\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\hfill (10 points)\\
On considère un repère orthonormal $(O;\vec{e_1}, \vec{e_2})$ du plan complexe d'unité graphique $3 cm$.
\\
Les affixes des points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont respectivement $$ z_A=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} +i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad z_B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\qquad z_C=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \qquad z_D=\dfrac{z_A}{z_B}$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_D$. On donnera sa partie réelle et sa partie imaginaire.
$$z_D=\dfrac{-\frac{\sqrt{2}}{2} +i\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{\sqrt{3}+i}=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i+\sqrt{6}i+\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i$$
Ainsi $$ \re(z_D)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\qquad \text{et}\qquad \im(z_D)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
\item %Déterminer le module de $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. En déduire que les points appartiennent à un même cercle $\mathscr C$ dont on donnera le centre et le rayon.
$$ |z_A|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}= \sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}=1$$
$$ |z_B|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}} =1$$
$$ |z_C|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}= \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$$
$$ |z_D|=\left|\dfrac{z_A}{z_B}\right|=\dfrac{|z_A|}{|z_B|}=\dfrac{1}{1}=1$$
Ainsi, $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
\item %Placer sur un graphique les points $A$, $B$ et $C$ à l'aide de la règle et du compas, en respectant l'unité imposé par l'énoncé.
\quad
\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.77,-1.33)(1.71,1.37)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.77,-1.33)(1.71,1.37)
\pscircle(0,0){3}
\psplot{-1.77}{1.71}{(-0-1*x)/1}
\psline(-0.5,-1.33)(-0.5,1.37)
\psplot{-1.77}{1.71}{(--0.5-0*x)/1}
\psline(0.87,-1.33)(0.87,1.37)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.71,0.71)
\rput[bl](-0.73,0.85){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.5,0.87)
\rput[bl](-0.46,1){\darkgray{$C$}}
\rput[bl](-2.77,0.57){$e$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.87,0.5)
\rput[bl](0.9,0.56){\darkgray{$B$}}
\rput[bl](0.72,2.85){$f$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.87,-0.5)
\rput[bl](0.96,-0.57){\darkgray{$B'$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Déterminer un argument de $z_A$, $z_B$ et $z_C$. On donnera une forme trigonométrique des nombres complexes $z_A$, $z_B$, $z_C$.
Etant donné que le module de chacun de ses nombres complexes vaut $1$, on peut les écrire sous la forme $\cos\theta+i\sin\theta$ :
$$ z_A=\cos\theta+i\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} +i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow \cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et}\quad \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow \theta=\dfrac{3\pi}{4}[2\pi]$$
$$ z_B=\cos\theta+i\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\Longrightarrow \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et}\quad \sin\theta=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow \theta=\dfrac{\pi}{6}[2\pi]$$
$$ z_C=\cos\theta+i\sin\theta=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\Longrightarrow \cos\theta=-\dfrac{1}{2} \quad \text{et}\quad \sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \theta=\dfrac{2\pi}{3}[2\pi]$$
On a donc :
\begin{itemize}
\item $z_A=\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}$
\item $z_B=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$
\item $z_C=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}$
\end{itemize}
\item %A l'aide de l'égalité $z_D=\dfrac{z_A}{z_B}$ et des résultats de la questions précédentes on donnera un argument de $z_D$, puis l'on donnera une forme trigonométrique du nombre complexe $z_D$.
On a :
$$ arg(z_D)=arg(z_A)-arg(z_B)=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{9\pi-2\pi}{12}=\dfrac{7\pi}{12}$$
Et donc :
$z_D=\cos\dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}$
\item %Donner l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis calculer $AB$.
$$ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i+\dfrac{\sqrt{2}}{2} -i\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}i$$
Par conséquent :
$$ AB=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3+2+2\sqrt{6}}{4}+\frac{1+2-2\sqrt{2}}{4}}$$
\item On note $B'$ le point d'affixe $z_{B'}=\overline{z_B}$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme algébrique de $z_{B'}$, puis placer $B'$.
$z_B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\updownarrow z_{B'}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i$
\item %Déterminer une forme trignonométrique de $z_{B'}$.
$|z_{B'}|=|z_B|=1$ et $arg(z_B')=-arg(z_B)[2\pi]$, par conséquent :
$$ z_{B'}=\cos\dfrac{-\pi}{6}+i\sin\dfrac{-\pi}{6}$$
%\item %Montrer que $ABB'$ est un triangle rectangle en $A$.
\end{enumerate} 
\item On note $E$ le point d'affixe $z_E=z_C\times z_D$. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe $z_E$.
$|z_E|=|z_C\times z_D|=|z_C|\times |z_D|=1\times 1=1$ et $arg(z_E)=arg(z_C)+arg(z_D)[2\pi]=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{7\pi}{12}[2\pi]=\dfrac{15\pi}{12}[2\pi]=\dfrac{5\pi}{4}[2\pi]=-\dfrac{3\pi}{4}[2\pi]$.
$$ z_E=\cos \dfrac{5\pi}{4}+i\sin \dfrac{5\pi}{4}$$
\item %Déterminer la forme algébrique de $z_E$.
On sait que :
$$ \cos \dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Par conséquent :
$$z_E=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\hfill (10 points)\\
On considère un repère orthonormal $(O;\vec{e_1}, \vec{e_2})$ du plan complexe d'unité graphique $3 cm$.
\\
Les affixes des points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont respectivement $$ z_A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} -i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad z_B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\qquad z_C=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \qquad z_D=\dfrac{z_A}{z_B}$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_D$. On donnera sa partie réelle et sa partie imaginaire.
$$z_D=\dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2} -i\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{\sqrt{3}-i}=\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i-\sqrt{6}i+\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}i$$
Ainsi $$ \re(z_D)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\qquad \text{et}\qquad \im(z_D)=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$
\item %Déterminer le module de $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. En déduire que les points appartiennent à un même cercle $\mathscr C$ dont on donnera le centre et le rayon.
$$ |z_A|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}= \sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}=1$$
$$ |z_B|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{-1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}} =1$$
$$ |z_C|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}= \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$$
$$ |z_D|=\left|\dfrac{z_A}{z_B}\right|=\dfrac{|z_A|}{|z_B|}=\dfrac{1}{1}=1$$
Ainsi, $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
\item %Placer sur un graphique les points $A$, $B$ et $C$ à l'aide de la règle et du compas, en respectant l'unité imposé par l'énoncé.
\quad
\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.88,-1.34)(1.77,1.52)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.88,-1.34)(1.77,1.52)
\pscircle(0,0){3}
\psplot{-1.88}{1.77}{(-0-1*x)/1}
\psplot{-1.88}{1.77}{(--0.5-0*x)/1}
\psline(0.87,-1.34)(0.87,1.52)
\psline(0.5,-1.34)(0.5,1.52)
\psplot{-1.88}{1.77}{(--0.5-0*x)/-1}
\rput[bl](-2.77,0.57){$e$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.87,0.5)
\rput[bl](0.9,0.56){\darkgray{$B'$}}
\rput[bl](0.72,2.85){$f$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.87,-0.5)
\rput[bl](0.96,-0.57){\darkgray{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.71,-0.71)
\rput[bl](0.66,-0.9){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](0.35,-1.78){$g$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,0.87)
\rput[bl](0.54,0.92){\darkgray{$C$}}
\rput[bl](-2.77,-0.42){$h$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2.81,2.98)
\rput[bl](-2.78,2.88){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2.72,2.97)
\rput[bl](-2.69,2.88){\blue{$E$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Déterminer un argument de $z_A$, $z_B$ et $z_C$. On donnera une forme trigonométrique des nombres complexes $z_A$, $z_B$, $z_C$.
Etant donné que le module de chacun de ses nombres complexes vaut $1$, on peut les écrire sous la forme $\cos\theta+i\sin\theta$ :
$$ z_A=\cos\theta+i\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} -i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et}\quad \sin\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longrightarrow \theta=-\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$$
$$ z_B=\cos\theta+i\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\Longrightarrow \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et}\quad \sin\theta=-\dfrac{1}{2}\Longrightarrow \theta=\dfrac{-\pi}{6}[2\pi]$$
$$ z_C=\cos\theta+i\sin\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\Longrightarrow \cos\theta=\dfrac{1}{2} \quad \text{et}\quad \sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \theta=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$$
On a donc :
\begin{itemize}
\item $z_A=\cos\dfrac{-\pi}{4}+i\sin\dfrac{-\pi}{4}$
\item $z_B=\cos\dfrac{-\pi}{6}+i\sin\dfrac{-\pi}{6}$
\item $z_C=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$
\end{itemize}
\item %A l'aide de l'égalité $z_D=\dfrac{z_A}{z_B}$ et des résultats de la questions précédentes on donnera un argument de $z_D$, puis l'on donnera une forme trigonométrique du nombre complexe $z_D$.
On a :
$$ arg(z_D)=arg(z_A)-arg(z_B)=\dfrac{-\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{-3\pi+2\pi}{12}=\dfrac{-\pi}{12}$$
Et donc :
$z_D=\cos\dfrac{-\pi}{12}+i\sin\dfrac{-\pi}{12}$
\item %Donner l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis calculer $AB$.
$$ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i-\dfrac{\sqrt{2}}{2} +i\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}i$$
Par conséquent :
$$ AB=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{5-2\sqrt{6}}{4}+\frac{3-2\sqrt{2}}{4}}$$
\item On note $B'$ le point d'affixe $z_{B'}=\overline{z_B}$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme algébrique de $z_{B'}$, puis placer $B'$.
$z_B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\updownarrow z_{B'}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$
\item %Déterminer une forme trignonométrique de $z_{B'}$.
$|z_{B'}|=|z_B|=1$ et $arg(z_B')=-arg(z_B)[2\pi]$, par conséquent :
$$ z_{B'}=\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}$$
%\item %Montrer que $ABB'$ est un triangle rectangle en $A$.
\end{enumerate} 
\item On note $E$ le point d'affixe $z_E=z_C\times z_D$. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe $z_E$.
$|z_E|=|z_C\times z_D|=|z_C|\times |z_D|=1\times 1=1$ et $arg(z_E)=arg(z_C)+arg(z_D)[2\pi]=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{12}[2\pi]=\dfrac{3\pi}{12}[2\pi]=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$.
$$ z_E=\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}$$
\item %Déterminer la forme algébrique de $z_E$.
On sait que :
$$ \cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Par conséquent :
$$z_E=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\end{document}
