deux jetons gagnants.
  $$ p(X=-5)=\dfrac{9}{10}\times \dfrac{89}{99}=\dfrac{89}{110}\qquad p(X=35)=\dfrac{1}{10}\times \dfrac{9}{99}=\dfrac{1}{110}\qquad p(X=15)=1-p(X=-5)-p(X=35)=\dfrac{20}{110}$$
  Ces trois calculs définissent la loi de probabilité suivit par la variable aléatoire $X$.
  \item \begin{footnotesize}
Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$
    et interpréter le résultat obtenu.
\end{footnotesize}
$$ E(X)=-5\times \dfrac{89}{110}+15\times \dfrac{20}{110}+35\times \dfrac{1}{110}=\dfrac{-110}{110}=-1$$
Cette loterie n'est pas avantageuse pour le joueur qui perd en moyenne $1$~\euro{}.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


%\pagebreak



\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
\partieBac{Restitution organisée des connaissances}
\begin{footnotesize}
On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = + \infty$. Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
\end{footnotesize}\\
Posons $X=\e^t$, dans ce cas lorsque $t\to +\infty$ il en va de même pour $X$ qui tends aussi vers $+\infty$.\\
De plus $X=e^t\Longleftrightarrow \ln X=t$, on a donc :
$$+\infty= \lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = \lim_{X \to +\infty} \dfrac{X}{\ln X}\Longleftrightarrow  \lim_{X \to +\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$$
\partieBac{}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\intervalleA$ par $f(x) = x -
\frac{\ln(x)}{x}$. 
\end{footnotesize}\\\begin{footnotesize}
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j})$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleA$ par $g(x) =  x^2
  -1 + \ln(x)$.
\\
  Montrer que la fonction $g$ est positive sur $\intervalleA$.
\end{footnotesize}\\
$g$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $\intervalleA$, donc $g$ est dérivable sur $\intervalleA$ et :
$$ g'(x)=2x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2+x}{x}>0 \qquad \forall x>0$$
On en déduit que $g$ est strictement croissante sur $\intervalleA$.
\\
De plus $g(1)=1-1+\ln 1=0$, par conséquent pour tout $x\in\intervalleA$ :
$$ g(x)\geq g(1)=0$$
\item
  \begin{enumerate}
  \item \begin{footnotesize}
Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleA$, $f'(x) =
    \frac{g(x)}{x^2}$.
\end{footnotesize}
\\
$\forall x\in \intervalleA$, $f$ est une fonction dérivable comme d'habitude ($\dots$), par conséquent :
$$ f'(x)=1-\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$$
  \item {\footnotesize En déduire le sens de variation de $f$ sur $\intervalleA$.}\\
  Sur $\intervalleA$, $x^2>0$ et $g(x)\geq 0$, par conséquent $f'(x)\geq 0$, donc $f$ est une fonction strictement croissante sur $\intervalleA$.
  \item \begin{footnotesize}
 Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est une
    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
\end{footnotesize}\\
Pour tout $x\in\intervalleA$ on a :
$$ f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}$$
Et d'après le \textbf{R.O.C}, on a  $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, par conséquent $\lim_{x \to +\infty} f(x)-x=0$ ce qui prouve que $\mathscr D$ est une asymptote à $\mathscr C$ en $+\infty$.
  \item\begin{footnotesize}
 Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à
    la droite $\mathcal{D}$.
\end{footnotesize}
\\
Il s'agit d'étudier le signe de $-\dfrac{\ln x}{x}$ en fonction des valeurs de $x$ sur $\intervalleA$, quantité qui est du signe de $-\ln x$ :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-\ln x}&\dbt&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
Ainsi $\mathscr C$ est au dessus de $\mathscr D$ sur $[0;1[$, et en dessous sur $]1;+\infty[$.
  \end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note
  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de
  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
\end{footnotesize}
  \begin{enumerate}
  \item\begin{footnotesize}
 Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à
    $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est
    donnée par $M_kN_k = \frac{\ln(k)}{k}$.
\end{footnotesize}\\
    Notons que le repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ est orthonormal.\\
$ M_k\left(k;k-\dfrac{\ln k}{k}\right)$ et $N_k\left(k;k\right)$, par conséquent, $\overrightarrow{M_kN_k}\left(0;\dfrac{\ln k}{k}\right)$ et pour $k\geq 2$ (notons que $\ln k>0$) :
$$ M_kN_k=\sqrt{\left(\dfrac{\ln k}{k}\right)^2}=\left|\dfrac{\ln k}{k}\right|=\dfrac{\ln k}{k}$$
  \item \begin{footnotesize}
Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$
    supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit
    inférieur ou égale à $10^{-2}$.
\end{footnotesize}
\begin{center}
		\Algo{12cm}{
\Entree{ 
 $k$ est un nombre entier supérieur ou égal à $2$}\\
%\Function{Extremum}
  %  {{...}{}}
    %{}
{
  $k:=2$ \\
  %\IfThenElse{ $g(a)\times g(b)\geq 0$ }
  %  {    Afficher "pas de solution "}
    {    \While{ $\dfrac{\ln k}{k}\geq 0,01$ }
    { $k:=k+1$
    }
      Afficher $k$
  }
}}
		\end{center}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
\begin{footnotesize}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\intervalleB$ telle
que :
\[
f(0) = 0 \text{ et } f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $\intervalleB$}.
\]
\emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.}
\end{footnotesize}\\
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\intervalleB$.}\\
A l'évidence
$$ f'(x)> 0 \qquad \forall x\in\intervalleB$$
Ainsi la fonction $f$ est strictement croissante sur $\intervalleB$.
\item \begin{footnotesize}
Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleC$ par $g(x) =
  f\left(\tan(x)\right)$.
\end{footnotesize}
  \begin{enumerate}
  \item\begin{footnotesize}
 Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleC$, puis que,
    pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g'(x) =1$.
\end{footnotesize}
\\
$g$ est la composée de deux fonctions dérivables sur $\intervalleC$, elle est donc dérivable sur $\intervalleC$, avec :
$$ g'(x)=f'(\tan x)\times \left(\tan x\right)'$$
Rappelons que $\left(\tan x\right)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$, ce qui donne :
$$ \forall x\in \intervalleC,  \qquad g'(x)=\dfrac{1}{\left(1+\tan^2 x\right)^2}\times \dfrac{1}{\cos^2 x}$$
Notons que $1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$, ainsi :
$$ g'(x)=\dfrac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}}\times \dfrac{1}{\cos^2 x}=\dfrac{  \cos^2 x}{\cos^2 x}=1$$
  \item \begin{footnotesize}
Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g(x) = x$, en
    déduire que $f(1) = \frac{\pi}{4}$.
\end{footnotesize}\\
On vient de démontrer que $g'(x)=1\qquad \forall x \in \intervalleC$, par conséquent il existe $c\in \R$ tel que :
$$ g(x)=x+c$$
On sait aussi que $g(0)=f(\tan 0)=f(0)=0$, par conséquent $0+c=0\Longleftrightarrow c=0$, on en déduit que :
$$ \forall x\in \intervalleC,\qquad  g(x)=x$$
Ainsi $g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}$, et donc $$f\left(\tan \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}\Longleftrightarrow f(1)=\dfrac{\pi}{4}$$
  \end{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleB$, $0 \leq f(x) \leq \frac{\pi}{4}$. }
\\
On sait que $f$ est une fonction strictement croissante sur $\intervalleB$, donc :
$$ 0\leq x\leq 1\Longleftrightarrow f(0)\leq f(x)\leq f(1)\Longleftrightarrow 0\leq f(x)\leq \dfrac{\pi}{4}$$
\end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{footnotesize}
Soit $\left (\I_n\right)$ la suite définie par $\I_0 = \int_{0}^{1}
f(x) \dd x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\I_n =
\int_{0}^{1} x^nf(x) \dd x $.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $\I_0 =
  \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)$.
\end{footnotesize}
$$ I_0=\int_{0}^{1}
f(x) \dd x=\int_{0}^{1}
f(x)\times 1 \dd x=\left[x\times f(x)\right]_0^1-\int_0^1 xf'(x)\dd x=1f(1)-0f(0)-\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}\dd x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\left[\ln(1+x^2)\right]_0^1$$
$$I_0=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\left(\ln 2-\ln 1\right)=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\ln 2}{2}$$
\item
  \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\I_n \geq 0$.}\\
  $f$ est une fonction positive sur $\intervalleB$ et $x^n\geq 0$ sur $\intervalleB$, par conséquent $I_n$ désigne l'intégrale d'une fonction positive sur le segment $\intervalleB$, il s'agit donc d'une aire, nous pouvons donc conclure que :
  $$ \forall n\in\N^*,\qquad I_n\geq 0$$
  \item \begin{footnotesize}
Montrer que, pour tout  entier naturel non nul $n$, $\I_n \leq
    \frac{\pi}{4(n+1)}$.
\end{footnotesize}\\
On sait que $f(x)\leq \dfrac{\pi}{4}$ sur $\intervalleB$, donc pour tout entier non nul on a :
$$ I_n=\int_{0}^{1} x^nf(x) \dd x \leq \int_{0}^{1} x^n\dfrac{\pi}{4} \dd x =\dfrac{\pi}{4}\int_{0}^{1} x^n \dd x=\dfrac{\pi}{4}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \frac{\pi}{4(n+1)}$$
  \item {\footnotesize En déduire la limite de la suite $(\I_n)$.}\\
  D'après les deux questions précédentes on sait que :
  $$ \forall n\in\N^*,\qquad 0\leq I_n\leq \frac{\pi}{4(n+1)}$$
  De plus $\lim_{n\to +\infty}\frac{\pi}{4(n+1)}=0$, donc d'après le théorème des gendarmes :
  $$ \lim_{n\to +\infty} I_n=0$$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (Amérique du nord Mai 2012)\\
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$.
 \\
On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $\text{M'}$ d'affixe $z'$
telle que : $z' = z^2$.
\\
On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item\begin{footnotesize}
 Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan
  tels que $f(M) = M$.
\end{footnotesize}\\
On cherche l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $$z=z^2\Longleftrightarrow z^2-z=0\Longleftrightarrow z(z-1)=0\Longleftrightarrow z=0\qquad \text{ou}\qquad z=1$$
$\Gamma_1$ est constitué des points disons $A_1(0)$ et $\Omega(1)$.
\item {\footnotesize Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}-\Ci\sqrt{2}$.}
  \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Exprimer $a$ sous forme exponentielle.}\\
  $$ a=\sqrt{2}-\Ci\sqrt{2}=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\Ci\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=2e^{-i\frac{\pi}{4}}$$
  \item {\footnotesize En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.}\\
  On cherche  l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que :
  $$ z^2=2e^{-i\frac{\pi}{4}}$$
  On en déduit que $|z|=\sqrt{2}$ et $arg(z^2)=2arg(z)[2\pi]\Longleftrightarrow -\dfrac{\pi}{4}=2arg(z)[2\pi]\Longleftrightarrow -\dfrac{\pi}{8}=arg(z)[\pi]$, d'où :
  $$ z_A=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{8}}\qquad \text{et}\qquad z_B=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{8}}$$
  \end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$
  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
\end{footnotesize}\\
On cherche  l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que : 
$$ arg(z^2)=\frac{\pi}{2}[\pi]\Longleftrightarrow 2arg(z)=\frac{\pi}{2}[\pi]\Longleftrightarrow arg(z)=\frac{\pi}{4}\left[\frac{\pi}{2}\right]$$
$\Gamma_2$ est donc constitué des droites d'équations $y=x$ et $y=-x$ privées de l'origine du repère.
\item \begin{footnotesize}
Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
  $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
  triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$.
\end{footnotesize}
  \begin{enumerate}
  \item \begin{footnotesize}
À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle
    $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et
    seulement si $z^2 - \Ci z -1 + \Ci = 0$ et $z \not= 1$.
\end{footnotesize}\\
L'expression complexe de cette rotation est :
$$ z'-\omega=i(z-\omega)\Longleftrightarrow z'-1=i(z-1)\Longleftrightarrow z'=iz-i+1$$
Ainsi, pour tout $z \not= 1$ :
 $$ \Omega MM' \text{ est rectange isocèle } \Longleftrightarrow z^2=iz-i+1 \Longleftrightarrow z^2 - \Ci z -1 + \Ci = 0 $$
  \item {\footnotesize Montrer que $z^2 - \Ci z -1 + \Ci = (z-1)(z+1-\Ci)$.}\\
  $$(z-1)(z+1-\Ci)=z^2+z-\Ci z-z-1+\Ci=z^2-\Ci z-1 $$
  \item {\footnotesize En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.}
  $$ z^2 - \Ci z -1 + \Ci = 0 \Longleftrightarrow (z-1)(z+1-\Ci)=0\Longleftrightarrow z=1\qquad \text{ou} \qquad z=-1+\Ci$$
  Ainsi $\Gamma_3$ est constitué d'un point d'affixe  $-1+\Ci$.
  \end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$.}
  \begin{enumerate}
  \item \begin{footnotesize}
Exprimer $\left ( \vect{OM\vphantom{'}},\vect{OM'}\right)$ en fonction
    d'un argument de $z$.
\end{footnotesize}
$$ \left ( \vect{OM\vphantom{'}},\vect{OM'}\right)=arg\left(\dfrac{z'}{z}\right)[2\pi]=arg\left(\dfrac{z^2}{z}\right)[2\pi]=arg\left(z^2\right)-arg(z)[2\pi]=2arg(z)-arg(z)[2\pi]=arg(z)[2\pi]$$
  \item \begin{footnotesize}
En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de
    $O$ et de $\Omega$ tels que $O$, $M$ et $M'$ soient alignés.
\end{footnotesize}\\
Ces chers points sont alignés si et seulement si l'angle précédent vaut $0[\pi]$, par conséquent compte tenu de la précédente question lorsque l'argument de $z$ vaut lui-même $0[\pi]$, i.e lorsque $z\in\R$ avec $z\neq 0$ et $z\neq 1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}