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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
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	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Complexe}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du DS 6 : Complexe et Logarithme Népérien}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
%\[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
$\bullet~~$ Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 0} 1 + \dfrac{1}{x} = + \infty$, puis $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = + \infty$, donc finalement $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.
\\
$\bullet~~$ Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \dfrac{1}{x} = + 1$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = 0 $, donc finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
		\item %Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$.
Sur $]0~;~+ \infty[,\: f$ somme de composées de fonctions dérivables est dérivable et sur cet intervalle :
\\
$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2}\times \dfrac{1}{1 + \frac{1}{x}} - 1 = -\dfrac{1}{x^2\left(1 + \frac{1}{x}\right)} - 1 = -\dfrac{1}{x^2 + x} - 1 = \dfrac{- 1 - x^2 - x}{x^2 + x}$.
\\
Comme $x > 0$ implique $x + x^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $-1 - x^2 - x = - \left(1 + x + x^2\right)$.
\\
Or $x > 0 \Rightarrow x + x^2 > 0 \Rightarrow 1 + x + x^2 >1 > 0$ et finalement $- \left(1 + x + x^2\right) < 0$.
\\
La négativité stricte de la fonction dérivée sur $]0~;~+ \infty[$ implique la décroissance stricte de la fonction $f$ sur cet intervalle. 
		\item %Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$. 
On a vu dans les deux questions précédentes que la fonction $f$ décroit strictement sur $]0~;~+ \infty[$ de $+ \infty$ à $- \infty$. : il existe donc une valeur unique $\alpha$ de $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$  telle que $f(\alpha) = 0$.
\\
%Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
La calculatrice donne $f(0,806) \approx \np{0,00079}$ et $f(0,807) \approx \np{- 0,0009}$.
\\
Conclusion : $0,806 < \alpha < 0,807$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.
%La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est définie par $u_{0} = 1,5$ et pour tout entier naturel $n \::$
%$u_{n+1} = g\left(u_{n}\right) =  \ln \left(1 + \dfrac{1}{u_{n}}\right)$.
%On a représenté en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $g$ et la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ 
		Voir l'annexe 1.
		\item Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes ? 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 1 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est monotone. \fg \quad NON  
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 2 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est minorée par $0,5$. \fg \quad OUI
\item[$\bullet~~$] Conjecture \no 3 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers 1. \fg \quad NON
\end{itemize}
		\item %On admet que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$ strictement positive.
Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 	\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n+1} = \ell$, la relation $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$ 
entra\^{\i}ne par continuité de la fonction $g$ l'égalité 
$\ell = g(\ell) \iff \ell =  \ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right)$.	 
%Montrer que $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) = \ell$. 
		\item %Montrer que $\ell = \alpha$.
		L'égalité précédente s'écrit  $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) - \ell = 0$, ce qui montre que $\ell$ est une solution de l'équation $\ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x = 0 \iff f(x) = 0$.
		\\
		On a vu à la question 1. c. que cette équation a une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$ : $\alpha$.
		\\
Donc $\ell = \alpha \approx 0,806$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (10 points)\\
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1 + 1 = 2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = \sqrt{2}$.
En factorisant ce module :
\\
$z_{\text{A}} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2}\left(\cos - \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$.
Le module est égal à $\sqrt{2}$ et un argument est $- \dfrac{\pi}{4}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique.
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{2 + \sqrt{3} + \text{i}}{1 - \text{i}} = \dfrac{\left(2 + \sqrt{3} + \text{i} \right)(1  + \text{i}}{(1 - \text{i})(1 + \text{i})} = \dfrac{2 + \sqrt{3} - 1 + \text{i}\left(2 + \sqrt{3} + 1 \right)}{1 + 1} =$
\\
$ \dfrac{1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(3 + \sqrt{3} \right)}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$.  
		\item %Montrer que  $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
Calculons le module :
\\
$\left|\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}  \right|^2 = \dfrac{\left(1 + \sqrt{3}\right)^2}{4} + \dfrac{\left(3 + \sqrt{3}\right)^2}{4} = \dfrac{1 + 3 + 2\sqrt{3} + 9 + 3 + 6\sqrt{3}}{4} = \dfrac{16 + 8\sqrt{3}}{4} = 4 + 2\sqrt{3}$.
\\
Or $4 + 2\sqrt{3} = 1 + 3 + 2\times 1 \times \sqrt{3} = \left(1 + \sqrt{3} \right)^2$. Donc $\left|\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}  \right| = 1 + \sqrt{3}$.
\\
En factorisant ce module on obtient :
\\
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}  = \left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\dfrac{3 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\right] = \left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(3 + \sqrt{3}\right)\left(1 - \sqrt{3} \right)}{\left(1 + \sqrt{3}\right)\left(1 - \sqrt{3} \right)}\right] =$
\\
$ \left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(3 - 3 + \sqrt{3} - 3\sqrt{3}\right)}{1 - 3}\right] = \left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] =$
\\
$\left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}\right] = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$
		\item %En déduire la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$.
On a donc $z_{\text{B}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \times z_{\text{A}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \times \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{3} -  \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.
	\end{enumerate} 
\item %On note B$_{1}$ l'image du point B par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{6}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'affixe du point B$_{1}$.
Par définition, tout point $M$ d'affixe $z$ a pour image le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = z\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
\\
Donc en utilisant l'écriture exponentielle de $z_{\text{B}}$, on a 
\\
$z_{\text{B}_{1}} = \sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}} \times  \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} = \sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$.
		\item %En déduire que le point B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
On constate que $z_{\text{B}_{1}} = \overline{z_{\text{B}}}$ ce qui signifie géométriquement que B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
	\end{enumerate} 
%Soit $M$ un point du plan. On note $M_{1}$ l'image du point $M$ par la rotation $r$ et $M'$ le symétrique du point $M_{1}$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
%On désigne par (E) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M' = M$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E).
O a pour image par la rotation le point O qui a pour symétrique par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ le point O : le point O est donc invariant.
\\
B a pour image par la rotation le point B$_{1}$ qui a pour symétrique  par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ le point B : le point B est lui aussi invariant.
		\item %Soit $M$ un point distinct du point O. 
%Sn affixe $z$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\rho$ est un réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.
%Montrer que l'affixe $z'$ du point $M'$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}$ puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel $\theta$ telles que $M$ appartienne à l'ensemble (E).
$M$ d'affixe $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ a pour image par la rotation le point $M_{1}$ d'affixe 
\\
$\rho \text{e}^{\text{i}\theta} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} = \rho \text{e}^{\text{i}\left(\theta - \frac{\pi}{6} \right)}$.
\\
Ce point $M_{1}$ a pour symétrique autour de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ le point de même module mais d'argument opposé soit $z_{M'} =  \rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6}-  \theta \right)}$.
\\
On a donc $M = M' \iff \rho \text{e}^{\text{i}\theta} = \rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6}-  \theta \right)} \iff \theta = \frac{\pi}{6}-  \theta \mod 2\pi \iff 2\theta = \frac{\pi}{6} \mod 2\pi \iff \theta = \frac{\pi}{12} \mod \pi$.
		\item %Déterminer l'ensemble (E).
L'ensemble (E) est donc la droite privée de O contenant tous les points d'argument $\frac{\pi}{12}$, donc en particulier le point B ; mais on a vu que O était invariant donc (E) est la droite (OB).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}
\end{document}
