\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}8$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\hfill (10 points)\\
On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=2x-\sin x$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $x\in\R$  on a :
%$$ 2-\cos x\geq 1$$
$$\forall x\in\R, \qquad -1\leq \cos x\leq 1\Longleftrightarrow 1\geq -\cos x\geq -1\Longleftrightarrow 3\geq 2-\cos x\geq 1$$
Ainsi on on a bien, pour tout $x\in\R$, \qquad $2-\cos x\geq 1$.
\item %Calculer la dérivée de $f$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
$f'(x)=2-\cos x$, et d'après la question précèdente $f'(x)\geq 1>0$, par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout $x\in\R$ :
$$\forall x\in\R, \qquad -1\leq \sin x\leq 1 \Longleftrightarrow -1\leq -\sin x\leq 1\Longleftrightarrow 2x-1\leq f(x)\leq 2x+1$$
%$$ 2x-1\leq f(x)\leq 2x+1$$
\item %En déduire les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
On a $\lim\limits_{x\to +\infty} 2x-1=+\infty$, or $2x-1\leq f(x)$ donc, par comparaison,  $$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$$
On a $\lim\limits_{x\to -\infty} 2x+1=-\infty$, or $f(x)\leq 2x+1$ donc, par comparaison,  $$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$$
\end{enumerate}
\item %Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr C_f$ en $0$.
L'équation de la tangente $T$ à $\mathscr C_f$ en $0$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$. \\
Or, $f'(0)=2-\cos 0=2-1=1$ et $f(0)=2\times 0-\sin 0=0-0=0$, par conséquent :
$$ T:y=x$$
\item On appelle $\mathscr D_1$ et $\mathscr D_2$ les droites d'équations respectives :
$$ y=2x-1\qquad \text{et} \qquad y=2x+1$$
%Déterminer les points communs à $\mathscr C_f$ et $\mathscr D_1$, d'une part, à $\mathscr C_f$ et $\mathscr D_2$ d'autre part.
D'une part, on résout $f(x)=2x-1\Longleftrightarrow 2x-\sin x=2x-1\Longleftrightarrow \sin x=1\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in\Z$. Les points d'intersection entre $\mathscr C_f$ et $\mathscr D_1$ ont pour abscisse $\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k$ variant dans $\Z$.\\
D'autre part, on résout $f(x)=2x+1\Longleftrightarrow 2x-\sin x=2x+1\Longleftrightarrow \sin x=-1\Longleftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in\Z$. Les points d'intersection entre $\mathscr C_f$ et $\mathscr D_2$ ont pour abscisse $\dfrac{-\pi}{2}+2k\pi$, $k$ variant dans $\Z$.\\
\item %Tracer dans un repère $\mathscr C_f$, les droites $T$, $\mathscr D_1$ et $\mathscr D_2$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$
\qquad 
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqww}{0 0 0.4}
\newrgbcolor{qqwwww}{0 0.4 0.4}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.05,-1.38)(3.05,1.77)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.05,-1.38)(3.05,1.77)
\psplot[linecolor=qqqqww,plotpoints=200]{-2.0456747035625678}{3.0498798248525807}{2*x-SIN(x)}
\psplot[linecolor=qqwwww]{-2.05}{3.05}{(-1--2*x)/1}
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-2.05}{3.05}{(-0--1*x)/1}
\psplot[linecolor=qqwwww]{-2.05}{3.05}{(--1--2*x)/1}
\rput[tl](1.67,1.66){$\zzqqqq{T : y=x}$}
\rput[tl](0.34,-0.51){$\qqwwww{\mathscr D_1 : y=2x-1}$}
\rput[tl](-0.96,0.85){$\qqwwww{\mathscr D_2 : y=2x+1}$}
\rput[tl](0.62,1.22){$\qqqqww{\mathscr C_f}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}}



\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}8$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\hfill (10 points)\\
Soit $P$ la fonction définie sur $\R$ par  :
$$ P(x)=-x^3+4x^2-6x+1$$
\begin{enumerate}
\item %Etudier les variations de la fonction $P$.
$$ P'(x)=-3x^2+8x-6$$
$\Delta=b^2-4ac=64-4\times 3\times 6=-8<0$, par conséquent $P'$ n'a pas de racine. On obtient le tableau de variation suivant :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{+/ $ $ ,-/ $ $ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %Donner les limites de $P$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
$$ \lim\limits_{x\to-\infty}P(x)= \lim\limits_{x\to-\infty}-x^3=+\infty$$
$$ \lim\limits_{x\to+\infty}P(x)= \lim\limits_{x\to+\infty}-x^3=-\infty$$
\item %Déterminer le nombre de solutions de l'équation $P(x)=0$.
$P$ est une fonction polynôme, donc $P$ est continue sur $\R$, de plus $P$ est strictement décroissante sur $\R$ en prenant des valeurs comprises entre \og $-\infty$ et $+\infty$ \fg, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$.
\end{enumerate}}

\Exoi{On désigne par $g$ la fonction définie sur $[0;\pi]$ par :
$$ g(x)=x\cos x-\sin x$$
\begin{enumerate}
\item  
On a : $(x\cos x)'=\cos x-x\sin x$ et $(\sin x)'=\cos x$.\\
Pour tout $x\in[0;\pi]$ on a :
$$ g'(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x$$
\item %Etudier le signe de $g'$ sur $[0;\pi]$ et dresser le tableau de variation de $g$.
Pour $x\in[0;\pi]$, $\sin x\geq 0$, donc $x\sin x\geq 0\Longrightarrow -x\sin x\leq 0$, d'où :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$0$,$\pi$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{$0$,-,$0$}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{+/ $0 $ ,-/ $ -\pi$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}}


\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2x}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item %Etudier les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$. 
On a pour $x>0$ :
$$ f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{0\times 2x-\sqrt{3}\times 2}{4x^2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{2\sqrt{3}}{4x^2}=\dfrac{4x^2-6}{4\sqrt{3}x^2}=\dfrac{2x^2-3}{2\sqrt{3}x^2}$$
Comme $2\sqrt{3}x^2>0$, $f'(x)$ est du signe de $2x^2-3$.
\\
$\Delta=b^2-4ac=24\Longrightarrow x=\dfrac{\pm \sqrt{24}}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
D'où dans $\R^{+*}$ : 
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$0$,$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$, $+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{+/ $ $ ,-/ $ f\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)$, + /$ $ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %Préciser les équations des asymptotes de $\mathscr C_f$ ; pour déterminer l'une d'entre elles, on étudiera :
$ \lim\limits_{x\to +\infty} \left(f(x)-\dfrac{x}{\sqrt{3}}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}  \dfrac{3}{2x}=0$, ainsi $\mathscr C_f$ admet une asymptote oblique en $+\infty$ d'équation $y=\dfrac{x}{\sqrt{3}}$.\\
De plus $$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=  \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{3}} + \lim\limits_{x\to +\infty}  \dfrac{3}{2x}=+\infty+0=\infty$$
Ainsi $\mathscr C_f$ n'admet pas d'asymptote horizontale en $+\infty$.
Enfin : $$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x}{\sqrt{3}}+\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{3}{2x}= \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{3}{2x}=+\infty$$
Donc $\mathscr C_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$.
\item %Tracer $\mathscr C_f$.
\qquad \begin{center}
\newrgbcolor{qqqqww}{0 0 0.4}
\newrgbcolor{qqwwww}{0 0.4 0.4}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.86,-1.36)(19.11,14.16)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.86,-1.36)(19.11,14.16)
\psplot[linecolor=qqqqww,plotpoints=200]{-3.85656585758605}{19.113307773113206}{x/sqrt(3)+3/(2*x)}
\psplot[linecolor=qqwwww]{-3.86}{19.11}{(-0--0.58*x)/1}
\rput[tl](6.82,3.84){$\qqwwww{\mathscr D: y=\dfrac{x}{\sqrt{3}}}$}
\rput[tl](5.47,5.77){$\qqqqww{\mathscr C_f}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}}
\end{document}
