\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item Dans chacun des cas suivants déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2-x+1}{2-x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{-x}=\lim\limits_{x\to +\infty}  -x=-\infty$\\
Et : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$  
\item %$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$
On a, pour $x>0$ : $$ -1\leq \sin x\leq 1\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{x}\leq \dfrac{\sin x}{x}\leq \dfrac{1}{x}$$
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$, donc d'après le théorème des gendarmes on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}  f(x)=0$$
De même pour $x<0$ on a :
$$ -1\leq \sin x \leq 1\Longleftrightarrow \dfrac{1}{x}\leq \dfrac{\sin x}{x}\leq -\dfrac{1}{x}$$
On conclut à l'identique, en utilisant le théorème des gendarmes, puisque $\lim\limits_{x\to -\infty}  \dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{x}=0$, i.e :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{\sin x}{x}=0 $$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{-x^5+x^4-x+2}{x^4+1}$$
\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$, $c$ tels que, pour tout $x\in\R$ on ait :
$$ ax+b+\dfrac{c}{x^4+1}=\dfrac{(ax+b)(x^4+1)+c}{x^4+1}=\dfrac{ax^5+ax+bx^4+b+c}{x^4+1}$$
Par identification on obtient : $a=-1$, $b=1$ et $b+c=2\Longleftrightarrow c=1$, ainsi :
$$ f(x)=-x+1+\dfrac{1}{x^4+1}$$
\item %En déduire que la courbe représentative de $f$ admet, en $+\infty$ et en $-\infty$ une asymptote $\Delta$, et positionner $\mathscr C_f$ par rapport à $\Delta$
On a $f(x)-(-x+1)=\dfrac{1}{x^4+1}$ ce qui tends vers $0$ quand $x$ tends vers $\pm \infty$, ainsi la droite $\Delta : y=-x+1$ est asymptote à $\mathscr C_f$ en $\pm \infty$, de plus :
$$ \forall x\in \R, \qquad f(x)-(-x+1)=\dfrac{1}{x^4+1}>0\Longrightarrow f(x)>-x+1$$
 Par conséquent $\mathscr C_f$ est au dessus de $\Delta$ pour toutes valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}  x^2-a \qquad \qquad \text{si } x\leq 2\\ 5-x \qquad \qquad \text{si } x>2\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item %Justifier que la fonction $f$ est continue sur $\R\textbackslash \{2\}$
$f$ est une fonction polynôme pour $x\leq 2$ donc $f$ est continue sur $]-\infty; 2[$, il en va de même sur $]2;+\infty[$.
\item %Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $2$.
f est continue en $2$ si et seulement si $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)  $.\\
Or, $$ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=4-a $$
Et, $$ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=5-2=3 $$
Ainsi $f$ est continue en $2$ si et seulement si $4-a=3\Longleftrightarrow a=1$
\end{enumerate}
}




\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{enumerate}
\item Dans chacun des cas suivants déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item %$f(x)=\dfrac{x^4-1}{x^8+3x^7+1}$
 $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^4-1}{x^8+3x^7+1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^4}{x^8}=\lim\limits_{x\to +\infty}  \dfrac{1}{x^4}=0$\\
Et : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{x^4}=0$  
\item %$f(x)=\cos x+x$
On a, pour $x\in \R$ : $$ -1\leq \cos x\leq 1\Longleftrightarrow -1+x\leq \cos x+x\leq 1+x$$
Or, $\lim\limits_{x\to +\infty} -1+x=+\infty$, donc d'après les théorèmes de comparaison on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty}  f(x)=+\infty$$
De même $\lim\limits_{x\to -\infty} 1+x=-\infty$, donc d'après les théorèmes de comparaison on obtient :
$$ \lim\limits_{x\to -\infty}  f(x)=-\infty$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^3-3x^2+x-1}{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$, $c$  tels que, pour tout $x\in\R$ on ait :
$$ ax+b+\dfrac{c}{x^2+1}=\dfrac{(ax+b)(x^2+1)}{x^2+1}=\dfrac{ax^3+ax+bx^2+b+c}{x^2+1}$$
Par identification on obtient, $a=1$, $b=-3$ et $b+c=-1\Longrightarrow c=2$, d'où :
$$ \forall x\in\R, \qquad f(x)=x-3+\dfrac{2}{x^2+1}$$ 
\item %En déduire que la courbe représentative de $f$ admet, en $+\infty$ et en $-\infty$ une asymptote $\Delta$, et positionner $\mathscr C_f$ par rapport à $\Delta$
On a $f(x)-(x-3)=\dfrac{2}{x^2+1}$ ce qui tends vers $0$ quand $x$ tends vers $\pm \infty$, ainsi la droite $\Delta : y=x-3$ est asymptote à $\mathscr C_f$ en $\pm \infty$, de plus :
$$ \forall x\in \R, \qquad f(x)-(x-3)=\dfrac{2}{x^2+1}>0\Longrightarrow f(x)>x-3$$
 Par conséquent $\mathscr C_f$ est au dessus de $\Delta$ pour toutes valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}  x-a \qquad \qquad \text{si } x\leq 2\\ 5-x^2 \qquad \qquad \text{si } x>2\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item %Justifier que la fonction $f$ est continue sur $\R\textbackslash \{2\}$
$f$ est une fonction polynôme pour $x\leq 2$ donc $f$ est continue sur $]-\infty; 2[$, il en va de même sur $]2;+\infty[$.
\item %Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $2$.
f est continue en $2$ si et seulement si $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)  $.\\
Or, $$ \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=2-a $$
Et, $$ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=5-4=1 $$
Ainsi $f$ est continue en $2$ si et seulement si $2-a=1\Longleftrightarrow a=1$
\end{enumerate}
}

\end{document}
