\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\hfill (10 points)\\
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, \textbf{une seule} des propositions est \textbf{exacte}.\\
Compléter le tableau donné en notant la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\
Chaque bonne réponse rapporte $0,5$ point. Chaque mauvaise réponse enlève $0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n=e^{u_n}$ est :
\end{footnotesize}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}\begin{footnotesize}
\item arithmétique 
\item géométrique 
\item Ni arithmétique, ni géométrique
\end{footnotesize}
\end{enumerate}
\end{multicols}
Si $v_n$ est une suite arithmétique alors il existe un réel $r$ tel que $u_{n+1}=u_n+r$, et donc :
$$ v_{n+1}=e^{u_{n+1}}=e^{u_n+r}=e^{u_n}\times e^r$$
Ainsi la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $e^r$.
\item\begin{footnotesize}
 Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur cet intervalle :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Vrai 
\item Faux
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Absolument pas, un contre exemple connu en classe terminale est la fonction $f$ définie et continue sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$ qui n'est pas dérivable en $0$.
\item \begin{footnotesize}
La représentation graphique de la fonction exponentielle admet une asymptote :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item verticale d'équation $x=0$
\item horizontale en $+\infty$ d'équation $y=0$
\item horizontale en $-\infty$ d'équation $y=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
On sait que $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$, ainsi la représentation graphique de la fonction exponentielle admet une asymptote horizontale en $-\infty$ d'équation $y=0$.
\item \begin{footnotesize}
L'équation différentielle $y'-2y=3$ a pour solutions les fonctions de la forme :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto ke^{-2x}+\dfrac{3}{2}$ avec $k\in\R$
\item $f:x\longmapsto ke^{2x}-\dfrac{3}{2}$ avec $k\in\R$
\item $f:x\longmapsto ke^{-2x}-\dfrac{3}{2}$ avec $k\in\R$
\item $f:x\longmapsto ke^{2x}+\dfrac{3}{2}$ avec $k\in\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Testons la solution du $(b)$ alors : $$y'-2y=\left(ke^{2x}-\dfrac{3}{2}\right)'-2\left(ke^{2x}-\dfrac{3}{2}\right)=2ke^{2x}-2ke^{2x}+3=3$$
Ainsi cette fonction est solution.
\item \begin{footnotesize}
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-e^{-2x}$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f$ est négative sur $\R$
\item $f$ est parfois positive sur $\R$
\item $f$ n'est négative que si $x$ est positif
\item $f$ n'est négative que si $x$ est négatif
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Comme $e^x>0$ pour tout $x\in\R$, il vient que $-e^{-2x}<0, \qquad \forall x\in\R$.
\item \begin{footnotesize}
La suite $(u_n)$ définie par $u_n=\left(\ln(3)-1\right)^n$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item convergente vers $1$
\item divergente vers $+\infty$
\item convergente vers $0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
On a $-1<\ln 3 -1<1$, par conséquent la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
\item \begin{footnotesize}
Soit $g(x)=8\ln x-3x+\dfrac{4}{x}.$ Une équation de la tangente au point d'abscisse $1$ de la courbe représentative de $g$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item  $y=x-1$
\item $y=x-2$
\item $y=x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
On sait que l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ de la courbe d'une fonction $f$ est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, par conséquent on calcule $g'$ :
$$ g'(x)=\dfrac{8}{x}-3-\dfrac{4}{x^2}\qquad \qquad \text{donc }\qquad \qquad g'(1)=8-3-4=1$$
Et donc l'équation cherchée est $y=x-1+g(1)=x-1-3+4=x$
\item \begin{footnotesize}
L'intervalle $]-1;0[\cup ]0;+\infty[$ est l'ensemble de définition de :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto \dfrac{\ln(x+1)}{x}$
\item $f:x\longmapsto \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)$
\item $f:x\longmapsto \ln(x+1)-\ln x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
La première fonction est définie si $x\neq 0$ et si $x+1>0\Longleftrightarrow x>-1$, elle est donc définie sur $]-1;0[\cup ]0;+\infty[$.
\item \begin{footnotesize}
Pour tout nombre complexe $z$ :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $Im(z)$ est un imaginaire pur
\item $Re(\overline{z})\neq Re(z)$
\item $Im(\overline{z})Im(z)\leq 0$
\item $Re(\overline{z})Re(z) \leq 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
$z=a+ib$, avec $a=Re(z)$ et $b=Im(z)$, et $\overline{z}=a-ib$. On a donc :\\
$ Im(z)=b$ et $Im(\overline{z})=-b$, par conséquent le produit des deux est négatif ou nul.
\item \begin{footnotesize}
Une solution de l'équation $2z+\overline{z}=9+i$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $3$
\item $i$
\item $3+i$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
$2(3+i)+(3-i)=6+2i+3-i=9+i$, par conséquent $3+i$ est solution de $2z+\overline{z}=9+i$. 
\item \begin{footnotesize}
Soit $n\in\N$, le complexe $\left(\sqrt{3}+i\right)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $n=3$
\item $n=6k+3$, avec $k\in\Z$
\item $n=6k$, avec $k\in\Z$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
$|\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2$, et $2\cos \theta+2i\sin \theta=\sqrt{3}+i$, ainsi $\cos \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \theta=\dfrac{1}{2}$, ainsi $\theta=\dfrac{\pi}{6}[2\pi]$, on a donc :
$$ \sqrt{3}+i=2e^{i\frac{\pi}{6}}\Longrightarrow \left(\sqrt{3}+i\right)^n=2^ne^{i\frac{n\pi}{6}}$$
De plus, pour $k\in\Z$ :
 $$\left(\sqrt{3}+i\right)^n\in i\R^*\Longleftrightarrow arg\left(\sqrt{3}+i\right)^n=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\Longleftrightarrow n\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\Longleftrightarrow n\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Longleftrightarrow n=\dfrac{\pi\times 6}{2\times \pi}+k\pi\times \dfrac{6}{\pi}=3+6k$$
\item \begin{footnotesize}
Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $i$ et $-1$ ; l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z-i|=|z+1|$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item la droite $(AB)$
\item le cercle de diamètre $[AB]$
\item la médiatrice de $[AB]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
$$|z-i|=|z+1|\Longleftrightarrow |z-z_B|=|z-z_A|\Longleftrightarrow BM=AM\Longleftrightarrow M\in \mathscr D\text{ où $\mathscr D$ est la médiatrice de $[AB]$.}$$
\item \begin{footnotesize}
Soient $A$ et $B$ d'affixes $4$ et $3i$, l'affixe du point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit isocèle avec $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $1-4i$
\item $-3i$
\item $7+4i$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
$ABC$ isocèle et $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{2} \Longrightarrow\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=i\Longleftrightarrow z_C-z_A=i(z_B-z_A)\Longleftrightarrow z_C=i(3i-4)+4=-3-4i+4=1-4i$ 
\item \begin{footnotesize}
L'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z-2}{z-1	}=z$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\{1-i\}$
\item l'ensemble vide
\item $\{1-i;1+i\}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Pour $z\neq 0$ on a $ \dfrac{z-2}{z-1	}=z\Longleftrightarrow z-2=z(z-1)\Longleftrightarrow z-2=z^2-z\Longleftrightarrow z^2-2z+2=0$.\\
$\Delta=4-8=-4$, on en déduit donc que l'équation $z^2-2z+2=0 $ admet deux solutions dans $\C$.\\
Afin de se satisfaire pleinement déterminons les : $z_1=\dfrac{2-2i}{2}=1-i$ et donc $z_2=1+i$.
\item \begin{footnotesize}
La transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=3z$ est :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item la translation de vecteur $\vec w$ d'affixe $3$
\item la rotation de centre $O$ et d'angle $3$ radians
\item l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Il s'agit d'une homothétie de centre $O$ et de rapport $3$, d'après le cours$\dots$
\item \begin{footnotesize}
Soient $M$, $M'$ et $A$ les points d'affixes respectives $z$, $z'$ et $1-4i$. Si $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ alors :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $z'=iz-1+4i$
\item $z'=-i(z-1+4i)+1-4i$
\item $z'=-i(z-1+4i)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Cours, réponse $b$.
\item \begin{footnotesize}
Soient $A(-2;-6;-4)$ et $B(0;-4;-4)$. Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3t-1\\
y&=&-3t-3,~~t \in \R\\
z&=& 0\\
\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t-1\\
y&=&-2t-1,~~t \in \R\\
z&=& 0\\
\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t+2\\
y&=&t-2,~~t \in \R\\
z&=& -4\\
\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Les points $A$ et $B$ ont la même côte, par conséquent seule la dernière réponse est possible. Mais faisons comme si on avait pas vu ça, en notant que $\overrightarrow{AB}(2;2;0) $, on a :
$$ M(x;y;z)\in (AB)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
x+2&=&2t\\
y+6&=&2t,~~t \in \R\\
z+4&=& 0\\
\end{array}\right.\Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t-2\\
y&=&2t-6,~~t \in \R\\
z&=& -4\\
\end{array}\right.$$
Bon c'est pas génial on retombe sur aucune des solutions proposées, résolvons donc $2t'-2=t+2\Longleftrightarrow t'=\dfrac{t}{2}+2$
Et on obtient :
$$(AB)  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2\left(\dfrac{t}{2}+2\right)-2\\
y&=&2\left(\dfrac{t}{2}+2\right)-6,~~t \in \R\\
z&=& -4\\
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t+2\\
y&=&t-2,~~t \in \R\\
z&=& -4\\
\end{array}\right.$$
\item \begin{footnotesize}
Soient $A(-2;0;-4)$ et $B(0;-2;-4)$, la longueur $AB$ est égale à :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $2\sqrt{2}$
\item $4\sqrt{2}$
\item $6\sqrt{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
$\overrightarrow{AB}(2;-2;0)$, par conséquent $AB=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.
\item \begin{footnotesize}
Soient $A(-2;0;-4)$ et $B(0;-2;-4)$, une équation du plan médiateur de $[AB]$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $2x-2y+z=3$
\item $x+y=0$
\item $x=y$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Le plan médiateur du segment $[AB]$ est le plan regroupant l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$, il passe par le milieu de $[AB]$ et est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AB}$, par conséquent :
$$ M(x;y;z)\in \text{plan médiateur de } [AB]\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow 2(x+2)-2(y+2)+0=0\Longleftrightarrow 2x-2y=0\Longleftrightarrow x=y$$
\item \begin{footnotesize}
Soit $f$ une fonction définie par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$, une primitive de $f$ est :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $F:x\longmapsto \ln (\ln x)$
\item $F: x\longmapsto \dfrac{1}{2}\ln^2 x$
\item $F:x\longmapsto \dfrac{1-\ln x}{x^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{footnotesize}
Si $F(x)=\dfrac{\ln^2 x}{2}$ alors $F'(x)=\dfrac{2\ln x\times \frac{1}{x}}{2}=\dfrac{\ln x}{x}$, et donc $F$ est une primitive de $f$.
\end{enumerate}
}




\end{document}
