\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soit $A$ le point de coordonnées $(x_a;y_a;z_a)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
\begin{enumerate}
\item %Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathscr P$.
Le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est normal au plan $\mathscr P$.
\item %On note $H(x_H;y_H;z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$, démontrer que :
$$ \left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|=AH\times || \vec n|| \times \left|\cos\left(\overrightarrow{AH};\vec{n}\right)\right|= AH\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ 
En effet les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\vec n$ sont colinéaires par conséquent $\cos\left(\overrightarrow{AH};\vec{n}\right)=1$ ou $-1$, suivant que les vecteurs aient des sens identiques ou différents.
\item %Démontrer que :
%$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=-ax_A-by_A-cz_A-d$$
$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec n=a(x_H-x_A)+b(y_H-y_A)+c(z_H-z_A)=ax_H+by_H+cz_H-ax_A-by_A-cz_A$$
Comme le point $H\in\mathscr P$ ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de $\mathscr P$ et donc :
$$ ax_H+by_H+cz_H+d=0\Longleftrightarrow ax_H+by_H+cz_H=-d$$
Au final :
$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=-ax_A-by_A-cz_A-d$$
\item %En déduire finalement que :
$ d(A;\mathscr P)=AH$ et  $\left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|=AH\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}\Longleftrightarrow AH=\dfrac{\left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
\\
On conclut à l'aide de la question précédente :
$$ AH=\dfrac{\left|-ax_A-by_A-cz_A-d\right\|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item On donne $A(1;-2;-1)$, $B(3;-5;-2)$ et $C(0;1;2)$. \\
%Démontrer que le plan $\mathscr P$ orthogonal à $\overrightarrow{BC}$ passant par $A$ a pour équation :
%$$ -2x+6y+4z-18=0$$
On a $M(x;y;z)\in\mathscr P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BC}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=0$.\\
Ainsi, comme $\overrightarrow{BC}(-3;6;4)$ :
$$\mathscr P : -3(x-1)+6(y+2)+4(z+1)=0\Longleftrightarrow -3x+6y+4z+19=0$$
\item %Soit $\mathscr P$ le plan d'équation $2x-y+z=1$. Etudier $\mathscr P \cap \mathscr D$.
%Donner une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
$$M(x;y;z)\in (BC)\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}=t \overrightarrow{BC}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-3=-3 t\\ y+5=6 t \\ z+2=4t  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-3 t+3\\ y=6 t -5\\ z=4t-2  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$
\item %Etudier $(BC) \cap \mathscr P$.
%\item Calculer la distance entre $C$ et $\mathscr P$.
Une droite et un plan sont soit sécants, soit parallèles. $\overrightarrow{BC}$ est à la fois un vecteur directeur de $(BC)$ et un vecteur normal de $\mathscr P$, ainsi $(BC)$ et $\mathscr P$ sont perpendiculaires, nous pouvons rechercher les coordonnées du point d'intersection de cette droite et de ce plan.\\
$$M(x;y;z)\in (BC)\cap \mathscr P\Longrightarrow -3(-3t+3)+6(6t-5)+4(4t-2)+19=0\Longrightarrow 9t+36t+16t-9-30-8+19=0\Longrightarrow 61t-28=0$$
 Par conséquent $t=\dfrac{28}{61}$, la valeur de ce paramètre permet de déduire les coordonnées du point d'intersection de $(BC)$ et de $\mathscr P$ :
%Ainsi le point d'intersection cherché a pour coordonnée :
$$\left\{ \begin{array}{l} x=-3 \times \dfrac{28}{61}+3\\ y=6 \times \dfrac{28}{61} -5\\ z=4\times \dfrac{28}{61}-2   \end{array} \right.$$
\end{enumerate}}



\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
Soit $A$ le point de coordonnées $(x_a;y_a;z_a)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
\begin{enumerate}
\item %Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathscr P$.
Le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est normal au plan $\mathscr P$.
\item %On note $H(x_H;y_H;z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$, démontrer que :
$$ \left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|=AH\times || \vec n|| \times \left|\cos\left(\overrightarrow{AH};\vec{n}\right)\right|= AH\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ 
En effet les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\vec n$ sont colinéaires par conséquent $\cos\left(\overrightarrow{AH};\vec{n}\right)=1$ ou $-1$, suivant que les vecteurs aient des sens identiques ou différents.
\item %Démontrer que :
%$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=-ax_A-by_A-cz_A-d$$
$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec n=a(x_H-x_A)+b(y_H-y_A)+c(z_H-z_A)=ax_H+by_H+cz_H-ax_A-by_A-cz_A$$
Comme le point $H\in\mathscr P$ ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de $\mathscr P$ et donc :
$$ ax_H+by_H+cz_H+d=0\Longleftrightarrow ax_H+by_H+cz_H=-d$$
Au final :
$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=-ax_A-by_A-cz_A-d$$
\item %En déduire finalement que :
$ d(A;\mathscr P)=AH$ et  $\left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|=AH\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}\Longleftrightarrow AH=\dfrac{\left| \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
\\
On conclut à l'aide de la question précédente :
$$ AH=\dfrac{\left|-ax_A-by_A-cz_A-d\right\|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item %On note $\mathscr D$ la droite passant par les points $A(1;-2;-1)$ et $B(3;-5;-2)$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ est  :
Le vecteur $\overrightarrow{AB}(2:-3:-1)$ dirige la droite $\mathscr D$, par conséquent :
$$ M(x;y;z)\in\mathscr D\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x-1=2t\\ y+2=-3t \\ z+1=-t  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R\Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-2-3t \\ z=-1-t  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$
\item Soit $\mathscr P$ le plan d'équation $2x-y+z=1$. %Etudier $\mathscr P \cap \mathscr D$.
\\
$\overrightarrow{AB}(2;-3;-1)$ dirige la droite $\mathscr D$ et le vecteur $\vec n(2;-1;1)$ est normal au plan $\mathscr P$. %Puisque $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires
De plus $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n}=4+3-1=6\neq 0$, ce qui signifie que $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires, et par conséquent la droite $\mathscr D$ et le plan $\mathscr P$ ne sont pas parallèles et donc sécants en un point $M(x;y;z)$ dont on va déterminer les coordonnées.\\
$$ M(x;y;z)\in \mathscr D\cap \mathscr P\Longrightarrow 2(1+2t)+2+3t-1-t=1\Longleftrightarrow 6t=-2\Longleftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}$$
la valeur de ce paramètre permet de déduire les coordonnées du point d'intersection de $\mathscr D$ et de $\mathscr P$ :
%Ainsi le point d'intersection cherché a pour coordonnée :
$$\left\{ \begin{array}{l} x=1- \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\\ y=-2+\dfrac{3}{3}=-1\\ z=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}   \end{array} \right.$$
\item %Calculer $d(A;\mathscr P)$.
$$d(A;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{|2+2-1-1}{\sqrt{4+1+1}=\dfrac{2}{\sqrt{6} }=\dfrac{2\sqrt{6}}{6}=\dfrac{\sqrt{6} }{3}$$
\end{enumerate}}


\end{document}
