\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire




\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n +3  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété  $$ u_n=-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+6$$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : On sait que $u_0=2$, de plus $-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^0+6=-4+6=2=u_0$.
\\Par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\\
D'après l'hypothèse de récurrence on a $ u_n=-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+6$, donc :
$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3=\dfrac{1}{2}\left[-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+6\right]+3=-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+3+3=-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+6$$
ce qui prouve la propriété $\mathscr P$ au rang $n+1$.
\item \textit{Conclusion} : Pour tout $n\in\N$ on a :$$ u_n=-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+6$$
\end{itemize}
\item Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-6$ pour tout $n\in\N$
\begin{enumerate}
\item $\forall n\in \N$ on a :$$ \dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{u_{n+1}-6}{u_n-6}=\dfrac{\dfrac{1}{2}u_n+3-6 }{u_n-6}=\dfrac{\dfrac{1}{2}u_n-3 }{u_n-6}=\dfrac{\dfrac{1}{2}(u_n-6)
}{u_n-6}=\dfrac{1}{2}$$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $ \dfrac{1}{2}$
\item On a :
$$ v_n=v_0q^n=(u_0-6)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (4 points) \\
Déterminer le sens de variation des suites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{n^2}{n+1}$, $\forall n\in\N$
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n= &\dfrac{(n+1)^2}{n+2}-\dfrac{n^2}{n+1} \\
=& \dfrac{(n+1)^3-(n+2)n^2}{(n+1)(n+2)}\\
=& \dfrac{n^3+3n^2+3n+1-n^3-2n^2}{(n+1)(n+2)}\\
=& \dfrac{n^2+3n+1}{(n+1)(n+2)}
\end{eqnarray*}
Comme $n\in\N$ $u_{n+1}-u_n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
\item $\forall n\in\N$, $v_{n+1}=\sqrt{v_n+2}$ et $v_0=-1$ .\\
Notons $\mathscr P(n)$ : $v_{n+1}\geq v_n\geq -2$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $v_0=-1$ et $v_1=1$, donc $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} :  Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\\D'après l'hypothèse de récurrence on a $v_{n+1}\geq v_n\geq -2\Longleftrightarrow v_{n+1}+2\geq v_n+2\geq 0$.
\\Comme la fonction racine carrée est croissante sur $\R^+$ on a alors :
$$ \sqrt{v_{n+1}+2}\geq \sqrt{v_n+2}\geq 0\Longleftrightarrow v_{n+2}\geq v_{n+1}\geq 0\geq -2 $$
Par conséquent la propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textit{Conclusion} : On vient de montrer par récurrence que $\forall n\in\N$ $$v_{n+1}\geq v_n\geq -2 $$
ce qui prouve que la suite $(v_n)$ est croissante.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis






\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=\dfrac{3}{2}u_n -1  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété  $$ u_n=3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n+2$$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : On sait que $u_0=5$, de plus $3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^0+2=3+2=5=u_0$.
\\Par conséquent la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\\
D'après l'hypothèse de récurrence on a $ u_n=3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n+2$, donc :
$$ u_{n+1}=\dfrac{3}{2}u_n-1=\dfrac{3}{2}\left[3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n+2\right]-1=3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}+3-1=3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}+2$$
ce qui prouve la propriété $\mathscr P$ au rang $n+1$.
\item \textit{Conclusion} : Pour tout $n\in\N$ on a :$$ u_n=3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n+2$$
\end{itemize}
\item Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-2$ pour tout $n\in\N$
\begin{enumerate}
\item $\forall n\in \N$ on a :$$ \dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{u_{n+1}-2}{u_n-2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}u_n-1-2 }{u_n-2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}u_n-3 }{u_n-2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}(u_n-2)
}{u_n-2}=\dfrac{3}{2}$$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $ \dfrac{3}{2}$
\item On a :
$$ v_n=v_0q^n=(u_0-2)\left(\dfrac{2}{2}\right)^n=3\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (4 points) \\
Déterminer le sens de variation des suites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{3}{4n+2}$, $\forall n\in\N$
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n= &\dfrac{3}{4(n+1)+2}-\dfrac{3}{4n+2} \\
=& \dfrac{3(4n+2)-3(4n+6)}{(4n+6)(4n+2)}\\
=& \dfrac{12n+6-12n-18}{(4n+6)(4n+2)}\\
=& \dfrac{-18}{(4n+6)(4n+2)}
\end{eqnarray*}
Comme $n\in\N$ $u_{n+1}-u_n<0\Longleftrightarrow u_{n+1}<u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
\item $\forall n\in\N$, $v_{n+1}=\sqrt{v_n+2}$ et $v_0=6$.\\
Notons $\mathscr P(n)$ : $-2\leq v_{n+1}\leq v_n$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $v_0=6$ et $v_1=2 \sqrt{2}\simeq 2,8<6 $, donc $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} :  Supposons que la propriété $\mathscr P$ soit vraie au rang $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\\D'après l'hypothèse de récurrence on a $-2\leq v_{n+1}\leq v_n\Longleftrightarrow 0\leq v_{n+1}+2\leq v_n+2$.
\\Comme la fonction racine carrée est croissante sur $\R^+$ on a alors :
$$0\leq  \sqrt{v_{n+1}+2}\leq \sqrt{v_n+2}\Longleftrightarrow -2<0\leq v_{n+2}\leq v_{n+1} $$
Par conséquent la propriété $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textit{Conclusion} : On vient de montrer par récurrence que $\forall n\in\N$ $$-2\leq v_{n+1}\leq v_n$$
ce qui prouve que la suite $(v_n)$ est décroissante.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
\end{document}
