\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Notons $A(x_0;y_0;z_0)$ un point de $P$ et $\vec{n}(a;b;c)$ un vecteur normal à $P$, alors  on a :
$$ M(x;y;z)\in P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$$
i.e 
$$ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\Longleftrightarrow ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0=0$$
En posant $d=-ax_0-by_0-cz_0$ on obtient le résultat désiré
\item %Dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec{k})$, on donne $A(1;-1;1)$ et $B(4;-2;0)$. \\
%Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathscr P$ passant par $A(1;-1;1)$ et normal au vecteur $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB}(3;-1;-1)$.\\
$$ M(x;y;z)\in \mathscr P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=0\Longleftrightarrow 3(x-1)-(y+1)-(z-1)=0\Longleftrightarrow 3x-y-z-3=0$$
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points) \\
On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$. 
\begin{enumerate}
\item %Calculer de deux façons différentes le produit scalaire $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BG}$
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item Dans la base orthonormale $\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB};\dfrac{\overrightarrow{AD}}{AD};\dfrac{\overrightarrow{AE}}{AE}\right)$ on a :
\\$ \overrightarrow{AE}(0;0;a)$ et $\overrightarrow{BG}(0;a;a)$, par conséquent :
$$ \overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BG}=a\times (a\sqrt{2})\times \cos \dfrac{\pi}{4}=a^2$$
\item Avec le cosinus : 
$$ \overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BG}=AE\times BG \times \cos\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{BG}\right)=a^2\times \sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2$$
\item Avec le vecteur projeté :
$$ \overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AE}=AE^2=a^2$$
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.81,-0.56)(3.26,5.48)
\psline(-3,0)(1,0)
\psline(1,0)(2,1)
\psline(-3,4)(1,4)
\psline(1,4)(2,5)
\psline(-3,4)(-3,0)
\psline[linestyle=dotted](-2,5)(-2,1)
\psline(1,4)(1,0)
\psline(2,5)(2,1)
\psline[linestyle=dotted](-2,1)(2,1)
\psline[linestyle=dotted](-2,1)(-3,0)
\psline(-3,4)(-2,5)
\psline(-2,5)(2,5)
\psline{->}(-3,0)(-3,4)
\psline{->}(1,0)(2,5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3,0)
\rput[bl](-3.31,-0.17){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](1.08,-0.21){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,1)
\rput[bl](2.08,1.03){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2,1)
\rput[bl](-1.93,1.03){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3,4)
\rput[bl](-3.21,4.07){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,4)
\rput[bl](0.96,4.15){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,5)
\rput[bl](2.08,5.04){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2,5)
\rput[bl](-2.11,5.15){$H$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\item $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
\end{enumerate}}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Notons $A(x_0;y_0;z_0)$ un point de $P$ et $\vec{n}(a;b;c)$ un vecteur normal à $P$, alors  on a :
$$ M(x;y;z)\in P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$$
i.e 
$$ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\Longleftrightarrow ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0=0$$
En posant $d=-ax_0-by_0-cz_0$ on obtient le résultat désiré
\item  %Dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec{k})$, on donne $A(1;-1;1)$ et $\vec{n}(2;-3;3)$. \\
%Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathscr P$ passant par $A(1;-1;1)$ et normal au vecteur $\vec{n}(2;-3;3)$.
$$ M(x;y;z)\in \mathscr P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0\Longleftrightarrow 2(x-1)-3(y+1)+3(z-1)=0\Longleftrightarrow 2x-3y+3z-8=0$$
\end{enumerate}
}




\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{multicols}{2}
Démontrons ce résultat pour les arêtes $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ (compte tenu de la symétrie de la figure, cela suffira à démontrer le résultat voulu).\\
$$ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}$$
De plus :
$$ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD}=BA\times BD\times \cos \dfrac{-\pi}{3}=a^2\dfrac{1}{2}$$
Et 
$$ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}=BC\times BD\times \cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{a^2}{2}$$
Ainsi : $$ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=-\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}=0$$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.4,-1.44)(3.86,4.7)
\psline(-2.44,0.06)(-0.24,4.12)
\psline(-0.24,4.12)(2.96,0.22)
\psline[linestyle=dotted](2.96,0.22)(-2.44,0.06)
\psline(-2.44,0.06)(0.62,-0.7)
\psline(2.96,0.22)(0.62,-0.7)
\psline(0.62,-0.7)(-0.24,4.12)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.44,0.06)
\rput[bl](-2.78,-0.14){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.62,-0.7)
\rput[bl](0.98,-1.02){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.96,0.22)
\rput[bl](3.04,0.26){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.24,4.12)
\rput[bl](-0.44,4.32){$D$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\Exoi{\hfill (2 points)\\
On considère les points $A(3; 4; -2)$, $B(1; 6; 0)$ et $C(-2; 2; 1)$. 
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle. \\
$\overrightarrow{AB}(-2;2;2)$ et $\overrightarrow{BC}(-3;-4;1)$,  et $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=6-8+2=0$. Par conséquent $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$ i.e $(AB)\perp (BC)$ et donc $ABC$ est un triangle rectangle.
}



\end{document}
