\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire
rtyu

\Exoi{\textbf{Pertinence d'un test de dépistage}\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans une population donnée suffisamment grande, la proportion d'individus atteints d'une certaine maladie est $x$. Un laboratoire pharmaceutique informe sur les caractéristiques de son test spécifique à cette maladie :
\end{footnotesize}
\begin{itemize}
\item {\footnotesize la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est $0,99$.}
\item {\footnotesize la probabilité qu'un individu sain ait un test positif est $0,01$.}
\end{itemize}
{\footnotesize On choisit un individu au hasard dans cette population et on le soumet au test. On note :}
\begin{itemize}
\item {\footnotesize $M$ l'événement : \og L'individu est malade \fg ;}
\item {\footnotesize $T$ l'événement : \og Le test est positif \fg ;}
\item {\footnotesize $f(x)$ la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit malade.}
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Sur quel intervalle $I$ est définie la fonction $f$ ?
\end{footnotesize}
\\
$x$ désigne la proportion d'individus atteints d'une certaine maladie, donc $x$ est un nombre entre $0$ et $1$, par conséquent :
$$ \mathscr D_f=[0;1]$$
\begin{footnotesize}
Montrer que $$ f(x)=\dfrac{99x}{98x+1}$$
\end{footnotesize}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{\small $x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,99$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,01$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{M}$}\tbput{\small $1-x$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,01$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.99$}
}
}
\end{center}
Par conséquent $f(x)=P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,99\times x}{0,99x+(1-x)\times 0,01}=\dfrac{0,99x}{0,98x+0,01}=\dfrac{99x}{98x+1}$.\\
\begin{footnotesize}
puis étudier son sens de variation sur $I$. 
\end{footnotesize}\\
De plus : $$ f'(x)=\dfrac{99(98x+1)-99\times 98x}{(98x+1)^2}=\dfrac{99}{(98x+1)^2}>0$$
$f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
\item \begin{footnotesize}
On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit malade est supérieure ou égale à $0,95$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Le test est-il fiable lorsque la proportion d'individus atteints par la maladie est de $5\%$ ?
\end{footnotesize}\\
$$f(0,05)=\dfrac{99\times 0,05}{98\times 0,05+1}\simeq 0,83 $$
Le test n'est donc pas fiable si la proportion d'individus atteints par la maladie est de $5\%$/
\item {\footnotesize Déterminer la proportion d'individus atteints par la maladie à partir de laquelle le test est fiable.}\\
On cherche $x$ tel que $$f(x)>0,95\Longleftrightarrow \dfrac{99x}{98x+1}>0,95\Longleftrightarrow 99x>0,95\times 98x+0,95\Longleftrightarrow 5,9x>0,95\Longleftrightarrow x>\dfrac{95}{59}\simeq 0,16$$
Le test est fiable lorsque le taux de malade est supérieur à $16\%$.
\end{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer $g(x)$, où $g$ est la fonction qui à $x$ associe la probabilité qu'un individu dont le test est négatif ne soit pas malade.}\\
On cherche $$P_{\overline{T}}(\overline{M})=\dfrac{P(\overline{T}\cap \overline{M})}{P(\overline{T})}=\dfrac{(1-x)\times 0,99}{(1-x)\times 0,99+0,01x}=\dfrac{99-99x}{99-98x}$$
\item {\footnotesize Pour pouvoir effecteur une campagne de dépistage sans inquiéter la population, on veut que cette probabilité soit supérieure ou égale à $0,99$.\\}
\begin{footnotesize}
Déterminer la proportion d'individus atteints par la maladie pour laquelle on n'inquiétera pas la population.
\end{footnotesize}
$$ g(x)\geq 0,99\Longleftrightarrow \dfrac{99-99x}{99-98x}\geq 0,99 \Longleftrightarrow 99-99x\geq 98,01-97,02x\Longleftrightarrow 0,99\geq 1,98x\Longleftrightarrow x\leq \dfrac{99}{198}=\dfrac{1}{2}$$
On n'inquiètera pas la population avec cette campagne si moins de la moitié de la population est atteinte par cette maladie.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Conclure sur la qualité du test i.e déterminer la proportion d'individus malade pour laquelle on peut considérer que ce test est de bonne qualité.}
Le test est de bonne qualité lorsque $x\in ]0,16;0,5[$.
\end{enumerate}
}



\pagebreak

%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\Exoi{\textbf{La vénus de Milo}\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item
 \begin{footnotesize}
Des études morphologiques de la Vénus de Milo montrent qu'il y a cinq chances sur sept pour qu'elle soit droitière et deux
chances sur sept pour qu'elle soit gauchère. Si elle est droitière, il y a trois chances sur cinq pour qu'elle épluche des carottes et
deux chances sur cinq pour qu'elle dénoyaute des olives.  Si elle est gauchère, il y a une chance sur deux pour qu'elle épluche des
carottes et une chance sur deux pour qu'elle dénoyaute des olives.
\end{footnotesize}
\\
 \begin{footnotesize}
Calculez la probabilité pour qu'elle dénoyaute des
olives.
\end{footnotesize}\\
Notons $D$ l'événement \og la Vénus de Milo est droitière \fg et $C$ l'événement \og la Vénus de Milo épluche des carottes \fg et $O$ l'événement \og la Vénus de Milo dénoyaute des olives \fg.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{\small $\frac{5}{7}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{\small $\frac{3}{5}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$O$}\tbput{\small $\frac{2}{5}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D}$}\tbput{\small $\frac{2}{7}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{\small $0,5$}
\Tdot~[tnpos=r]{$O$}\tbput{\small $0.5$}
}
}
On a  :
$$ P(O)=\dfrac{5}{7}\times \dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{7}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{7}$$
\end{center}
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 3/7}\end{flushright}
\item \begin{footnotesize}
Les noyaux trouvés sur le site archéologique de la statue
permettent d'affirmer sans hésiter qu'elle dénoyaute des olives.
\\
Calculez la probabilité pour qu'elle soit gauchère.
\end{footnotesize}\\
On a  :
$$ P_O(\overline{D})=\dfrac{P(O\cap \overline{D})}{P(O)}=\dfrac{\frac{2}{7}\times \dfrac{1}{2}}{\frac{3}{7}}=\dfrac{\frac{1}{7}}{\dfrac{3}{7}}=\dfrac{1}{3}$$
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 1/3}\end{flushright}
\end{enumerate}}

\Exoi{\textbf{Trop distrait Marcel !}\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
Marcel est distrait. Quand il part travailler, il oublie parfois de s'habiller et prend le tramway entièrement dévétu. Quand il a
voyagé la veille nu, il voyage nu une fois sur cinq le jour même; sinon, une fois sur deux.
\end{footnotesize}
\\
\begin{footnotesize}
On note $N_n$ l'événement \og~il voyage le $n^{\text{ième}}$ jour
nu~\fg et $p_n$ sa probabilité.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimez $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$N_n$}\taput{\small $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N_{n+1}$}\taput{\small $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{N_{n+1}}$}\tbput{\small $0,8$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{N_n}$}\tbput{\small $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N_{n+1}$}\taput{\small $0,5$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{N_{n+1}}$}\tbput{\small $0,5$}
}
}
\end{center}
On a donc  :
$$ p_{n+1}=0,2p_n+(1-p_n)\times 0,5=0,5-0,3p_n $$
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $p_{n+1}=1/2-3p_n/10$}\end{flushright}
\item {\footnotesize On pose $u_n=p_n-5/13$} \begin{enumerate}
 \item \begin{footnotesize}
Exprimez $u_{n+1}$ en
fonction de $u_n$, puis de $u_1$ et $n$.
\end{footnotesize}\\
$$ u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{5}{13}=\dfrac{3}{26}-0,3p_n=-\dfrac{3}{10}\left(p_n-\dfrac{5}{13}\right)=-\dfrac{3}{10}u_n$$
Ainsi $(u_n)$ est une suite géométrique et donc $u_n=u_1\times (-0,3)^n$ avec $u_1\in [0;1]$. 
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $u_n=u_1(-3/10)^{n-1}$}\end{flushright}
\item {\footnotesize Exprimez alors $p_n$ en fonction de $n$. }\\
Comme $u_n=p_n-5/13$ il vient $p_n=u_n+\dfrac{5}{13}=u_1(-0,3)^{n-1}+\dfrac{5}{13}$.
\item \begin{footnotesize}
Montrez que
la suite $(p_n)$ est convergente et calculez sa limite
\end{footnotesize}.\\
$$ \lim\limits_{n\to +\infty}u_1(-0,3)^{n-1}+\dfrac{5}{13} =\dfrac{5}{13}$$
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 5/13}\end{flushright}
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}
\end{document}
