\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On suppose connu le résultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.
\\
Soit $a$ un réel donné.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		Pour tout $x\in\R$ on a :
		$$ f'(x)=ae^{ax}=af(x)$$
		Ainsi $f$ est solution de l'équation $y'=ay$
		\item %Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. (On montrera $h'=0$)
		On a pour tout $x\in\R$, en remarquant que $g'=ag$ 
		$$ h'(x)=g'(x)e^{-ax}-g(x)ae^{-ax}=ag(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}=0$$
		Ainsi $h$ est une fonction  constante.
		\item  	%En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
		Comme $h$ est une fonction constante, il existe un réel (une constante) $k\in\R$ telle que :
		$$ h(x)=k\Longleftrightarrow g(x)e^{-ax}=k\Longleftrightarrow g(x)=\dfrac{k}{e^{-ax}}=ke^{ax}$$
		Ainsi toute solution $g$ de l'équation $y'=ay$ s'écrit sous la forme $g(x)=ke^{ax}$ avec $k\in\R$
	\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=xe^{-x}$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis en $-\infty$. Interpréter géométriquement.
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty\quad \text{et} \quad \lim\limits_{x\to -\infty} e^{-x}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$$
De plus :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\og \infty\times 0\fg=F.I$$
En cas de forme indéterminée (en $\infty$) impliquant l'exponentielle et un polynôme c'est l'exponentielle qui l'emporte, par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0 $$
On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.
\item %Calculer $f'(x)$.
$$ f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$
\item %Étudier le signe de $f'$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
$f'(x)$ est du signe de $1-x$ (puisque pour tout $x\in\R$ $e^{-x}>0$, d'où :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{1-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{e^{-1}}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
\item %En déduire d'éventuels extremum de $f$.
$f$ est croissante sur $]-\infty;1]$ puis décroissante sur $[1;+\infty[$, elle admet donc un maximum en $1$ qui vaut $e^{-1}$.
\end{enumerate}
}


\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\textbf{R.O.C}\hfill (4 points)\\
On suppose connu le résultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.
\\
Soit $a$ un réel donné.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		Pour tout $x\in\R$ on a :
		$$ f'(x)=ae^{ax}=af(x)$$
		Ainsi $f$ est solution de l'équation $y'=ay$
		\item %Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. (On montrera $h'=0$)
		On a pour tout $x\in\R$, en remarquant que $g'=ag$ 
		$$ h'(x)=g'(x)e^{-ax}-g(x)ae^{-ax}=ag(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}=0$$
		Ainsi $h$ est une fonction  constante.
		\item  	%En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
		Comme $h$ est une fonction constante, il existe un réel (une constante) $k\in\R$ telle que :
		$$ h(x)=k\Longleftrightarrow g(x)e^{-ax}=k\Longleftrightarrow g(x)=\dfrac{k}{e^{-ax}}=ke^{ax}$$
		Ainsi toute solution $g$ de l'équation $y'=ay$ s'écrit sous la forme $g(x)=ke^{ax}$ avec $k\in\R$
	\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^{*}$ par :
$$f(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{2}}$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis en $-\infty$. Interpréter géométriquement.
$$ \lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty\quad \text{et} \quad \lim\limits_{x\to -\infty} e^{x}=0\infty\Longrightarrow \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$$
On en déduit que $\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale en $-\infty$ d'équation $y=0$\\
De plus :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\og \dfrac{\infty}{\infty}\fg=F.I$$
En cas de forme indéterminée (en $\infty$) impliquant l'exponentielle et un polynôme c'est l'exponentielle qui l'emporte, par conséquent :
$$ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty $$
\item %Montrer que, $\forall x \in \R^{*}$, on a :
$\forall x \in \R^{*}$, on a :
$$f'(x)=\dfrac{x^2e^x-2xe^x}{x^4}=\dfrac{xe^x(x-2)}{x^4}=\dfrac{(x-2)e^{x}}{x^{3}}$$
\item %Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle $\R^{+*}$, puis sur ce même intervalle dresser son tableau de variation.
Pour tout $x>0$, $e^x>0$ et $x^3>0$, par conséquent $f'(x)$ est du signe de $(x-2)$, par conséquent :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x-2}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&&\fd&\txb{\frac{e^2}{4}}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\item %En déduire d'éventuels extremum de $f$ sur $\R^{+*}$.
$f$ est décroissante sur $]0;2]$ puis croissante sur $[2;+\infty[$, elle admet donc un minimum en $2$ qui vaut $\frac{e^2}{4}$.
\end{enumerate}
}
\end{document}
