\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$. Le point $A(a;f(a))$ est donc un point de $\mathscr C_f$\\
Le but de cette exercice est de \textbf{démontrer} que l'équation de la tangente $\Delta$ en $A$ à $\mathscr C_f$ est :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi l'équation de $\Delta$ est de la forme :
%$$ y=f'(a)x+p\qquad \qquad \text{où} \qquad p\in\R$$
La droite $\Delta$ a une équation du type $y=mx+p$ avec $m=f'(a)$ puisque $f$ est dérivable en $a$
\item %En utilisant le point $A$, démontrer que $\Delta : y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
$A\in\Delta \Longrightarrow f(a)=f'(a)a+p\Longleftrightarrow p=f(a)-f'(a)a$, au final :
$$ \Delta : y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x^3-30x^2+112$$
\begin{enumerate}
\item %La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
$f$ est une fonction polynôme donc $f$ est continue sur $\R$.
\item %Etudier la limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
On a :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} x^3-30x^2+112=\lim\limits_{x\to-\infty} x^3=-\infty\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} x^3=+\infty$$
\item %Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de $f$.
$ \forall x\in \R$, $f'(x)=3x^2-60x=x(3x-60)$, par conséquent $$f'(x)=0\Longleftrightarrow x(3x-60)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x=20$$
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$-\infty$,$0$,$20$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/ $  112$ , -/$ -3888$, +/ $+\infty $ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %Démontrer que l'équation $f(x)$ admet trois solutions.
La fonction $f$ est continue sur $\R$, de plus elle est strictement monotone sur les intervalles $I=]-\infty;0]$, $J=[0;20]$ et $K=[20;+\infty[$ en prenant des valeurs de :
\begin{itemize}
\item de \og $-\infty$ \fg à $112$ sur $I$,
\item de $112$ à $-3888$ sur $J$,
\item de $-3888$ à \og $+\infty$ \fg sur $K$
\end{itemize}
Par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ a exactement $3$ solutions dans $\R$.
\item La calculatrice donne :
$$ x_1=-2(3\sqrt{7}-7)\qquad \text{et} \qquad x_2=2\qquad \text{et}\qquad x_3=2(3\sqrt{7}+7)$$
\item %En déduire le signe de $f$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f(x)$/2}{$-\infty$,$x_1$,$2$,$x_3$, $+\infty$}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
%\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/ $  112$ , -/$ -3888$, +/ $+\infty $ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}}



\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$. Le point $A(a;f(a))$ est donc un point de $\mathscr C_f$\\
Le but de cette exercice est de \textbf{démontrer} que l'équation de la tangente $\Delta$ en $A$ à $\mathscr C_f$ est :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi l'équation de $\Delta$ est de la forme :
%$$ y=f'(a)x+p\qquad \qquad \text{où} \qquad p\in\R$$
La droite $\Delta$ a une équation du type $y=mx+p$ avec $m=f'(a)$ puisque $f$ est dérivable en $a$
\item %En utilisant le point $A$, démontrer que $\Delta : y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
$A\in\Delta \Longrightarrow f(a)=f'(a)a+p\Longleftrightarrow p=f(a)-f'(a)a$, au final :
$$ \Delta : y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$ g(x)=x^3+3x+8$$
\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
$g'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)\geq 3(0+1)=3>0$, d'où :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $g'(x)$/1, $g(x)$/2}{$-\infty$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
%\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/ $+\infty $ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} x^3+3x+8=\lim\limits_{x\to-\infty} x^3=-\infty\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to+\infty} g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} x^3=+\infty$$
\item %En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera une valeur approchée (à l'aide de la calculatrice) à $10^{-1}$ près.
La fonction $g$ est continue sur $\R$ (puisqu'il s'agit d'un polynôme), elle est strictement croissante sur $\R$ en prenant des valeurs de \og $-\infty$ \fg à \og $+\infty$ \fg, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et d'après la calculatrice :
$$\alpha\simeq -1,5$$
\item %En déduire le tableau de signe de $g$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1,  $g(x)$/2}{$-\infty$, $\alpha$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
%\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
%\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/ $+\infty $ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item %Montrer que :
%$$ \forall x\in\R, \qquad f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(x^2+1)^2}$$
$\forall x\in\R$, 
\begin{eqnarray*}
& f'(x)=&\dfrac{3x^2(x^2+1)-(x^3-4)2x}{(x^2+1)^2}\\
& =& \dfrac{3x^4+3x^2-2x^4+8x}{(x^2+1)^2}\\
& =& \dfrac{x^4+3x^2+8x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{xg(x)}{(x^2+1)^2}\\ 
\end{eqnarray*}
\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
$f'$ est du même signe que $xg(x)$, par conséquent :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1,  $x$/1, $ g(x)$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$-\infty$, $\alpha$, $0$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,,-,,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
%\tkzTabLine{,-,,z,+}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
%\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+}
%\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de }a,z,\text{Signe de }a}
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/ $f(\alpha)$, -/$ -4$, +/$+\infty$ } 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\end{document}
