\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}13$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormal $(O;\vec{e_1}, \vec{e_2})$ du plan complexe, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour affixe respectivement :
$$ z_A=4+i\qquad z_B=1+2i\qquad z_C=\dfrac{5-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3-3\3\sqrt{3}}{2}i\qquad z_D=\dfrac{5+3i}{2}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que $ \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}$ est un imaginaire pur.
\end{footnotesize} \\
On a :
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}&= \dfrac{\frac{5+3i}{2}-\frac{5-\sqrt{3}}{2}-\frac{3-3\3\sqrt{3}}{2}i}{1+2i-4-i} \\
& &=\dfrac{\frac{5+3i-5+\sqrt{3}-3i+3i\sqrt{3}}{2}}{-3+i}\\
&&=\dfrac{\sqrt{3}+3i\sqrt{3}}{-6+2i}\\
&&=\dfrac{(\sqrt{3}+3i\sqrt{3})(-6-2i)}{(-6+2i)(-6-2i)}\\
&&=\dfrac{-6\sqrt{3}-18i\sqrt{3}-2i\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{36+4}\\
&&= \dfrac{-20i\sqrt{3}}{40}\\
&&=-\dfrac{i}{2}\in i\R^*\\
\end{eqnarray*}
\begin{footnotesize}
En déduire la valeur de l'angle $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)$. %En déduire que $(CD)\perp(AB)$
\end{footnotesize}
\\
$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)=arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=arg\left(-\dfrac{i}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que $D$ est le milieu du segment $[AB]$.
\end{footnotesize}\\
L'affixe du milieu de $[AB]$ est :
$$ \dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{4+i+1+2i}{2}=\dfrac{5+3i}{2}=z_D$$
$D$ est donc le milieu de $[AB]$.
\item \begin{footnotesize}
Montrer que $(CD)$ est la hauteur issue de $C$ relative au côté $AB$ dans le triangle $ABC$.
\end{footnotesize}\\
D'après la question $1$, $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$, et par conséquent $(AB)\perp(CD)$. $D$ étant le milieu de $[AB]$, il vient que $(CD)$ est  la hauteur issue de $C$ relative au côté $AB$ dans le triangle $ABC$ (et même mieux).
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que :
$$ \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
\end{footnotesize}\\
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}&= \dfrac{\dfrac{5-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3-3\3\sqrt{3}}{2}i-4-i}{1+2i-4-i} \\
& &=\dfrac{\frac{5-\sqrt{3}+3i-3i\sqrt{3}-8-2i}{2}}{-3+i}\\
&&=\dfrac{-3-\sqrt{3}+i-3i\sqrt{3}}{-6+2i}\\
&&=\dfrac{(-3-\sqrt{3}+i-3i\sqrt{3})(-6-2i)}{(-6+2i)(-6-2i)}\\
&&=\dfrac{18+6\sqrt{3}-6i+18i\sqrt{3}+6i+2i\sqrt{3}+2-6\sqrt{3}}{36+4}\\
&&= \dfrac{20+20i\sqrt{3}}{40}\\
&&=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\end{eqnarray*}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer une écriture exponentielle de $\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, puis en déduire la nature du triangle $ABC$.
\end{footnotesize}
On remarque que $\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3} =e^{i\frac{\pi}{3}}$. \\
$\dfrac{AC}{AB}=\left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\left|e^{i\frac{\pi}{3}}\right|=1\Longleftrightarrow AC=AB$\\
De plus $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$. Ainsi le triangle $ABC$ est un triangle isocèle possédant un angle qui mesure $\dfrac{\pi}{3}$ rad, par conséquent $ABC$ est un triangle équilatéral.
\end{enumerate}
}



\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u}, \vec{v})$ (unité : 1~cm). 
%On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$. 
\end{footnotesize}\\
$\Delta=b^2-4ac=4-4\times 2=-4<0$ par conséquent l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$ admet deux racines complexes conjuguées :
$$ z_1=\dfrac{2-i\sqrt{4}}{2}=\dfrac{2-2i}{2}=1-i\qquad \text{et}\qquad z_2=1+i$$
\item \begin{footnotesize}
Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives : 
\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\]
\end{footnotesize}
\begin{footnotesize}
Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice. 
\end{footnotesize}\\
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.82,-3.04)(7.4,2.86)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.82,-3.04)(7.4,2.86)
\pscircle(3,0){2.24}
\psline(3,0)(1,1)
\psline(3,0)(2,-2)
\psline(2,-2)(1,1)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1,1)
\rput[bl](0.62,1.08){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1,-1)
\rput[bl](1.08,-0.92){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2,-2)
\rput[bl](2.08,-1.92){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3,0)
\rput[bl](3.08,0.08){$D$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.3,6.3)
\rput[bl](-4.22,6.06){\blue{$E$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que les trois points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $D$ dont on précisera le rayon. 
\end{footnotesize}\\
$AD=|z_D-z_A|=|3-1-i|=|2-i|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$.\\
$BD=|z_D-z_B|=|3-1+i|=|2+i|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$.\\
$CD=|z_D-z_C|=|3-2-2i|=|1-2i|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, ainsi $AD=BD=CD$, donc les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $D$ et de rayon $\sqrt{5}$.
\item \begin{footnotesize}
Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$. En déduire la nature du triangle $DAC$. 
\end{footnotesize}\\
\begin{eqnarray*}
&\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}&= \dfrac{2-2i-3}{1+i-3}\\
& &=\dfrac{-1-2i}{-2+i}\\
& & =\dfrac{1+2i}{2-i}\\
& & =\dfrac{(1+2i)(2+i)}{(2+i)(2-i)}\\
& &=\dfrac{2+4i+i-2}{4+1}\\
& &=\dfrac{5i}{5}=i
\end{eqnarray*}\\
Ainsi $\dfrac{CD}{AD}=\left|\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}\right|=|i|=1\Longleftrightarrow CD=AD$ et \\
$(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}=arg\left(\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}\right)=arg(i)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$, donc $DAC$ est un triangle rectangle et isocèle en $D$.
\item \begin{footnotesize}
Donner une écriture exponentielle de $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.
\end{footnotesize}
$$z_A=1+i=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$
$$z_B=\overline{z_A}=\overline{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$$
$$z_C=2z_B=2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$$
$$z_D =3=3e^{i0}$$
\item \begin{footnotesize}
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont-elles perpendiculaires ? (Justifier).
\end{footnotesize}\\
$$(AC)\perp(BD)\Longleftrightarrow (\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\Longleftrightarrow \dfrac{z_B-z_D}{z_C-z_A}\in i \R^*$$
Or : $\dfrac{z_B-z_D}{z_C-z_A}=\dfrac{1-i-3}{2-2i-1-i}=\dfrac{-2-i}{1-3i}=\dfrac{(-2-i)(1+3i)}{1+9}=\dfrac{-2-6i-i+3}{10}=-\dfrac{1}{10}-\dfrac{7}{10}i$ n'est pas un imaginaire pur et donc les droites $(AC)$ et $(BD)$ ne sont pas perpendiculaires.
\end{enumerate} }
\end{document}
