\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}12$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^{+*}$ par :
$$ f(x)=\ln x$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan.
\\
On cherche à résoudre l'équation $(E)$ : $\ln x=x$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $1$.
\end{footnotesize}\\
L'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a=1$ :
$$ T: y=f'(1)(x-1)+f(1)$$
On a $f(1)=\ln 1=0$, $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ et donc $f'(1)=\dfrac{1}{1}=1$, ce qui donne au final :
$$ T:y=x-1$$
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que, pour tout $\x\in\R^{+*}$, on a :
$$ \ln x\leq x-1$$
\end{footnotesize}\\
Notons $g(x)=\ln x-x+1$ pour tout $x>0$, on a alors :
$$ g'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}$$
qui est du signe de $1-x$ puisque $x>0$. Ainsi on en déduit le tableau de variation de $g$ :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$g'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$g(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\ln 1-1+1=0$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
On en déduit que $g$ admet un maximum en $1$ qui est $0$, autrement dit :
$$ \forall x\in\R^{+*}\qquad \qquad g(x)\leq 0\Longleftrightarrow \ln x-x+1\leq 0\Longleftrightarrow \ln x\leq x-1$$
\begin{footnotesize}
En déduire la position de $\mathscr C_f$ par rapport à $T$.
\end{footnotesize}
\\
Puisque $\ln x \leq x-1$ pour tout $x>0$, $\mathscr C_f$ est au dessous de $T$.
\item \begin{footnotesize}
En déduire que l'équation $(E)$ n'admet aucune solution dans $\R^{+*}$.
\end{footnotesize}
\\
D'après la question précédente $\ln x\leq x-1<x$ pour $x>0$, ainsi $\ln x<x$ il est donc impossible que $\ln x=x$ ce qui prouve que l'équation $(E)$ n'admet aucune solution dans $\R^{+*}$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (4 points)\\\begin{footnotesize}
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O;\vec i, \vec j\right)$.
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par  :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\end{footnotesize}\\
D'après le cours : $ \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x }{x}=0$, de plus :
$$ \lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-/infty\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to 0^+} x=0^+\Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$$
\item \begin{footnotesize}
Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
\end{footnotesize}\\
Pour tout $x>0$, $f$ est dérivable et  $$ f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$$
\item E\begin{footnotesize}
n déduire les variations de la fonction $f$. 
\end{footnotesize}\\
$f'(x)$ est du signe de $1-\ln x$ car $x^2>0$ pour $x>0$.\\
De plus $1-\ln x>0\Longleftrightarrow 1>\ln x\Longleftrightarrow e>e^{\ln x}\Longleftrightarrow e>x$. d'où :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$e$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
}




\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^{+*}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{\ln (x^2+x)}{x}$$
\end{footnotesize}
\begin{footnotesize}
\textbf{But} : On se propose de déterminer la limite en $+\infty$ et la limite en $0^+$ de $f$.\\
\end{footnotesize}
\begin{footnotesize}
\textbf{Partie A : La limite de $f$ en $+\infty$}
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que, pour $x\in \R^{+*}$, on a :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{\ln(x+1)}{x}$$
\end{footnotesize}\\
Pour tout $x\in\R^{+*}$, $f(x)=\dfrac{\ln (x^2+x)}{x}=\dfrac{\ln (x(x+1)}{x}=\dfrac{\ln x+\ln (x+1)}{x}=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{\ln(x+1)}{x}$
\item \begin{footnotesize}
En déduire que, pour $x\in\R^{+*}$, on a :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}$$
\end{footnotesize}\\
En utilisant la question précédente :
$$ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{\ln(x+1)}{x}=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{x+1}{x+1}\times \dfrac{\ln(x+1)}{x}=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}$$
\item \begin{footnotesize}
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{footnotesize}\\
D'après le cours on sait que :
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=0\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$, ainsi :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0+1\times 0=0$$
%\item En déduire que la fonction $g$ définie sur $\R^{+*}$ par $g(x)=f(x)+2x+1$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ dont on donnera une équation.
\end{enumerate}
\begin{footnotesize}
\textbf{Partie B : La limite de $f$ en $0^+$}\\
On considère la fonction $h$ définie sur $\R^{+*}$ par $h(x)=\ln(x+1)-x$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Calculer la limite de $h$ en $0^+$.
\end{footnotesize}
$$ \lim\limits_{x\to 0^+}h(x)=\ln(0+1)-0=0$$
\item \begin{footnotesize}
Etudier les variations de la fonction $h$. En déduire que pour tout $x\in\R^{+*}$ :
$$ \ln(x+1)\leq x$$
\end{footnotesize}\\
$h$ est une fonction dérivable sur $\R^{+*}$, et $h'(x)=\dfrac{1}{x+1}-1=\dfrac{1-x-1}{x+1}=\dfrac{-x}{x+1}<0$ pour $x>0$.\\
On en déduit que $h$ est strictement décroissante sur $\R^{*+}$, par conséquent, pour $x>0$ :
$$ h(x)\leq h(0)\Longleftrightarrow \ln (x+1)-x\leq 0\Longleftrightarrow \ln(x+1)\leq x$$
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que, pour $x\in\R^{+*}$ :
$$ 0\leq \dfrac{\ln (x+1)}{x}\leq 1$$
\end{footnotesize}\\
De plus, $\ln$ est une fonction strictement croissante sur $\R^{+*}$, par conséquent pour $x>0 $ :
$$ x+1\geq 1\Longleftrightarrow \ln(x+1)\geq \ln 1=0$$
Ainsi on a : $$ 0\leq \ln(x+1)\leq x\Longleftrightarrow \dfrac{0}{x}\leq \dfrac{\ln(x+1)}{x}\leq \dfrac{x}{x}\Longleftrightarrow  0\leq \dfrac{\ln (x+1)}{x}\leq 1$$
\item \begin{footnotesize}
En utilisant le fait que $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{\ln(x+1)}{x}$, démontrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ on a :
$$ \dfrac{\ln x}{x}\leq f(x)\leq 1+\dfrac{\ln x}{x}$$
\end{footnotesize}\\
En utilisant la question précédente, on a pour $x>0$ :
$$ 0\leq \dfrac{\ln (x+1)}{x}\leq 1\Longleftrightarrow 0+\dfrac{\ln x}{x}\leq \dfrac{\ln(x+1)}{x}+\dfrac{\ln x}{x}\leq 1+\dfrac{\ln x}{x}\Longleftrightarrow \dfrac{\ln x}{x}\leq f(x)\leq 1+\dfrac{\ln x}{x}$$
\begin{footnotesize}
Conclure.
\end{footnotesize}\\
De plus on sait que : $ \lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty$ et $  \lim\limits_{x\to 0^+} x=0^+$, donc :
$$  \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{x}=-\infty\Longrightarrow  \lim\limits_{x\to 0^+} 1+\dfrac{\ln x}{x}=-\infty$$
Par comparaison on en déduit que :
$$  \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$$\end{enumerate}
}
\end{document}
